《控制工程基础》-第4章控制系统的频域分析

4.1频率响应与频率特性4.1.1周期函数（信号）的谐波分析周期函数定义为如果函数f(t)满足狄里赫利条件：（1）在一个周期内只有有限个第一类间断点（左右极限存在，但不相等）；（2）在一个周期内只有有限个极值点。则周期函数可分解为傅里叶（Fourier）级数，即下一页返回4.1频率响应与频率特性周期函数的傅里叶也可以写成4.1.2非周期函数（信号）的谐波分析非周期函数可以看成是周期为无穷大的周期函数。因此，当周期T→∞时，有△ω=2π/T→0相邻的两个谐波频率无限接近，谐波的次数n→∞，再用n来表示谐波次数已无意义，因此改用ω来表示各次谐波的角频率，于是有下一页上一页返回4.1频率响应与频率特性

由上述分析可知，非周期函数含有一切频率的谐波分量。由于非周期函数的周期无穷大，这些谐波分量是在-∞≤t≤∞时刻存在的，因此这些谐波分量是稳态的正弦波。换言之，一个任意的信号是由不同频率、不同幅值的正弦信号叠加组成的。例如，常用的单位阶跃函数，它是由下式表示的含有一切频率的谐波分量叠加组成的下一页上一页返回4.1频率响应与频率特性4.1.3频率响应稳定的线性系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。或者说，当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系统输出响应的稳态分量是与输入同频率的正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。如图4-1所示，对线性系统输入某一频率的正弦波信号，系统的响应经过一定时间进入稳态，系统的稳态响应也是同一频率的正弦波，但稳态输出的幅值和相位与输入信号的幅值和相位相比发生了变化。并且，随着输入信号频率的变化，输出、输入信号的幅值比和相位差将会相应地随频率而发生变化。因此，可以利用这一特性，保持输入信号的幅值不变，不断改变输入信号的频率，研究系统响应信号的幅值和相位随频率的变化规律，即可达到研究系统性能的目的。下一页上一页返回4.1频率响应与频率特性4.1.4频率特性频率特性的定义是：线性稳定系统在正弦信号作用下，当频率从0变化到∞时，稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性，称为频率特性，它由幅频特性和相频特性两部分组成。系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的幅值之比随输入频率的变化而变化的特性称为幅频特性A(ω)=G(jω)，它描述了系统对输入信号幅值的放大或衰减特性；系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相位之差随输入频率的变化而变化的特性称为相频特性φ(ω)=∠G(jω)，它描述了系统输出信号相位对输入信号相位的滞后（负值）或超前（正值）特性。显然，以正弦信号作为典型试验信号，以频率作为变量，弄清了系统对频率ω从0变化到∞时的正弦信号的响应特性，由叠加原理，实质上也就掌握了任意周期或非周期函数输入时，系统的响应特性。下一页上一页返回4.1频率响应与频率特性4.1.5频率特性的物理意义仍以图4-2所示的RC网络为例，说明频率特性的物理意义。RC网络的幅频特性和相频特性的计算值如表4-1所示。

图4-3是根据表4-1数据绘制的幅频和相频特性曲线。随着频率的增加，幅值下降、相位滞后越来越大。由此可知，系统频率特性的物理意义是：（1）系统的频率特性表明系统跟踪、复现不同频率信号的能力。当频率低时，系统能正确响应、跟踪、复现输入信号；当频率高时，系统输出幅值衰减近似为0，相位严重滞后，系统不能跟踪、复现输入。（2）系统的频率特性随频率而变化的根本原因是系统有储能元件、有惯性，对频率高的输入信号，系统来不及响应。下一页上一页返回4.1频率响应与频率特性（3）系统的频率特性是系统的固有特性，取决于系统结构和参数。时间常数一旦确定，频率特性随之而定，幅频特性、相频特性也就确定，时间常数越大，系统能跟踪、能复现的信号的频率越低，即系统的惯性越大，系统能响应的输入信号的频率就越低。系统的这种特性也称为“滤波”，一般地，控制系统具有“低通滤波器”特性。4.1.6求取频率特性的解析方法当已知系统的传递函数时，可按式（4-15）求取，即下一页上一页返回4.1频率响应与频率特性

