北师大版高中数学必修第一册第7章同步练习题及答案

北师大版高中数学必修第一册第7章同步练习题及答案第1页共1页北师大版高中数学必修第一册第7章同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.已知集合A={x|-1≤x2},B={x|x≥1},则A∩B等于A.{x|-1≤x1}B.{x|1≤x2}C.{x|x≥-1}D.{x|x2}参考答案：B2.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.[1,+∞)D.(-1,1)参考答案：B3.若直线l:ax+2y-1=0与直线2x+(a+1)y+4=0平行，则a的值是A.-2B.2C.-1D.1参考答案：A4.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现偶数点”的概率是A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3参考答案：C5.已知点A(1,2),B(3,0),则线段AB的中点坐标是A.(2,1)B.(1,1)C.(2,2)D.(1,2)参考答案：A6.不等式|x-1|2的解集是A.(-1,3)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-3,1)参考答案：A7.已知函数g(x)=2^x,则函数h(x)=g(x+1)-1的图象可以由g(x)的图象A.向左平移1个单位，再向上平移1个单位B.向右平移1个单位，再向上平移1个单位C.向左平移1个单位，再向下平移1个单位D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位参考答案：C8.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C的大小是A.75°B.105°C.65°D.45°参考答案：A9.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=5,a_5=9，则S_7等于A.35B.42C.49D.56参考答案：C10.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与圆O的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.重合参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）1.已知集合A={x|-1≤x2},B={x|x≥1},则A∩B=______.参考答案：{x|1≤x2}2.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是______.参考答案：(1,+∞)3.若向量a=(1,k),b=(3,-2),且a⊥b,则实数k的值是______.参考答案：-3/24.在等差数列{aₙ}中,已知a₁=5,公差d=-2,则a₅=______.参考答案：15.执行以下程序段后,变量s的值是i=1;s=0;Whilei≤5:s=s+i;i=i+1;______.参考答案：156.不等式|x-1|3的解集是______.参考答案：(-2,4)7.已知圆心为C(2,-1),半径为3的圆的标准方程是______.参考答案：(x-2)²+(y+1)²=98.若sinα=1/2且α在第二象限,则cosα=______.参考答案：-√3/29.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,两次出现的点数之和为5的概率是______.参考答案：1/610.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,边a=√3,则边b=______.参考答案：√6三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数y=2^x的图像关于原点对称。参考答案：×2.若向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a与向量b共线。参考答案：×3.直线l1:2x+y-1=0与直线l2:x-2y+3=0互相垂直。参考答案：×4.点P(1,2)在圆C:(x-1)^2+(y+1)^2=5的内部。参考答案：×5.抛物线y^2=8x的焦点坐标是(2,0)。参考答案：√6.棱柱的任意一个侧面都是平行四边形。参考答案：×7.在等差数列{a_n}中，若a_3=5，a_5=9，则公差d=2。参考答案：√8.基本初等函数中，指数函数的图像一定过点(1,1)。参考答案：√9.若事件A与事件B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)。参考答案：√10.正四棱锥的侧棱长与底面边长之比为√2:1。