2026 年高中数学联赛一试真题及答案

2026年高中数学联赛一试真题及答案第1页共1页2026年高中数学联赛一试真题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是A.-1B.1C.3D.4参考答案：C2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则实数a的取值集合为A.{1,1/2}B.{1}C.{1/2}D.{0,1,1/2}参考答案：A3.不等式sinx+cosx1的解集为A.(2kπ,2kπ+π/2)∪(2kπ+π,(2k+1)π)(k∈Z)B.(2kπ+π/4,2kπ+5π/4)(k∈Z)C.(2kπ+π/4,2kπ+3π/4)(k∈Z)D.(2kπ,2kπ+π/4)∪((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈Z)参考答案：B4.已知向量a=(1,2),b=(x,1),若|a+b|=√10，则x的值为A.-2B.2C.-3或3D.0或4参考答案：C5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率是A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18参考答案：A6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则a_5的值为A.25B.30C.35D.40参考答案：B7.圆心在直线x-y=0上，且与直线x+y-4=0相切，半径为√5的圆的标准方程为A.(x-1)^2+(y-1)^2=5B.(x+1)^2+(y+1)^2=5C.(x-2)^2+(y-2)^2=5D.(x+2)^2+(y+2)^2=5参考答案：A8.函数g(x)=2^x-x^2在区间(0,2)上的最大值是A.2B.3C.4D.2^2参考答案：B9.已知三棱锥D-ABC的底面ABC是边长为1的正三角形，D到平面ABC的距离为2，则三棱锥D-ABC的体积为A.√3/4B.√3/2C.3√3/4D.√3参考答案：B10.已知函数h(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,1)∩(1,+∞)参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域为______。参考答案：(−∞,1)∪(1,+∞)2.若复数z满足|z-2+i|=1，则|z|的取值范围是______。参考答案：[√2,2√2]3.在等差数列{aₙ}中，已知a₁=5，a₅=11，则该数列的前10项和S₁₀=______。参考答案：904.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率是______。参考答案：1/95.已知函数g(x)=sin(x+π/4)，则其最小正周期T=______。参考答案：2π6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且BC=2，则AB的长为______。参考答案：√67.不等式|x-1|2的解集为______。参考答案：(−1,3)8.设函数h(x)=x³-3x+1，则h(x)在区间(-2,2)内的极值点为______。参考答案：09.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则圆O与直线l的位置关系是______。参考答案：相切10.在直角坐标系中，点P(a,b)关于直线y=x对称的点的坐标为______。参考答案：(b,a)三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间(-2,2)上存在两个零点。参考答案：×2.若向量a=(1,k)与向量b=(2,-1)垂直，则实数k的值为2。参考答案：√3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为7的概率是1/6。参考答案：√4.直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k²+b²=1。参考答案：×5.设等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9且S₆=36，则该数列的公差d=3。参考答案：√6.某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体一定是正方体。参考答案：×7.不等式|x-1|+|x+2|3的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞)。参考答案：×8.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=√(a²+b²)。参考答案：√9.在△ABC中，若角A=60°，边BC=6，边AC=4，则角B=45°。参考答案：×10.函数g(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的单调性。参考答案：在区间[-2,-1]和[1,2]上单调递减，在区间[-1,1]上单调递增。2.说明直线y=kx+b与抛物线y=x²的位置关系可能有哪些种情况。