当从系统原理图开始求取系统的频率特性时，应该先求出系统的传递函数。频率特性是复变量s＝jω的复变函数，因此有必须指出，根据式（4-12）可知，一般地，系统对正弦输入信号的稳态响应为这就是说，只要求出系统的幅频特性和相频特性，根据频率响应的特性，就可以直接求得系统在正弦输入下的稳态响应。上一页返回4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和伯德图4.2.1奈魁斯特图奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在数学上，频率特性可以用直角坐标式表示，如式（4-16）；也可以用幅相式（指数式）表示，即下一页返回4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和伯德图

如图4-4（a）所示，某一频率ωi下的G(jωi)可用向量表示，向量的长度就是G(jωi)的模Aωi，即频率特性G(jω)在频率ωi时的幅频特性值；向量与极坐标轴的夹角就是G(jω)的相角φ(ωi)，即频率特性G(jω)在频率ωi时的相频特性值。通常将极坐标重合在直角坐标中，如图4-4（b）所示。极点取直角坐标原点，极坐标轴取直角坐标系的正实轴。这样，向量G(jωi)在实轴上的投影P(ωi)为G(jωi)的实部，在虚轴上的投影Q(ωi)为G(jωi)的虚部。当频率ω从0变化到∞时，向量G(jω)的矢端将绘出一条曲线，这条曲线称为频率特性G(jω)的奈魁斯特曲线或幅相频率特性曲线，如图4-4（c）的虚线所示。这种图也称为极坐标图或奈魁斯特图（简称奈氏图）。图中，ω的箭头表示频率ω增大的方向。奈氏图的特点是把频率ω看成参变量，将频率特性的幅频和相频特性同时表示在[G]复数平面上。下一页上一页返回4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和伯德图4.2.2伯德图伯德（Bode）图，亦称对数坐标图。对数坐标图由对数幅频特性和对数相频特性两幅图组成。对数幅频特性是幅频特性A(ω)的对数值L(ω)=20lgA(ω)和频率ω的关系曲线。为了作图方便，通常将它画在半对数坐标纸上。图4-6所示为半对数坐标纸的坐标系。在对数幅频特性图中，纵坐标标记为L(ω)，称为增益，单位为dB（分贝），采用线性刻度。幅频特性A(ω)每增大10倍，对数幅频特性L(ω)就增加20dB；横坐标为角频率ω，单位为rad/s，采用对数刻度。也就是说，横坐标频率ω轴上标明的是ω值，但坐标轴上的实际距离却是按对数lgω的大小刻度的。下一页上一页返回4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和伯德图

必须指出，纵坐标L(ω)轴与横坐标频率ω轴不相交，没有坐标原点。两轴是交错的，手工绘制时，通常将0dB线与横坐标频率轴重合。对数坐标图的横坐标，即频率ω轴由于采用了对数刻度，将低频段相对展宽了（低频段的频率特性对研究系统性能是比较重要的），而将高频段相对压缩了，因此对数坐标图既可以展宽视野（频率范围），又便于研究低频段的特性。对数相频特性图的横坐标与对数幅频特性的横坐标相同，也是对数刻度。纵坐标为相位φ(ω)，单位为度（°），采用线性刻度。必须指出，对数坐标图现在已经广泛应用于许多领域，并非局限于控制工程领域。上一页返回4.3典型环节的频率特性4.3.1比例环节的频率特性

图4-8（a）所示为比例环节的奈魁斯特图，图4-8（b）为其对应的伯德图。从伯德图可知，比例环节的对数幅频特性为一条幅值等于20lgK（dB）的水平线。当K＞1时，其分贝数为正；0＜K＜1时，其分贝数为负。改变传递函数中的比例系数，将导致伯德图的幅值曲线升高或降低20lgK（dB）；比例环节的相频特性始终为0°，与频率无关，因而对伯德图的相角曲线没有影响。下一页返回4.3典型环节的频率特性4.3.2积分环节的频率特性积分环节的传递函数为积分环节的频率特性为积分环节的幅频特性为积分环节的相频特性为积分环节的对数幅频特性为下一页上一页返回4.3典型环节的频率特性