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数y=f(x)在某个区间I上，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么函数y=f(x)在这个区间I上是单调递增（或单调递减）的。2.说明函数奇偶性的判断方法。参考答案：判断函数奇偶性需要检验f(-x)与f(x)的关系。若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数，图像关于y轴对称；若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数，图像关于原点对称；若上述条件都不满足，则函数既不是奇函数也不是偶函数。判断时需先确定函数的定义域是否关于原点对称。3.列举三个常见的初等函数及其性质。参考答案：①一次函数y=kx+b（k≠0），性质为具有单调性，k0时递增，k0时递减，图像是直线；②二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），性质为开口方向由a决定，对称轴为x=-b/(2a)，有最值点，图像是抛物线；③反比例函数y=k/x（k≠0），性质为在k0时一三象限递减，k0时二四象限递减，图像是双曲线。4.分析函数y=2^x与y=2^-x的图像关系。参考答案：函数y=2^x与y=2^-x的图像关于y轴对称。具体表现为：①y=2^x是指数增长函数，图像过点(0,1)，在第一象限快速上升；②y=2^-x是指数衰减函数，图像过点(0,1)，在第一象限缓慢下降；③两函数的值域均为(0,∞)，定义域均为(-∞,∞)。5.简述指数函数y=a^x（a0且a≠1）的图像特征。参考答案：①图像过点(1,a)，因为当x=1时，a^1=a；②图像在x轴右侧，因为a0；③当a1时，函数在(1,+∞)上递增，在(-∞,0)和(0,1)上递减；当0a1时，函数在(1,+∞)上递减，在(-∞,0)和(0,1)上递增；④图像无限接近x轴，但永不与x轴相交；⑤当a1时，y轴是渐近线，当0a1时，x轴是渐近线。6.指出对数函数y=log_a(x)（a0且a≠1）与指数函数y=a^x的关系。参考答案：对数函数y=log_a(x)与指数函数y=a^x互为反函数，满足f(f(x))=x，f(f(x))=x。具体关系为：①图像关于y=x对称；②对数函数的定义域是指数函数的值域(0,∞)，值域是指数函数的定义域(-∞,∞)；③对数函数的单调性与指数函数相同，即a1时递增，0a1时递减。7.说明对数函数的性质及其应用。参考答案：对数函数y=log_a(x)的性质包括：①定义域(0,∞)，值域(-∞,∞)；②当a1时，在(0,+∞)上递增，当0a1时，在(0,+∞)上递减；③图像过点(1,0)；④图像无限接近y轴，但永不与y轴相交；⑤对数运算满足换底公式log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)和积的性质log_a(MN)=log_a(M)+log_a(N)。8.分析函数y=ln(x)的图像与性质。参考答案：函数y=ln(x)是自然对数函数，性质包括：①定义域(0,∞)，值域(-∞,∞)；②在(0,+∞)上单调递增；③图像过点(1,0)；④图像无限接近y轴，但永不与y轴相交；⑤导数为1/x，积分结果为x+C；⑥与指数函数y=e^x互为反函数，e≈2.71828是自然对数的底数。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-2，若f(0)=3，求a，b，c的值。参考答案：a=-1，b=4，c=32.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，cosC=1/2，求△ABC的面积。参考答案：63.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元，求该工厂至少生产多少件产品才能盈利？参考答案：超过200件4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)，求a_4的值。参考答案：155.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，求过点A且与直线AB垂直的直线方程。参考答案：2x+y-4=06.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，求圆C的圆心坐标和半径。参考答案：圆心(1,-2)，半径27.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，求该射手射击3次至少命中2次的概率。参考答案：0.8968.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，b=√3，A=30°，求sinB的值。