分数几何问题解题试题

分数几何问题解题试题一、填空题（每空3分，共15分）1.在分数四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，若AC=5，BD=7，则EG=________，FH=________。2.已知点A、B、C、D在同一个圆上，且∠A=60°，∠B=75°，则∠ADC=________。3.在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且AD=1，DB=2，AE=2，EC=1，则△ADE与△ABC的面积之比为________。4.在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=108°，则五边形ABCDE的面积与其内接圆半径为1的圆的面积之比为________。5.在△ABC中，内切圆半径为r，外接圆半径为R，若a=5，b=6，c=7，则r/R=________。二、选择题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的是（）。A.任何四边形都可以内接于一个圆。B.任何四边形都可以外切于一个圆。C.如果一个四边形的外接圆和内切圆重合，那么这个四边形是正方形。D.如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形。2.在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且AD=1，DB=2，AE=2，EC=1，则△ADE与△ABC的周长之比为（）。A.1:3B.1:2C.1:1D.2:33.在一个圆内接正六边形和一个正三角形中，它们的面积之比为（）。A.1:2B.2:3C.3:2D.1:√34.在半径为R的圆内接一个正方形，正方形的边长与圆的直径之比为（）。A.1:2B.1:√2C.√2:1D.1:45.在一个圆内接五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，则∠A的度数为（）。A.108°B.120°C.72°D.60°三、解答题（共65分）1.（10分）在△ABC中，内切圆分别与边AB、BC、CA切于点D、E、F，若AB=9，BC=10，CA=11，求△ABC的面积。2.（15分）在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=108°，AB=BC=CD=DE=EA=1，求五边形ABCDE的面积。3.（15分）在圆O中，弦AB=8，弦CD=6，且AB与CD相交于点E，若OE=4，求AB与CD之间的距离。4.（15分）在△ABC中，内切圆半径为r，外接圆半径为R，若a=5，b=6，c=7，求△ABC的面积，并比较r与R的大小。5.（10分）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且AD=1，DB=2，AE=2，EC=1，求△ADE与△ABC的面积之比。答案及解析一、填空题1.EG=5/2，FH=7/2。解析：连接AC、BD，交于点O。由于E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形中位线定理，EG平行于BD且EG=BD/2，FH平行于AC且FH=AC/2。所以EG=7/2，FH=5/2。2.∠ADC=105°。解析：由于A、B、C、D在同一个圆上，根据圆内接四边形的性质，对角互补。所以∠ADC+∠B=180°，即∠ADC=180°75°=105°。3.△ADE与△ABC的面积之比为1:3。解析：连接DE。由于AD=1，DB=2，所以AB=3。同理，AC=3。又因为AE=2，EC=1，所以AE=EC。根据等底同高三角形面积相等，△ADE与△AEC的面积相等。由于△AEC与△ABC等底同高，所以△AEC与△ABC的面积相等。所以△ADE与△ABC的面积之比为1:3。4.五边形ABCDE的面积与其内接圆半径为1的圆的面积之比为(5+2√5):(5+2√5)π，约等于0.755。解析：连接对角线AC、BD，交于点O。由于五边形ABCDE的每个内角都是108°，所以∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=360°/5=72°。又因为内接圆半径为1，所以三角形AOB、BOC、COD、DOE、EOA都是等腰三角形，且底边上的高为1。所以五边形ABCDE的面积可以分成5个等腰三角形。每个等腰三角形的面积可以用公式S=1/2底高计算。所以五边形ABCDE的面积为51/211=5/2。内接圆半径为1的圆的面积为π1^2=π。所以面积之比为5/2:π，约等于0.796。5.r/R=3/14。解析：根据海伦公式，△ABC的半周长s=(5+6+7)/2=9。根据海伦公式，△ABC的面积S=sqrt(s(sa)(sb)(sc))=sqrt(9432)=6√2。根据三角形面积公式，S=1/2absinC。所以sinC=2S/ab=26√2/30=√2/5。根据正弦定理，a/2R=sinA，b/2R=sinB，c/2R=sinC。所以2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC=30/√2。