积分环节的对数幅频特性如图4-9（a）所示，是一条通过（ω=1，0dB）点，斜率为-20dB/dec的直线，即频率每增大10倍，幅频特性下降20dB。相频特性如图4-9（b）所示，为一条与频率无关的-90°的水平线。综合幅频和相频特性，积分环节的幅相频率特性为一与负虚轴重合的直线，如图4-10所示。下一页上一页返回4.3典型环节的频率特性4.3.3惯性环节的频率特性惯性环节的传递函数为惯性环节的频率特性为其幅频特性为其相频特性为下一页上一页返回4.3典型环节的频率特性4.3.4振荡环节的频率特性振荡环节的传递函数为频率特性为幅频特性为相频特性为对数幅频特性为下一页上一页返回4.3典型环节的频率特性4.3.5微分环节的频率特性理想微分环节、一阶微分环节（导前环节）、二阶微分环节都属于微分环节，它们的传递函数分别与积分环节、惯性环节、振荡环节互为倒数：理想微分环节G(s)=s

积分环节G(s)=1/s

二阶微分环节G(s)=T2s2+2ζTs+1（T>0，0≤ζ<1）振荡环节下一页上一页返回4.3典型环节的频率特性设两个环节的传递函数为G1(s),G2(s)且有两个环节的频率特性为显然，有所以，只要把积分环节、惯性环节、振荡环节的对数频率特性曲线上、下倒过来，就得到相应纯微分环节、一阶微分环节、二阶微分环节的对数频率特性，如图4-15所示。下一页上一页返回4.3典型环节的频率特性4.3.6延迟环节的频率特性延迟环节的传递函数为它的频率特性为幅频特性为对数幅频特性为相频特性为下一页上一页返回4.3典型环节的频率特性延迟环节的对数相频特性如图4-17所示。延迟环节的极坐标图是一个单位图，如图4-18所示。上一页返回4.4控制系统的开环频率特性4.4.1控制系统的开环极坐标图系统的开环奈魁斯特图的画法，其原理与环节的奈魁斯特图的画法是一样的。当系统由若干典型环节组成时，系统的频率特性为典型环节频率特性的乘积，即系统奈魁斯特图的A(ω)值应是组成系统的各环节的幅值的连乘积，即下一页返回4.4控制系统的开环频率特性系统的相频特性为组成系统各环节相频特性的代数和，即对应不同类型的系统，其奈魁斯特图在形状上将具有以下特点。1.0型系统

0型系统由于其开环传递函数没有积分环节，其奈魁斯特图的起点（ω＝0）是正实轴上的一个有限值［A(0)=K］。对应于ω→∞的终点是在原点处，并按顺时针方向越过若干个象限与坐标轴相切而趋于原点。越过象限的个数应当是不包括零值极点的极点数与零点数之差。如图4-21所示。下一页上一页返回4.4控制系统的开环频率特性2.Ⅰ型系统

Ⅰ型系统由于有一个积分环节，因此包含一个相角恒等于-90°的积分因子，所以其奈魁斯特曲线低频时以和负虚轴平行的直线为渐近线。在ω→∞时，曲线收敛于原点，并按顺时针方向越过若干个象限与坐标轴相切而趋于原点。越过象限的多少与0型系统的计算方法相同。3.Ⅱ型系统

Ⅱ型系统由于包含两个积分环节，其奈魁斯特曲线在低频时是渐近于负实轴的平行线。在ω→∞时，曲线同样收敛于原点。顺时针旋转越过的象限仍按前述方法决定。可以看出，它们的共同特点是低频段幅值很大，随着频率的升高，幅值逐渐变小。因此，控制系统总是具有低通滤波的性质。

图4-22给出了除零极点以外，极点数与零点数之差为2的0、Ⅰ、Ⅱ型系统奈魁斯特图的一般形状。下一页上一页返回4.4控制系统的开环频率特性4.4.2控制系统的开环对数坐标图如式（4-51），系统的开环幅频特性为各典型环节幅频特性的连乘积，即对数幅频特性为

(4-54)