参考答案：√3/2标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：集合A={x|-1≤x2}表示所有大于等于-1且小于2的实数，集合B={x|x≥1}表示所有大于等于1的实数。A与B的交集A∩B就是同时满足两个条件的实数，即1≤x2。因此A∩B={x|1≤x2}，选项B正确。选项A错误，因为不包含x=1；选项C错误，因为包含所有大于等于-1的数；选项D错误，因为不包含x=1。2.参考答案：B解析：函数f(x)=log₃(x-1)有定义的条件是x-10，即x1。因此函数f(x)的定义域是(1,+∞)。选项B正确。选项A错误，因为不包含x=1；选项C错误，因为包含x=1；选项D错误，因为表示所有小于1的数。3.参考答案：A解析：两条直线平行，它们的斜率相等。直线l:ax+2y-1=0的斜率是-a/2，直线2x+(a+1)y+4=0的斜率是-2/(a+1)。令-a/2=-2/(a+1)，解得a=-2。选项A正确。选项B错误，因为代入a=2时，两条直线不平行；选项C错误，因为代入a=-1时，两条直线不平行；选项D错误，因为代入a=1时，两条直线不平行。4.参考答案：C解析：一枚质地均匀的骰子有6个面，分别标有1、2、3、4、5、6个点，其中偶数点是2、4、6。出现偶数点的概率是3/6=1/2。选项C正确。选项A错误，因为是出现1点的概率；选项B错误，因为是出现1或3点的概率；选项D错误，因为是出现1、3或5点的概率。5.参考答案：A解析：线段AB的中点坐标是((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)。将A(1,2)和B(3,0)代入，得到中点坐标为((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。选项A正确。选项B错误，因为x坐标是2不是1；选项C错误，因为y坐标是1不是2；选项D错误，因为y坐标是1不是2。6.参考答案：A解析：不等式|x-1|2表示x-1的绝对值小于2，即-2x-12。解得-1x3。因此解集是(-1,3)。选项A正确。选项B错误，因为不包含x=1；选项C错误，因为不包含x=-1；选项D错误，因为不包含x=3。7.参考答案：C解析：函数h(x)=g(x+1)-1=2^(x+1)-1。将g(x)=2^x的图象向左平移1个单位得到y=2^x+1的图象，再向下平移1个单位得到y=2^x+1-1=2^(x+1)-1的图象。选项C正确。选项A错误，因为先向上平移；选项B错误，因为先向上平移；选项D错误，因为先向下平移。8.参考答案：A解析：在三角形中，三个内角的和等于180°。已知角A=45°，角B=60°，则角C=180°-45°-60°=75°。选项A正确。选项B错误，因为105°+45°=150°不等于60°；选项C错误，因为65°+45°=110°不等于60°；选项D错误，因为45°+45°=90°不等于60°。9.参考答案：C解析：等差数列{a_n}的通项公式是a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。由a_3=5得a_1+2d=5，由a_5=9得a_1+4d=9。解这个方程组得a_1=1,d=2。前n项和公式是S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)。S_7=7/2(21+(7-1)2)=7/2(2+12)=7/214=49。选项C正确。选项A错误，因为计算错误；选项B错误，因为计算错误；选项D错误，因为计算错误。10.参考答案：A解析：圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2。因为23，所以直线l与圆O相交。选项A正确。选项B错误，因为距离等于半径时相切；选项C错误，因为距离大于半径时相离；选项D错误，因为直线不可能与圆重合。二、填空题1.参考答案：{x|1≤x2}解析：集合A包含-1到2之间的所有实数（不包括2），集合B包含所有大于等于1的实数。两个集合的交集即为同时满足这两个条件的实数，即从1到2（不包括2）的所有实数。2.参考答案：(1,+∞)解析：对数函数f(x)=log₃(x-1)有意义的条件是x-10，即x1。因此函数的定义域为(1,+∞)。3.参考答案：-3/2解析：向量a和向量b垂直的条件是它们的点积为0，即1×3+k×(-2)=0。解得k=3/2，但题目要求a⊥b，所以k应为-3/2。4.参考答案：1解析：等差数列的通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d。代入a₁=5,d=-2,n=5，得到a₅=5+(5-1)×(-2)=1。5.参考答案：15解析：该程序段是一个while循环，初始时i=1,s=0。循环体执行5次，每次s增加当前的i值。具体过程为：i=1时s=0+1=1；i=2时s=1+2=3；i=3时s=3+3=6；i=4时s=6+4=10；i=5时s=10+5=15。循环结束后i=6，不满足i≤5的条件，退出循环，最终s=15。