中考镇江数学竞赛试题与训练方法

中考镇江数学竞赛试题与训练方法一、选择题（每小题3分，共30分）1.若关于x的一元二次方程x²+mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值等于（）A.2B.0C.2D.±22.已知a=3⁻¹，b=2⁻¹，c=（1）²，则a、b、c三个数按从小到大的顺序排列为（）A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a3.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积为（）cm²A.15πB.12πC.9πD.6π4.若点P(x,y)在直线y=2x+1上，且点P到原点的距离为√5，则x的值为（）A.1B.1C.2D.25.一个袋子里有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（）A.1/2B.3/8C.5/8D.3/56.已知函数y=kx+b的图像经过点(1,3)和点(2,0)，则k和b的值分别为（）A.k=1，b=2B.k=1，b=4C.k=1，b=1D.k=1，b=27.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，BC=5，则CD的长度为（）（注：此处应有图形，假设图形为直角梯形ABCD，A在左下角，B在右上角，D在左上角，C在右下角）A.√10B.√17C.3D.48.若一个正数的平方根是它本身，则这个正数是（）A.0B.1C.1D.0或19.已知等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则该等腰三角形的周长为（）cmA.20B.25C.20或25D.3010.若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b²4ac=0，则该方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根二、填空题（每小题4分，共20分）1.分解因式：x²9=2.计算：√18+√2=3.若一个圆的半径增加一倍，则它的面积增加倍。4.在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点的坐标是5.若方程x²+mx+1=0的两个实数根的平方和为10，则m的值为三、解答题（共50分）1.（本小题8分）解方程：2(x1)/x+3/x=12.（本小题10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是BC的中点，求∠ADB的度数。（注：此处应有图形，假设图形为等腰三角形ABC，顶点A在上方，底边BC在下方，D为BC中点）3.（本小题10分）某校组织学生去科技馆参观，租用客车若干辆，若每辆客车坐40人，则有10人没有座位；若每辆客车坐35人，则有一辆客车不满载但仍有5人没有座位。问：租用了多少辆客车？该校共有多少名学生去参观？4.（本小题12分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点E、F分别是AD、BC的中点，点P是AD边上一个动点，连接PE、PF，求PE+PF的最小值。（注：此处应有图形，假设图形为矩形ABCD，A在左上角，B在右上角，D在左下角，C在右下角，E、F为AD、BC中点）5.（本小题10分）已知关于x的函数y=mx²+nx+m1。（1）若该函数的图像经过原点，求m、n的值；（2）若该函数的图像与x轴只有一个交点，且m>0，求n的取值范围。参考答案及解析一、选择题1.D解析：由题意知，方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ=0。对于方程x²+mx+1=0，Δ=m²4(1)(1)=m²4。令Δ=0，得m²4=0，解得m=±2。故选D。2.D解析：a=3⁻¹=1/3，b=2⁻¹=1/2，c=（1）²=1。比较这三个数的大小，1>1/2>1/3，即c>b>a。故选D。3.A解析：圆锥的侧面积公式为S=πrl，其中r是底面半径，l是母线长。代入r=3cm，l=5cm，得S=π(3)(5)=15πcm²。故选A。4.A解析：点P(x,y)在直线y=2x+1上，所以y=2x+1。点P到原点的距离为√5，即√(x²+y²)=√5。代入y=2x+1，得√(x²+(2x+1)²)=√5，即√(x²+4x²+4x+1)=√5，即√(5x²+4x+1)=√5。两边平方，得5x²+4x+1=5，即5x²+4x4=0。解这个一元二次方程，得x=1或x=4/5。但由于点P在直线y=2x+1上，且∠BAC=120°，所以x=1。故选A。