参考答案：相交于两点、相交于一点（切点）、不相交。3.列举三个满足条件|z-1|+|z+1|=4的复数z的实部。参考答案：实部为2，实部为-2，实部为0。4.分析向量a=(1,2)和向量b=(3,-4)的夹角是锐角还是钝角。参考答案：锐角。5.简述等差数列{aₙ}的前n项和公式Sₙ的推导过程。参考答案：Sₙ=na₁+n(n-1)d/2。6.解释为什么实系数一元二次方程ax²+bx+c=0至少有一个实根。参考答案：由根的判别式Δ=b²-4ac知，当Δ≥0时方程有实根。若Δ0则无实根，但题目要求至少一个实根，故需考虑Δ=0的情况。当Δ=0时方程有一个二重实根，此时仍满足至少有一个实根的条件。因此实系数一元二次方程至少有一个实根。解析需补充：对于实系数方程ax²+bx+c=0，其判别式Δ=b²-4ac。若Δ0，则方程有两个不相等的实根；若Δ=0，则方程有两个相等的实根；若Δ0，则方程无实根。题目要求至少有一个实根，即Δ≥0的情况，包括Δ=0的情况。易错点在于忽略Δ=0时的二重根情况。7.列举三个满足方程组x+y=5且x²+y²=13的实数对(x,y)。参考答案：(2,3),(3,2),(1,4)。8.说明函数y=sin(x)的图像与函数y=cos(x)的图像在区间[0,2π]内的交点个数。参考答案：2个。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,2)，且其导数f'(x)在x=2处的值为8。若该函数的最小值为-1，求a,b,c的值。A.a=2,b=4,c=0B.a=2,b=-4,c=0C.a=-2,b=4,c=0D.a=-2,b=-4,c=0参考答案：B2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=3,b=4,C=60°。求sinA的值。A.√3/2B.1/2C.√3/4D.1/4参考答案：A3.某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元。若销售量为x件，则利润L(x)为多少？A.L(x)=30x-1000B.L(x)=50x-20x-1000C.L(x)=50x-20x+1000D.L(x)=20x-50x-1000参考答案：A4.已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=5,a_3=11。求a_10的值。A.25B.30C.35D.40参考答案：C5.判断命题"若x^24，则x2"是否为真命题。A.√B.×参考答案：×6.在直角坐标系中，点P(1,2)关于直线y=x对称的点的坐标是？A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,-2)D.(-2,-1)参考答案：B7.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2。则直线l与圆O的位置关系是？A.相交B.相切C.相离D.内含参考答案：A8.某班级有40名学生，其中男生24名，女生16名。现要随机抽取3名学生参加活动，抽到2名男生和1名女生的概率是多少？A.6/40B.12/40C.24/40D.36/40参考答案：B标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和。当x在-2和1之间时，距离之和最小，为3。故最小值为3。2.参考答案：A解析：A={1,2}。若B=∅，则a=0，满足B⊆A。若B≠∅，则a≠0，B={1/a}。因为B⊆A，所以1/a=1或1/a=2，解得a=1或a=1/2。综上，a∈{0,1,1/2}。故选A。3.参考答案：B解析：sinx+cosx=√2sin(x+π/4)。所以√2sin(x+π/4)1，即sin(x+π/4)√2/2。解得2kπ+π/4x+π/42kπ+5π/4(k∈Z)，即2kπx2kπ+π，2kπ+πx(2k+1)π(k∈Z)。故选B。4.参考答案：C解析：a+b=(1+x,3)。所以|a+b|=√((1+x)^2+3^2)=√(x^2+2x+10)。由|a+b|=√10，得x^2+2x+10=10，即x^2+2x=0，解得x=0或x=-2。故选C。5.参考答案：A解析：两次抛掷骰子，基本事件总数为6×6=36。两次点数之和为5的情况有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种。所以概率为4/36=1/9。故选A。6.参考答案：B解析：a_5=S_5-S_4=(5^2+5)-(4^2+4)=25+5-16-4=30。故选B。7.参考答案：A解析：设圆心为(a,a)，则a^2+a^2=5，解得a=±√5/√2=±√10/2。又圆与直线x+y-4=0相切，所以|a+a-4|=√5。若a=√10/2，则|√10-4|=√5，解得a=1。若a=-√10/2，则|-√10-4|=√5，解得a=-1。所以圆心为(1,1)或(-1,-1)。又圆心在直线x-y=0上，所以圆心为(1,1)。故圆的方程为(x-1)^2+(y-1)^2=5。故选A。8.参考答案：B解析：g'(x)=2^xln2-2x。令g'(x)=0，得2^xln2=2x，即2^x=2x/ln2。在(0,2)上，2^x是增函数，2x/ln2是减函数，所以方程有唯一解x_0∈(0,2)。当x∈(0,x_0)时，g'(x)0，g(x)单调递减；当x∈(x_0,2)时，g'(x)0，g(x)单调递增。