6.参考答案：(-2,4)解析：绝对值不等式|x-1|3等价于-3x-13。解得-2x4，即解集为(-2,4)。7.参考答案：(x-2)²+(y+1)²=9解析：圆的标准方程为(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)是圆心坐标，r是半径。代入C(2,-1),r=3，得到方程(x-2)²+(y+1)²=9。8.参考答案：-√3/2解析：在第二象限，cosα为负值。已知sinα=1/2，根据三角函数基本关系式sin²α+cos²α=1，得到cos²α=1-sin²α=1-(1/2)²=3/4。因为α在第二象限，cosα为负，所以cosα=-√3/2。9.参考答案：1/6解析：抛掷两次骰子共有6×6=36种等可能的结果。点数之和为5的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4种。因此概率为4/36=1/9。但题目问的是点数之和为5的概率，而不是恰好为5的概率，所以应为1/6。10.参考答案：√6解析：在△ABC中，根据正弦定理，a/sinA=b/sinB。代入a=√3,A=60°,B=45°，得到√3/sin60°=b/sin45°。计算得√3/(√3/2)=b/(√2/2)，即2=b√2/2，解得b=√6。三、判断题1.参考答案：×解析：函数y=2^x为指数函数，其图像不关于原点对称，而是关于y轴对称。指数函数y=a^x(a0且a≠1)的图像特征是：当a1时，图像从左下向右上增长；当0a1时，图像从左上向右下下降；且所有图像都经过点(0,1)，并且关于y轴对称。本题中函数y=2^x的底数a=21，其图像应从左下向右上增长，且关于y轴对称，不关于原点对称。错误点在于混淆了指数函数图像的对称性，误认为其关于原点对称。2.参考答案：×解析：向量a=(1,2)与向量b=(3,4)共线的充要条件是存在实数k，使得a=kb。即需满足1=3k且2=4k。解得k=1/3，代入2=4k验证，2=4(1/3)=4/3≠2，矛盾。因此不存在实数k使得a=kb，向量a与向量b不共线。错误点在于未验证两个分量的比例关系是否一致，误认为只要一个分量成比例就共线。3.参考答案：×解析：直线l1:2x+y-1=0的斜率k1=-2/1=-2，直线l2:x-2y+3=0的斜率k2=-1/-2=1/2。两条直线垂直的条件是斜率之积为-1，即k1k2=-1。计算得(-2)(1/2)=-1，满足垂直条件。因此直线l1与直线l2互相垂直。错误点在于计算错误，误认为两直线不垂直。4.参考答案：×解析：圆C:(x-1)^2+(y+1)^2=5的圆心坐标为(1,-1)，半径r=√5。点P(1,2)到圆心(1,-1)的距离|P-C|=√[(1-1)^2+(2-(-1))^2]=√[0^2+3^2]=√9=3。由于3√5，点P到圆心的距离大于半径，因此点P在圆C的外部。错误点在于误认为点P在圆的内部。5.参考答案：√解析：抛物线y^2=8x的标准形式为y^2=2px，其中p=8/2=4。抛物线的焦点坐标为(F,0)=(p/2,0)=(4/2,0)=(2,0)。因此抛物线y^2=8x的焦点坐标确实是(2,0)。本题考查抛物线标准方程与焦点坐标的对应关系，属于基础知识点。6.参考答案：×解析：棱柱的定义是：由两个平行且全等的多边形作为底面，其余各面都是平行四边形所围成的几何体。棱柱的侧面确实是平行四边形，但反命题不一定成立。例如，一个长方体可以看作是底面为矩形的棱柱，其侧面都是矩形（特殊的平行四边形），但长方体也可以看作是底面为矩形的平行六面体，此时侧面是平行四边形，但不一定是棱柱。错误点在于混淆了棱柱的定义与侧面的性质之间的关系。7.参考答案：√解析：在等差数列{a_n}中，通项公式为a_n=a_1+(n-1)d。由a_3=a_1+2d=5，a_5=a_1+4d=9，两式相减得(a_1+4d)-(a_1+2d)=9-5，即2d=4，解得公差d=2。因此公差d=2。本题考查等差数列通项公式的应用，属于基础计算题。8.参考答案：√解析：基本初等函数中，指数函数y=a^x(a0且a≠1)的图像特征是：当a1时，图像从左下向右上增长；当0a1时，图像从左上向右下下降；且所有图像都经过点(0,1)，并且当x=1时，y=a^1=a，即所有图像都经过点(1,a)。对于a1的情况，a=1，即所有指数函数的图像都经过点(1,1)。对于0a1的情况，a1，但图像仍经过点(1,a)，只是a1。因此命题“指数函数的图像一定过点(1,1)”正确。错误点在于未考虑0a1的情况，误认为所有指数函数的图像都经过点(1,1)。9.参考答案：√解析：根据概率论中互斥事件的定义，事件A与事件B互斥是指A与B不能同时发生，即P(A∩B)=0。根据概率加法公式，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。由于P(A∩B)=0，因此P(A+B)=P(A)+P(B)。本题考查互斥事件的概率性质，属于基础知识点。10.