根据三角形面积公式，S=rs。所以r=S/s=6√2/9=2√2/3。所以r/R=(2√2/3)/(30/√2)=2/15。所以r/R=3/14。二、选择题1.D解析：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线都是角平分线。所以如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形。2.A解析：根据三角形相似的性质，由于AD/AB=AE/AC=1/3，所以△ADE相似于△ABC。相似比为1:3。所以周长之比为1:3。3.C解析：内接正六边形的面积S1=3√3/2R^2。内接正三角形的面积S2=3√3/4R^2。所以S1/S2=3√3/2R^2/(3√3/4R^2)=2/3。所以面积之比为3:2。4.B解析：连接正方形对角线，交于点O。由于正方形的对角线互相垂直平分，所以∠AOB=90°。又因为正方形的对角线等于圆的直径，所以AO=R/√2。根据勾股定理，AB^2=AO^2+BO^2=2(R/√2)^2=R^2。所以正方形的边长为R/√2。所以边长与直径之比为R/√2:2R=1:√2。5.C解析：根据圆内接五边形的性质，五边形的每个内角都相等，且每个内角都等于(52)180°/5=108°。所以∠A=108°。三、解答题1.解：连接OD、OE、OF。由于OD、OE、OF分别是内切圆的半径，所以∠ADB=∠BEC=∠CFA=90°。又因为D、E、F是切点，所以AD=AF，BD=BE，CE=CF。设AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z。所以x+y=9，y+z=10，z+x=11。解得x=4，y=5，z=6。所以△ABC的面积为S=1/2ABAD+1/2BCBE+1/2CACF=1/294+1/2105+1/2116=36+25+33=94。所以△ABC的面积为94。解析：连接内切圆的半径OD、OE、OF，并设AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z。根据切线长定理，AD=AF，BD=BE，CE=CF。列出方程组x+y=9，y+z=10，z+x=11。解得x=4，y=5，z=6。利用直角三角形的面积公式计算△ABD、△BEC、△CAF的面积，然后相加即可得到△ABC的面积。2.解：连接对角线AC、BD，交于点O。由于五边形ABCDE的每个内角都是108°，所以∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°。又因为AB=BC=CD=DE=EA=1，所以三角形AOB、BOC、COD、DOE、EOA都是等边三角形。所以五边形ABCDE的面积可以分成5个等边三角形。每个等边三角形的面积可以用公式S=√3/4a^2计算。所以五边形ABCDE的面积为5√3/41^2=5√3/4。解析：连接对角线AC、BD，交于点O。由于五边形ABCDE的每个内角都是108°，所以∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°。又因为AB=BC=CD=DE=EA=1，所以三角形AOB、BOC、COD、DOE、EOA都是等边三角形。所以五边形ABCDE的面积可以分成5个等边三角形。利用等边三角形的面积公式计算即可。3.解：过O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G。连接OE。由于OE=4，所以OF=√OE^2(OF)^2=√4^2(OF)^2=√16OF^2。同理，OG=√OE^2(OG)^2=√4^2(OG)^2=√16OG^2。由于OE平分∠AOD和∠COB，所以OF=OG。所以√16OF^2=√16OG^2。所以OF=OG。设OF=OG=x。所以x=√16x^2。解得x=4/√5。所以AB与CD之间的距离为OF+OG=2x=8/√5=8√5/5。解析：过O作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G。由于OE平分∠AOD和∠COB，所以OF=OG。利用勾股定理计算OF和OG的长度，然后相加即可得到AB与CD之间的距离。4.解：根据海伦公式，△ABC的半周长s=(5+6+7)/2=9。根据海伦公式，△ABC的面积S=sqrt(s(sa)(sb)(sc))=sqrt(9432)=6√2。根据三角形面积公式，S=1/2absinC。所以sinC=2S/ab=26√2/30=√2/5。根据正弦定理，a/2R=sinA，b/2R=sinB，c/2R=sinC。所以2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC=30/√2。所以R=15/√2。根据三角形面积公式，S=rs。所以r=S/s=6√2/9=2√2/3。所以△ABC的面积为6√2，r/R=(2√2/3)/(15/√2)=4/15。所以r比R小。解析：先利用海伦公式计算△ABC的面积S。然后利用三角形面积公式计算sinC。再利用正弦定理计算2R。最后计算r/R并比较大小。5.解：连接DE。由于AD=1，DB=2，所以AB=3。同理，AC=3。又因为AE=2，EC=1，所以AE=EC。根据等底同高三角形