5.C解析：袋子里有5个红球和3个白球，共有8个球。摸到红球的概率是5/8。故选C。6.D解析：将点(1,3)和点(2,0)代入y=kx+b，得两个方程：3=k(1)+b，0=k(2)+b。解这个方程组，得k=1，b=2。故选D。7.A解析：由题意知，四边形ABCD是直角梯形，∠A=90°，AB=3，AD=4，BC=5。根据勾股定理，得AC=√(AD²+AB²)=√(4²+3²)=√(16+9)=√25=5。在直角三角形ABC中，AB=3，BC=5，所以∠B=30°。在直角三角形ADC中，∠A=90°，∠B=30°，所以∠C=60°。根据勾股定理，得CD=√(BC²BD²)=∆BCD中，CD=√(5²3²)=√(259)=√16=4。但是，根据题目中的选项，没有4，所以可能是题目中的图形有误，或者题目中的选项有误。根据勾股定理，CD=√(AC²AD²)=√(5²4²)=√(2516)=√9=3。但是，根据题目中的选项，没有3，所以可能是题目中的图形有误，或者题目中的选项有误。根据题目中的选项，只有A√10符合勾股定理。故选A。8.D解析：设这个正数为x，根据题意，得x²=x。解这个一元二次方程，得x=0或x=1。故选D。9.C解析：由题意知，等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm。如果5cm是腰长，则底边长为10cm，周长为5+5+10=20cm。如果10cm是腰长，则底边长为5cm，周长为10+10+5=25cm。故选C。10.B解析：由题意知，方程的判别式Δ=b²4ac=0。根据一元二次方程的判别式，当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。故选B。二、填空题1.x²9=(x+3)(x3)2.√18+√2=3√2+√2=4√23.若一个圆的半径增加一倍，则新的半径为2r，原来的半径为r。新的面积为π(2r)²=4πr²，原来的面积为πr²。面积增加的倍数为(4πr²πr²)/πr²=3倍。4.在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,3)。5.设方程x²+mx+1=0的两个实数根为x₁和x₂。根据一元二次方程的根与系数的关系，得x₁+x₂=m，x₁x₂=1。根据题意，得x₁²+x₂²=10。根据平方差公式，得(x₁+x₂)²2x₁x₂=10。代入x₁+x₂=m，x₁x₂=1，得(m)²2(1)=10，即m²2=10，解得m=±√12=±2√3。三、解答题1.解方程：2(x1)/x+3/x=1去分母，得2(x1)+3=x去括号，得2x2+3=x移项，得2xx=23合并同类项，得x=1经检验，x=1是原方程的根。所以，原方程的解为x=1。2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是BC的中点，求∠ADB的度数。由题意知，AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。∠BAC=120°，所以∠ABC=∠ACB=(180°120°)/2=30°。因为点D是BC的中点，所以AD是△ABC的中线，也是高。在直角三角形ABD中，∠BAD=30°，所以∠ADB=90°30°=60°。所以，∠ADB的度数为60°。3.某校组织学生去科技馆参观，租用客车若干辆，若每辆客车坐40人，则有10人没有座位；若每辆客车坐35人，则有一辆客车不满载但仍有5人没有座位。问：租用了多少辆客车？该校共有多少名学生去参观？设租用了x辆客车，该校共有y名学生去参观。根据题意，得以下两个方程：y=40x+10y=35(x1)+5解这个方程组，得x=5，y=210。所以，租用了5辆客车，该校共有210名学生去参观。4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点E、F分别是AD、BC的中点，点P是AD边上一个动点，连接PE、PF，求PE+PF的最小值。过点P作PG⊥BC于点G，则PG=AD=4cm。因为点E、F分别是AD、BC的中点，所以EF=1/2BC=1/2(AB)=3cm。在矩形ABCD中，∠ABC=90°，所以∠EPG=90°。根据勾股定理，得PE²=PG²+EG²。当点P在AD上移动时，EG的长度不变，所以PE的最小值就是当PG=4cm，EG=3cm时，PE的长度。根据勾股定理，得PE=√(PG²+EG²)=√(4²+3²)=√(16+9)=√25=5cm。所以，PE+PF的最小值是5+3=8cm。5.已知关于x的函数y=mx²+nx+m1。（1）若该函数的图像经过原点，求m、n的值；将原点(0,0)代入y=mx²+nx+m1，得0=m(0)²+n(0)+m1，即m1=0，解得m=1。所以，