系统开环对数相频特性为

(4-55)下一页上一页返回4.4控制系统的开环频率特性

由式（4-54）和式（4-55）可知，由若干环节串联组成的系统的对数幅频特性、对数相频特性由各环节的对数幅频特性、对数相频特性叠加而成。系统开环频率特性的对数幅频特性曲线的绘制步骤如下：（1）把组成系统开环传递函数的各典型环节化为标准形式（2）选定对数幅频特性图上各坐标轴的比例；（3）确定各典型环节的转折频率ωT，并沿频率轴由小到大标出；（4）根据比例系数K，计算20lgK（dB）；（5）在半对数坐标纸上，找到频率l（rad／s）及幅值为20lgK的一点，如果有一个积分环节，则通过此点作斜率为-20dB/dec的直线；如果有2个积分环节，则通过此点作斜率为-40dB/dec的直线；如不存在积分环节，则作一条幅值为20lgK的水平线；下一页上一页返回4.4控制系统的开环频率特性（6）在每个转折频率处，按典型环节高频渐近线的斜率改变该直线的斜率。如为惯性环节，斜率变化量为-20dB/dec，如为振荡环节，斜率变化量为-40dB/dec。一阶微分和二阶微分环节，斜率分别变化＋20dB/dec和＋40dB/dec；（7）如要求精确的对数幅频特性，可对渐近线进行修正。下一页上一页返回4.4控制系统的开环频率特性4.4.3最小相位系统的概念在[s]复平面右半平面上既没有零点也没有极点的系统称为最小相位系统；反之，则为非最小相位系统。对于最小相位系统而言，当频率从0变化到无穷大时，其相位角的变化范围最小，且其幅频特性与相频特性之间具有确定的单值对应关系：幅频特性为-(n-m)×20dB/dec，对应的相频特性为-(n-m)×90°。下一页上一页返回4.4控制系统的开环频率特性4.4.4传递函数实验确定方法对于最小相位系统，由于其对数幅频特性和对数相频特性有确定的对应关系，所以只要获得对数幅频特性就可以求出系统的传递函数。具体方法如下：（1）根据被测系统伯德图的对数幅频特性曲线，用斜率为0dB/dec、±20dB/dec和±40dB/dec的直线逼近实验曲线，获得系统或元件的对数幅频特性曲线的渐近线。（2）根据渐近线低频段的斜率确定系统或元件包含积分环节（或微分环节）的个数。（3）从渐近线低频段开始，随着频率的增加，每遇转折频率，依据渐近线斜率的变化，写出对应的环节。下一页上一页返回4.4控制系统的开环频率特性（4）当传递函数中的各个环节确定以后，由对数幅频特性渐近线低频段或其延长线确定开环增益。

图4-24所示为0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统的对数幅频特性曲线，同时也表示了频率与增益K的关系。（5）根据上述结果可初步写出系统或元件的传递函数。频率特性实验时应注意以下问题：（1）在进行频率特性实验时，对于时间常数比较大的系统，实验时所取的频率范围应能充分激励系统的所有特性。（2）必须合理地选择正弦信号的幅值的大小。（3）用以测量系统输出的测量装置必须有足够的频宽，在其工作范围内应该具有接近平直的幅频特性。上一页返回4.5闭环的频率特性

由极坐标图即由奈魁斯特图确定闭环频率响应时，利用等M圆和等N圆是很方便的。下面求等幅值轨迹（等M圆）和等相角轨迹（等N圆）。1.等幅值轨迹（等M圆）为了求等幅值轨迹，应注意到G(jω)是一个复数量，因而可以写成下列形式，即因此，闭环幅频特性M(ω)表示为下一页返回4.5闭环的频率特性两边取平方因此下一页上一页返回4.5闭环的频率特性2.等相角轨迹（等N圆）首先求以X和Y为参量的相角α。因为所以，相角α为如果设下一页上一页返回4.5闭环的频率特性则因为所以即下一页上一页返回4.5闭环的频率特性在上述方程的两端同时加上得到这是一个圆方程，其圆心位于,半径为上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析4.6.1系统的临界稳定状态如图4-32所示，输入为正弦信号，系统的响应会出现这样一种情况：在某个频率下，系统输出信号与输入信号同幅值，但相位滞后了180°，此时该输出信号经负反馈后成为与输入信号完全相同的信号。注意：负反馈，在物理上相当于信号的相位翻转180°。此时，撤销输入信号，系统处于自激响应状态，系统仍然有输出。这也就是说，当开环G(jω)H(jω)曲线经过[GH]平面上的（-1，j0）点时，有幅频特性值和相频特性值为下一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析

