【专题突破】函数对称性周期性问题【题型归纳】-A

【专题突破】

函数对称性周期性问题A【题型1】识别对称轴，对称中心【题型2】由对称求解析式【题型3】由平移前后关系得出原函数对称性【题型4】与对称性有关的材料题【题型5】通过周期性求值或解析式【题型6】由对称性进而得出周期【题型7】类周期函数与倍增函数【题型8】由中心对称求出函数中间值【题型9】由对称性求交点坐标的和【题型10】由解析式看出对称性【题型11】由对称性解函数不等式【题型12】由解析式看出对称中心再解函数不等式【题型13】由解析式看出对称轴再解函数不等式【题型14】配凑后得出新函数的对称性【题型15】已知一个对称轴（中心）和周期【题型16】涉及导函数对称性问题【题型17】两个函数混合型【题型18】两个函数混合且涉及导数【题型1】识别对称轴，对称中心若，且关于对称若，且关于对称1．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．【巩固练习1】2．已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【巩固练习2】3．已知函数的图象关于点对称，则（

）A．1 B．2 C． D．【题型2】由对称求解析式一、把的图像关于对称，对称后的函数为，则证明：设对称后的点为，则点在上，故，即二、把的图像关于对称，对称后的函数为，则证明：设对称后的点为，则点在上，代入可得，则有，即（2024·四川成都·三模）4．函数与的图象（

）A．关于对称 B．关于对称C．关于对称 D．关于对称【巩固练习1】5．若函数y＝g（x）的图象与y＝lnx的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝．【题型3】由平移前后关系得出原函数对称性若已知是奇（偶）函数求对称性是偶函数关于对称，是奇函数关于对称举个例子：若是奇函数证：设关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a，b的值对称中心2024·江苏高邮·统考6．定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（

）A． B． C． D．【巩固练习】7．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（

）A． B．C． D．【题型4】与对称性有关的材料题结合材料得出结论，再解决问题8．在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【巩固练习1】9．已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（

）A．的对称中心为B．关于对称C．的对称中心为D．的图象关于对称【巩固练习2】（2023上·湖南长沙·高一长沙一中校考）10．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．（1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为．（2）已知函数与一次函数有两个交点，，则．【题型5】通过周期性求值或解析式（1）求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期．（2）利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题．周期函数的常见条件一、若（c为常数），则周期为2a.证明：令，两式相减得即，故二、若，则（相对少见）证明：由，得三、其它周期条件设函数，，，．（1）若，则函数的周期为2a；（2）若，则函数的周期为2a；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a；（5）若，则函数的周期为；（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．三、周期与对称性的区分1.若则具有周期性；2.若,则具有对称性：口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”（2024·陕西西安·二模）11．已知定义域为的函数满足，且当时，，则.【巩固练习1】12．已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（

）A．为奇函数B．在上的解析式为C．的值域为D．【巩固练习2】13．设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（

）A． B．C． D．【题型6】由对称性进而得出周期一、若关于和对称，则（类比三角函数）证明：由对称轴可得，由对称中心可得则有，令，则有，故三、若关于和对称，则（类比三角函数）证明：由对称性可得，则，故四、若关于和对称，则证明：由对称性可得，故2021全国甲卷（文）12题——由对称性得出周期性求值14．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．2021新高考2卷第8题——由对称性得出周期性求值15．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．2024·广东省一模16．已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2024·安徽芜湖·二模17．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（

）A．4036 B．4040 C．4044 D．404818．已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，，则（

）A． B． C． D．2024·山东济宁·一模19．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（

）A． B．0 C．1 D．220．已知函数的定义域为，若，且为偶函数，，则（

）A． B．C． D．2024·浙江·Z20第二次联考21．函数是定义在上的奇函数，满足，以下结论正确的是（

）A． B．C． D．2024·河北张家口·一模22．已知定义在上的函数满足：，且．若，则（

）A．506 B．1012 C．2024 D．4048【巩固练习1】（2024·湖南长沙·二模）23．已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（

）A．2 B． C．0 D．【巩固练习2】（2024·高三·辽宁营口·期末）24．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．【巩固练习3】2021全国甲卷（理）12题25．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．【巩固练习4】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）26．已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（

）A．0 B．50 C．2509 D．2499【巩固练习5】（2024·全国·三模）27．已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（

）A．B．C．是图象的一条对称轴D．是图象的一个对称中心【题型7】类周期函数与倍增函数类周期函数的定义：若y＝f(x)满足：f(x＋m)＝kf(x)或f(x)＝kf(xm)，则y＝f(x)横坐标每增加m个单位，则函数值扩大k倍．此函数称为周期为m的类周期函数．1、类周期函数若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．2、倍增函数若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．2024·辽宁·二模28．已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为．29．定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（

）A． B． C． D．30．已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为.【巩固练习1】31．设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（2024·云南昆明·二模）32．定义“函数是上的级类周期函数”如下:函数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期.若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【巩固练习3】33．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型8】由中心对称求出函数中间值已知奇函数，，则（1）（2）34．是定义在R上的函数，为奇函数，则（