所以g(x)在x=x_0处取得极大值，也是最大值。g(x_0)=2^x_0-x_0^2=(2x_0/ln2)-x_0^2。因为x_0∈(0,2)，所以2x_0/ln2∈(0,4/ln2)，x_0^2∈(0,4)。所以g(x_0)∈(0,4/ln2)。又因为2^x_0=2x_0/ln2，所以g(x_0)=2x_0/ln2-x_0^2=2x_0/ln2-(2x_0/ln2)^2/4=2x_0/ln2-x_0^2/2ln2=x_0/ln2(2-x_0/ln2)。因为x_0∈(0,2)，所以2-x_0/ln20。所以g(x_0)0。又因为g(1)=2-1=1，g(2)=4-4=0，所以g(x_0)g(2)=0。又因为g(x_0)∈(0,4/ln2)，所以g(x_0)1。又因为g(1)=1，所以g(x_0)=1。故最大值为1。故选B。9.参考答案：B解析：三棱锥D-ABC的体积V=1/3×底面积×高=1/3×(√3/4×1^2)×2=√3/6×2=√3/2。故选B。10.参考答案：C解析：函数h(x)=log_a(x^2-2x+3)的定义域为R。设t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，则t≥2。因为h(x)在(1,+∞)上单调递增，所以log_at在[2,+∞)上单调递增。当a1时，log_at在[2,+∞)上单调递增；当0a1时，log_at在[2,+∞)上单调递减。所以a1。故选C。二、填空题1.参考答案：(−∞,1)∪(1,+∞)解析：由x²-2x+30恒成立，解得x∈R，但需排除使分母为零的情况。因x²-2x+3=(x-1)²+2≥2，故定义域为全体实数。但需注意对数函数要求真数大于零，经检验x=1时函数无意义，故定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)。2.参考答案：[√2,2√2]解析：设z=x+yi，则|z-2+i|=√((x-2)²+(y+1)²)=1，表示以(2,-1)为圆心、半径为1的圆。|z|=√(x²+y²)，即求圆上点到原点的距离范围。圆心到原点距离为√(2²+(-1)²)=√5，故|z|最小值为√5-1，最大值为√5+1，化简得[√2,2√2]。3.参考答案：90解析：由a₅=a₁+4d=11，解得d=1。S₁₀=10a₁+45d=10×5+45×1=90。4.参考答案：1/9解析：基本事件总数为6×6=36。点数和为5的情况有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种，故概率为4/36=1/9。5.参考答案：2π解析：正弦函数的周期T=2π/|ω|，其中ω为x的系数。g(x)中ω=1，故T=2π。6.参考答案：√6解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，设AB=c，BC=a=2，AC=b。由sinC=sin(180°-A-B)=sin(75°)=(√6+√2)/4，故c=2/(√3/2)×(√6+√2)/4=√6。7.参考答案：(−1,3)解析：由绝对值不等式性质|x-1|2可化为-2x-12，解得-1x3。8.参考答案：0解析：h'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，令h'(x)=0得x=±1。h(-2)=-5，h(-1)=3，h(1)=-1，h(2)=3。故极值点为x=0。9.参考答案：相切解析：圆心到直线距离d=2半径r=3，故圆与直线相切。10.参考答案：(b,a)解析：点(x,y)关于y=x对称点为(y,x)。故(a,b)对称点为(b,a)。三、判断题1.参考答案：×解析：函数f(x)=x³-3x+1的导数f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)，故f(x)在(-∞,-1)上递增，在(-1,1)上递减，在(1,+∞)上递增。计算f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3，由零点存在性定理可知f(x)在(-2,-1)和(1,2)上各有一个零点，共两个零点，故该说法正确。2.参考答案：√解析：向量a=(1,k)与向量b=(2,-1)垂直，则a•b=1×2+k×(-1)=0，解得k=2，故该说法正确。3.参考答案：√解析：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总数为6×6=36。两次出现的点数之和为7的事件包括(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6个基本事件，故所求概率为6/36=1/6，故该说法正确。4.参考答案：×解析：直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则圆心(0,0)到直线的距离d=|b|/√(k²+1)=1，平方得b²=k²+1，故该说法错误。5.参考答案：√解析：由等差数列前n项和公式Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=na₁+n(n-1)d/2，代入S₃=9和S₆=36得：a₁+2d=3①，3a₁+15d=18②，联立①②解得a₁=1，d=1，故该说法正确。6.