此时，闭环系统处于临界稳定状态，称为理论上的稳定，工程实际上的不稳定。系统参数稍有变化，系统立即不稳定。（-1，j0）点是一个重要的特征点。根据频率特性的物理意义，这表明稳态时输入信号中频率等于ωi的分量，经前向和反馈通路后，振幅不变，而相角迟后180°，该分量负反馈到比较点后，相角又迟后180°，回到前向通路的输入端时，幅值和相角都和原来一样，如上图所示。因此，若幅相曲线通过临界点，则稳态后系统输出端会出现等幅振荡信号。下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析4.6.2特征根与特征多项式的相角变化已知n阶系统的特征多项式一般表示为当n个特征根都已知时，特征多项式可写成因式连乘的形式，即写成频率特性形式，有当ω由0→∞变化时，特征多项式的相位变化为下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析1.实数根引起的相角变化实数根的相角随ω变化的图形如图4-34所示。2.复数根引起的相角变化复数左根其相角随ω变化的图形如图4-35所示。复数右根其相角随ω变化的图形如图4-36所示。下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析4.6.3开环和对应闭环的关系1.开环和闭环特征多项式设有一单位反馈系统。系统的开环传递函数可用下式表达，即所以，开环的特征多项式为系统的闭环传递函数可写成下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析于是，系统闭环特征多项式为2.关于特征向量F(s)及其性质特征向量F(s)是为了建立乃奎斯特稳定性判据而引入的一个向量，可以说是为建立乃奎斯特判据而架设的桥梁。特征向量F(s)定义为下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析

然，特征向量F(s)将闭环与开环联系起来了，而且F(s)的零点就是闭环极点，F(s)的极点就是开环极点。用s=jω代入，有（4-71）（4-72）由式（4-71）、式（4-72）可以看出，特征向量F(s)是闭环特征多项式和开环特征多项式之比。因此，特征向量F(s)的相角变化既包含了开环特征根引起的相角变化，也包含了闭环特征根引起的相角变化。也就是说，当已知开环特征根相角变化时，可利用特征向量F(s)相角变化的大小，来判明闭环特征根的相角变化情况，从而决定闭环系统有无右根。显然，这就是利用开环来判别闭环稳定性的基本思想。下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析4.6.4奈魁斯特稳定判据1.开环稳定时，闭环系统的稳定判据上式就是开环稳定条件下对应闭环稳定的奈魁斯特判据。也就是说，当系统开环稳定时，对应闭环系统稳定的充分必要条件是：当ω由0→∞变化时，特征向量F(jω)所转过的总幅角应该等于0，即特征向量F(jω)曲线不包围F(s)复平面的坐标原点O1点。下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析2.开环不稳定时，闭环系统的稳定判据由此可以得出结论：如果系统开环特征方程式有q个根在复平面虚轴右边，那么，要求闭环稳定，则必须保证特征向量F(jω)的幅角在ω由0→∞变化时，沿正方向（逆时针方向）绕（-1，j0）点转动q/2圈。下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析3.关于零根的处理如果系统开环传递函数含有积分环节，那么开环特征方程就会出现零根。如何处理零根，即把零根看成左根还是右根，在判断稳定性时具有重要的意义。如果以系统稳定为目标，则要求将零根看成左根。办法是将垂直的虚轴近似看成在原点处向右有微小的偏移，如图4-43所示。具体做法是以无穷小量ε为半径在右半平面画圆，把零点撇在左边，这样就完成了把零根变成左根的处理。这样处理的结果使原来的ω=0处出现了0-和0+。如果只分析ω=0~0+这一范围，一个零根的幅值为ε，相角为π/2。因此，对于含有积分环节的开环传递函数，在原点附近，频率特性可写成：下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析