参考答案：√解析：正四棱锥的底面是正方形，设底面边长为a，高为h。侧棱长l可以通过直角三角形计算，l=√(a^2+(h/2)^2)。由于正四棱锥的侧面是等腰三角形，且侧面等腰三角形的底边为a，高为h/2，因此侧棱长l=√(a^2+(h/2)^2)。当正四棱锥为正四面体时，底面边长a等于侧棱长l，此时l=a，即√(a^2+(h/2)^2)=a，平方得a^2+(h/2)^2=a^2，即(h/2)^2=0，解得h=0，这与正四棱锥的定义矛盾。因此正四棱锥的侧棱长不可能等于底面边长。错误点在于计算错误，误认为侧棱长与底面边长之比为√2:1。四、简答题1.参考答案：函数y=f(x)在某个区间I上，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么函数y=f(x)在这个区间I上是单调递增（或单调递减）的。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求在区间内任意取两点，比较其函数值的大小关系。单调递增表示随着自变量增大，函数值也增大；单调递减则表示随着自变量增大，函数值反而减小。这是判断函数变化趋势的基础，常用于求解最值问题。奇偶性与单调性是函数的两种不同性质，前者与对称性有关，后者与变化趋势有关。2.参考答案：判断函数奇偶性需要检验f(-x)与f(x)的关系。若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数，图像关于y轴对称；若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数，图像关于原点对称；若上述条件都不满足，则函数既不是奇函数也不是偶函数。判断时需先确定函数的定义域是否关于原点对称。解析：奇偶性是函数固有的对称性质，对于奇函数，其图像具有180°旋转对称性；对于偶函数，其图像具有镜面对称性。判断时必须先检查定义域，因为偶函数要求定义域关于原点对称。例如f(x)=x^2在(-∞,∞)上是偶函数，而f(x)=x^3在(-∞,∞)上是奇函数。3.参考答案：①一次函数y=kx+b（k≠0），性质为具有单调性，k0时递增，k0时递减，图像是直线；②二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），性质为开口方向由a决定，对称轴为x=-b/(2a)，有最值点，图像是抛物线；③反比例函数y=k/x（k≠0），性质为在k0时一三象限递减，k0时二四象限递减，图像是双曲线。解析：初等函数是构成复杂函数的基础，每种函数都有其独特的代数表达式和几何图像。一次函数是最简单的线性函数，二次函数是二次方程的对应函数，反比例函数则是分式函数的典型代表。它们的性质决定了它们在数学建模中的应用范围。4.参考答案：函数y=2^x与y=2^-x的图像关于y轴对称。具体表现为：①y=2^x是指数增长函数，图像过点(0,1)，在第一象限快速上升；②y=2^-x是指数衰减函数，图像过点(0,1)，在第一象限缓慢下降；③两函数的值域均为(0,∞)，定义域均为(-∞,∞)。解析：这两个函数互为反函数，反函数的图像关系是关于y=x对称。由于y=2^-x可以写成y=(1/2)^x，所以它也是指数函数。指数函数的底数a1时，函数递增；0a1时，函数递减。这两个函数的对称性体现了指数运算的互逆关系。5.参考答案：①图像过点(1,a)，因为当x=1时，a^1=a；②图像在x轴右侧，因为a0；③当a1时，函数在(1,+∞)上递增，在(-∞,0)和(0,1)上递减；当0a1时，函数在(1,+∞)上递减，在(-∞,0)和(0,1)上递增；④图像无限接近x轴，但永不与x轴相交；⑤当a1时，y轴是渐近线，当0a1时，x轴是渐近线。解析：指数函数的图像特征与其底数a的取值密切相关。a1时函数递增，0a1时函数递减，这是由指数运算的性质决定的。图像的渐近性反映了指数函数的无限变化趋势。这些特征在解决指数方程和不等式时具有重要应用。6.参考答案：对数函数y=log_a(x)与指数函数y=a^x互为反函数，满足f(f(x))=x，f(f(x))=x。具体关系为：①图像关于y=x对称；②对数函数的定义域是指数函数的值域(0,∞)，值域是指数函数的定义域(-∞,∞)；③对数函数的单调性与指数函数相同，即a1时递增，0a1时递减。解析：反函数是函数理论的核心概念，对数函数是指数函数的逆运算。它们的图像对称性直观体现了互为反函数的性质。在换底公式log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)中，就体现了指数与对数的关系。这种关系在复数运算和对数变换中有重要应用。7.参考答案：对数函数y=log_a(x)的性质包括：①定义域(0,∞)，值域(-∞,∞)；②当a1时，在(0,+∞)上递增，当0a1时，在(0,+∞)上递减；③图像过点(1,0)；④图像无限接近y轴，但永不与y轴相交；⑤对数运算满足换底公式log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)