）A．－1 B． C． D．135．设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为.36．函数在上的最大值和最小值分别为，则.37．已知函数，且，则．【巩固练习1】38．设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为.【巩固练习2】（2024·高三·安徽·期中）39．函数的最大值为，最小值为，若，则．【巩固练习3】40．已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则．【巩固练习4】41．已知函数在[0，2]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=．【巩固练习5】42．已知函数，，若的最大值为，最小值为，则.参考答案：1．C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.2．BCD【分析】依题意可得，再由奇偶性得到，从而得到，即可判断A，由，可得，再由，即可求出，从而判断B，再结合奇偶性的定义判断C、D.【详解】解：由，得．由是奇函数，得，即，所以，即，所以，故选项A错误；由，得，由，得，所以，故选项B正确；由，，得，即为偶函数，故选项C正确；由，，得，则，即为奇函数，故选项D正确．故选：BCD3．C【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得.【详解】由对称中心性质可知函数满足，即，整理可得，即，解得.故选：C4．D【分析】首先得到曲线关于的对称曲线为，再对比系数得到方程求出，即可得解.【详解】因为曲线关于的对称曲线为，即，与对比系数可知，解得，所以函数与的图象关于对称．故选：D5．ln（4－x）【分析】利用对称的定义求解即可.【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数y＝lnx的图象上，所以y＝ln（4－x）,即,故答案为：6．D【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可.【详解】由题意得函数是奇函数，则关于对称，另知函数和的图象关于轴对称，故关于对称，故选：D7．D【分析】根据给定信息，利用函数奇偶性定义导出函数的相关性质，再计算判断即可.【详解】函数的定义域为R，由是偶函数，得，即，由为奇函数，得，即，显然，因此，即，有，，，而的值都不确定，ABC错误，D正确.故选：D【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.8．BCD【分析】函数的图象关于成中心对称,可得所以的图象关于原点对称，令，可求得，故错误,正确；又，故正确，令此式中，可求得,判断出选项【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以的图象关于原点对称，则，所以，故错误,正确；所以对任意，都有，故正确；在中令得，且，所以，故正确.故选:BCD.9．AB【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性、对称性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，设，为奇函数，所以的对称中心为，所以A选项正确.B选项，，设，为偶函数，所以关于对称，所以B选项正确.C选项，，设，，所以不是奇函数，所以C选项错误.D选项，，设，，所以不是奇函数，所以D选项错误.故选：AB10．【分析】（1）将函数对称中心设出来，利用条件列方程组，解方程组可以得到对称中心坐标.（2）利用结论进行分析，得到的对称中心为，再根据恒过点，得到点为两个函数图像交点的中点，利用中点坐标公式计算推出的值.【详解】（1）设点为函数图象的对称中心，令，则为奇函数，所以，即，可得，，所以，解得，所以函数的对称中心为.故答案为：（2）若函数的图象关于点成中心对称图形则函数为奇函数，所以，即，所以函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件可转化为，因为，，所以，即对称中心为，因为函数的图像是恒过点的直线，所以交点，的中点为，所以，，即.故答案为：【点睛】函数的图像关于点对称，等价于，也等价于.11．【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.【详解】由已知可得，所以，所以，即是函数的一个周期，所以.故答案为：12．ABD【分析】根据题意，分析可得区间上，的解析式，再分析函数的周期性，可得的图象关于原点对称，由此分析选项是否正确，即可得答案．【详解】根据题意，时，，因为时，，所以，又由，则，即，，若，则，，若，则，，故在区间上，所以关于原点对称，又由，则，即函数是周期为的周期函数，故的图象关于原点对称，由此分析选项：对于A，的图象关于原点对称，为奇函数，故A正确；对于B，当时，则，则，函数是周期为的周期函数，则，故B正确；对于C，在区间上，，则，，所以，故的值域一定不是，故C错误；对于D，因为时，，所以，，又，则，则有，，故，所以，故D正确；故选：ABD．13．C【分析】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合时，，分别讨论和的两种情况下对应的解析式，综合可得答案.【详解】是定义在上的周期为的偶函数，时，，时，，，此时，当时，，，此时，所以，综上可得：时，故选：C.14．C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.15．B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.16．BD【分析】根据奇函数、偶函数的性质，首先推出函数为周期函数，再根据函数的单调性，判断函数的符号，可得有关的结论.【详解】因为为偶函数，所以；因为是上的奇函数，所以，且的图象是由的图象向左平移个单位得到的，所以的图象关于点对称，进一步得的图象关于点中心对称，即.所以，所以.所以函数是周期函数，且周期为；又在上单调递增，所以在上，有.所以函数的草图如下：