影响系统稳定性的因素有如下几点：（1）K值的大小影响幅频特性，K值增大，幅频增加，使奈魁斯特曲线有包围（-1，j0）点的趋势，因而增加了不稳定的可能性。（2）各环节的时间常数T的大小则影响系统总的相角变化。当相角变化超过-180°而进入第二象限时，也增加了包围（-l，j0）点而出现不稳定的可能性。下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析（3）系统的阶次越高，积分环节数量越多，相角的变化范围越大，而且积分环节的相角均沿顺时针方向变化，很可能出现负包围的情况，因此必须限制积分环节的数量。（4）开环传递函数的零点与极点数目之差也影响相角的变化范围。系统阶数高（极点多），若零点也较多，则有可能缓解不稳定的倾向。下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析4.6.5对数频率特性稳定判据1.对数频率特性稳定判据的原理根据奈魁斯特判据，一个控制系统，其开环是稳定的，闭环也稳定的充分必要条件是其开环幅相频率特性∠G(jω)H(jω)曲线不包围（-1，j0）点。图4-47所示的特性曲线1对应的闭环系统是稳定的，而特性曲线2对应的闭环系统是不稳定的。把上述的奈魁斯特稳定判据转化成用对数频率特性描述的系统的稳定性判据，即为对数幅相频率特性稳定判据。下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析2.对数频率特性稳定判据（1）系统开环是稳定的对数频率特性稳定判据。开环稳定对应闭环系统稳定的必要充分条件是：在L(ω)≥0dB的所有频段内，相角φ(ω)不小于-180°。（2）对数判据的普遍情况。如果系统在开环状态下的特征方程有q个根在s复平面的右半平面，它在闭环状态下稳定的充分必要条件是：在L(ω)≥0的所有频率范围内，相频特性曲线φ(ω)在-180°线上的正负穿越数之差为q/2。这里，由下向上穿越-180°线为正穿越（相角朝增大方向变化），而由上向下则为负穿越（相角朝减小方向变化）。下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析4.6.6稳定裕量稳定裕量是衡量一个闭环系统稳定程度的指标。对于一个控制系统来说，不仅要求稳定，而且必须具有足够的稳定储备。因此，在应用各种稳定性判据时，不可以使系统处于稳定的极限（临界稳定）上，而一定要使系统离稳定极限有一定的程度，这种程度就是所谓的稳定裕量。1.相位裕量和幅值（增益）裕量（1）相位裕量。在幅值交界频率ωc上，使系统达到临界稳定状态所需附加的相位滞后量，称为相位裕量，用γ表示，定义式为下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析

而计算式为显然，可以方便地将相位裕量表示在伯德图上，如图4-52所示。（2）幅值（增益）裕量。在φ(ωg)=-180°的相位交界频率φ(ωg)上，使G(jω)H(jω)达到1所应放大的倍数称为幅值（增益）裕量，用Kg表示。即定义式为幅值裕量的计算式为下一页上一页返回4.6频域稳定性判据与稳定性分析2.对增益裕量和相位裕量的要求按照要求，开环频率特性的增益裕量和相位裕量只要都是正的，闭环系统就是稳定系统，但还应有一定的裕量值。一般规定，相位裕量要求达到30°~60°，而增益裕量应当大于6dB，只有这样，即使开环增益K和元件的时间常数在一定范围内变化，也能保证系统的稳定性，并具有较好的相对稳定性。上一页返回4.7频域指标与时域指标的关系4.7.1闭环频域性能指标闭环控制系统的典型闭环幅频特性如图4-54所示。（1）闭环幅频特性的零频值M(0)；（2）复现频率ωM——闭环幅值为零频值M(0)+Δ时，对应的频率值；（3）谐振峰值M(ωr)——谐振频率rω所对应的闭环幅值，即闭环幅频特性的最大值；（4）闭环截止频率ωb——M(ω)衰减至0.707M(0)处的角频率；0~ωb称为频带宽度，简称频宽、带宽，也用ωb表示；（5）ω0.5——M(ω)衰减至0.5M(0)处的角频率；（6）ω1——M(ω)过谐振峰值后衰减至M(0)值所对应的角频率。下一页返回4.7频域指标与时域指标的关系4.7.2闭环频域指标与时域指标的关系

(4-96)(4-97)(4-98)下一页上一页返回4.7频域指标与时域指标的关系

以上分析说明，在时域法中，对性能指标有重大影响的参数是阻尼比ζ和无阻尼固有频率ωn。频域法中，对性能指标有重大影响的则是谐振峰值M(ωr)和谐振频率ωr。两者之间存在式（4-93）、式（4-96）、式（4-97）、式（4-98）这些关系。即

(4-99)下一页上一页返回4.7频域指标与时域指标的关系对于二阶系统，根据式（4-90）和频宽ωb的定义，有即下一页上一页返回4.7频域指标与时域指标的关系可解得二阶系统的截止频率ωb为由此可知，系统的截止频率ωb与系统无阻尼自然频率ωn成正比，ωn越大系统响应快速性好，因此，ωb同ωn一样，描述系统响应的快速性。下一页上一页返回4.7频域指标与时域指标的关系4.7.3开环频域指标与时域指标的关系已知二阶欠阻尼系统的开环频率特性为

(4-103)根据开环穿越频率ωc的定义，有

(4-104)下一页上一页返回4.7频域指标与时域指标的关系整理，得

(4-105)解上面的方程，可得

(4-106)二阶欠阻尼系统的开环相频特性为

(4-107)下一页上一页返回4.7频域指标与时域指标的关系当ω=ωc时，根据式（4-106），则有

(4-108)则相位裕量为

(4-109)