由图可知：，故A错；，故B对；，故C错；，故D对.故选：BD17．D【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解.【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，因为，所以，则，因为关于直线对称，所以，又因为关于点对称，所以，又因为，又因为，所以，所以，故D正确.故选：D.18．D【分析】推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性可求得的值.【详解】因为是偶函数，所以，将换为，得①(即对称轴x=-2)，又因为，所以，将换为得②(即对称中心（-1,0））.由①②得，令,则,所以,将换得③,将换为为得④.由③④得，将换为得⑤所以函数是周期为的周期函数（由对称中心和对称轴也可直接得到周期为4），当时，，则，，由③得，由④得，根据周期性⑤得：，，，，所以，又因为，故.故选：D.【点睛】对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数的图象关于两不同直线和对称，则函数的周期为；（2）若函数的图象关于两不同点和点对称，则函数的周期为；（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.19．C【分析】由为奇函数得到函数的对称中心，由为偶函数得到函数的对称轴，进一步求得函数的周期，然后将与转化到已知区间求解即可.【详解】因为函数定义域为，为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，且，因为为偶函数，所以，所以函数关于直线轴对称，又因为，所以函数的周期为，因为当时，，所以，，所以.故选：C.20．BCD【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A，再根据函数周期和对称性求值，并求函数值，判断BCD.【详解】∵，∴关于对称∵为偶函数，∴关于对称∴的周期，故A错；（∵的周期为12）（∵关于对称）（∵关于对称），故B正确；（∵的周期为12）（∵关于对称）（∵关于对称），即，故C正确；∵的周期为12∴，，又，所以，同理，，，，又，所以，即，由，令，得，，，所以，所以，，，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过对称性判断函数的周期.21．BC【分析】首先由抽象函数的形状判断函数的周期，并求的值，即可求解.【详解】由条件，可知，所以，所以函数是周期为4的函数，，故A错误；，故B正确；由条件，可知，所以，故C正确；由函数的周期为4，且，，所以，故D错误.故选：BC22．C【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果.【详解】，①，即，所以，所以函数的图象关于对称，令，则，所以，令，，又，所以，又，，②即函数的图象关于直线对称，且由①和②，得，所以，则函数的一个周期为4，则，所以.故选：C23．A【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值.【详解】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有，故函数的图象关于直线对称，∴，故，∴，∴是周期为4的周期函数．则．故选：A．24．B【分析】根据为奇函数，为偶函数，可得函数的周期，且为偶函数，根据时，，求的值得此时解析式，即可求得的值.【详解】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且，又为偶函数，，则关于对称，所以②，由①②可得，即，所以，于是可得，所以的周期，则，所以为偶函数则，所以，所以所以，解得，所以当时，所以.故选：B.25．D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．26．D【分析】由图象的对称中心得图象的对称中心，由，构造函数，求出图象的对称性和周期，由求值即可.【详解】因为的图象关于点对称，所以，即，从而，则的图象关于点对称．由，可得．令，得，则的图象关于直线对称．，则的图象关于点对称，则有，所以，，两式相减得，故是以4为周期的函数．因为，，，，所以．故选：D.【点睛】方法点睛：关于函数图象对称性的几个结论：1、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线对称.2、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线对称.3、函数满足的充要条件是图象关于直线对称.4、若满足，则的图象关于原点对称.5、若满足，则的图象关于点对称.6、若满足，则的图象关于点对称.27．BCD【分析】由条件证明直线为函数的对称轴，点为函数的对称中心，结合函数的周期定义证明为周期函数，由此判断A，再证明，结合周期性判断B，证明为函数的对称轴，结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D.【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即，所以，所以的图象关于直线对称.因为的图象关于点对称，所以，即，所以的图象关于点对称.所以.令，得.由，可得，故即，所以，所以函数的周期，所以，又不恒为零，所以错误，A错误，，B正确；因为的图象关于直线对称，的图象关于点对称，所以，所以为函数的对称轴，结合周期性可得，，为函数的图象的对称轴，所以是函数图象的一条对称轴，C正确；因为，，所以，所以原点为函数的一个对称中心，结合函数周期性可得点，，为函数图象的对称中心，所以点是函数图象的一个对称中心，D正确.故选：BCD.28．【分析】根据已知条件分别求出，，…,，相加可得答案．【详解】函数的定义域为，满足，且当,时，，，，，，，．故答案为：．29．B【分析】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】由函数满足，且当时，当时，可得；当时，可得，所以在区间上，可得，作函数的图象，如图所示，所以当时，，故选：B.

30．【分析】分别求出，，的解析式，画出的图象，由图象即可求解.【详解】当时，则，所以，即，当时，则，所以，即，则，当时，则，所以，即，画出的图象如下：

由图象可知，当时，方程在区间内有实数解，所以实数的取值范围为.故答案为：31．A【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围.【详解】当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍.当时，，故，则，；当时，，故，则，；当时，，故，则，.如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得：．故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题.对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围.32．C【分析】由题可得，，然后利用函数的单调性即得.【详解】∵时,，∴当时,；当时,，即时,，∵在上单调递增，∴且，解得，∴实数的取值范围是.故选：C.33．C【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【详解】因为函数的定义域为，满足，且当时，，当，时，，则，当，时，，则，当，时，，则，作出函数的大致图象，对任意，都有，设的最大值为，则，所以，解得或，结合图象知m的最大值为，即的取值范围是.故选：C.34．A【分析】由奇函数定义得，及即可求值【详解】是定义在R上的函数，为奇函数，则.∴.故选：A35．【分析】根据函数的奇偶性求得，利用