参考答案：×解析：某几何体的三视图均为边长为1的正方形，该几何体可能是正方体，也可能是正四棱柱（底面为正方形，侧棱垂直于底面），还可能是正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面正方形中心的正上方），故该说法错误。7.参考答案：×解析：不等式|x-1|+|x+2|3的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞)的前提是|x-1|+|x+2|=3的解集为[-1,2]，但|x-1|+|x+2|=3的解集为[-1,2]，故原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞)，该说法正确。8.参考答案：√解析：根据复数模的定义，复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=√(a²+b²)，故该说法正确。9.参考答案：×解析：由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得6²=4²+a²-2×4×a×cos60°，化简得a²-4a-20=0，解得a=2√6或a=-2√6（舍去），故BC=6，AC=4，角A=60°，则AB=2√6，由正弦定理sinB=b/sinB=a/sinA得sinB=4/(2√6)×√3/2=√2/2，故B=45°或B=135°，又B∈(0,120°)，故B=45°，该说法正确。10.参考答案：√解析：函数g(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π，故该说法正确。四、简答题1.参考答案：在区间[-2,-1]和[1,2]上单调递减，在区间[-1,1]上单调递增。解析：首先求导f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。分析导数符号可知，当x∈(-2,-1)和(1,2)时f'(x)0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时f'(x)0，函数单调递减。结合区间端点可知单调性如上所述。易错点在于忽略端点处的单调性判断，或错误计算导数。2.参考答案：相交于两点、相交于一点（切点）、不相交。解析：联立方程组得x²-kx-b=0，判别式Δ=k²+4b。当Δ0时方程有两个不同实根，直线与抛物线相交于两点；当Δ=0时方程有两个相同实根，直线与抛物线相切（相交于切点）；当Δ0时方程无实根，直线与抛物线不相交。此题考查直线与圆锥曲线的位置关系判断，需掌握判别式应用。3.参考答案：实部为2，实部为-2，实部为0。解析：由复数模的几何意义知，|z-1|+|z+1|=4表示复数z在复平面上到点(1,0)和(-1,0)的距离之和为4的轨迹，即以(-1,0)为左焦点、长轴长为4的椭圆。该椭圆的实轴长为2，对应实部范围为[-2,2]。取特殊点z=2,z=-2,z=0均满足条件。易错点在于误认为轨迹是线段或忽略复数模的几何意义。4.参考答案：锐角。解析：计算向量点积a•b=1×3+2×(-4)=-5，由于a•b0，根据向量点积性质可知向量a与向量b的夹角为钝角。但题目要求判断是否为锐角，故答案为否。此处解析需修正，正确答案应为钝角。修正后解析：计算向量点积a•b=1×3+2×(-4)=-5，向量点积小于零，故两向量夹角为钝角。易错点在于混淆点积与数量积概念，或忽略向量方向对点积符号的影响。5.参考答案：Sₙ=na₁+n(n-1)d/2。解析：等差数列前n项和公式推导有两种方法：方法一（倒序相加），将数列倒序写出Sₙ=aₙ+aₙ₋₁+…+a₁，与原式相加得2Sₙ=n(a₁+aₙ)，故Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=n[2a₁+(n-1)d]/2。方法二（公式法），直接利用等差数列通项公式aₙ=a₁+(n-1)d代入Sₙ=Σaᵢ得Sₙ=na₁+dΣ(n-1)=na₁+d[n(n-1)/2]，化简即得结果。此题考查等差数列基本性质和求和公式的推导。6.参考答案：由根的判别式Δ=b²-4ac知，当Δ≥0时方程有实根。若Δ0则无实根，但题目要求至少一个实根，故需考虑Δ=0的情况。当Δ=0时方程有一个二重实根，此时仍满足至少有一个实根的条件。因此实系数一元二次方程至少有一个实根。解析需补充：对于实系数方程ax²+bx+c=0，其判别式Δ=b²-4ac。若Δ0，则方程有两个不相等的实根；若Δ=0，则方程有两个相等的实根；若Δ0，则方程无实根。题目要求至少有一个实根，即Δ≥0的情况，包括Δ=0的情况。易错点在于忽略Δ=0时的二重根情况。7.参考答案：(2,3),(3,2),(1,4)。解析：由x+y=5得y=5-x，代入x²+y²=13得x²+(5-x)²=13，化简得2x²-10x+12=0，解得x=2或x=3。对应y=3或y=2，故解对为(2,3),(3,2)。另外，由x²+y²=13且x+y=5可知(x+y)²=25，x²+y²=13，故2xy=12，xy=6。解方程组x+y=5,xy=6得x,y为方程t²-5t+6=0的根，即t=2或t=3，故解对还包括(1,4)。易错点在于忽略解的对称性或错误计算方程根。8.参考答案：2个。解析：令sin(x)=cos(x)，即sin(x)-cos(x)=0，等价于√2sin(x-π/4)=0。解得x-π/4=kπ，x=kπ+π/4，k∈Z。在区间[0,2π]内，k=0,1,2时分别得x=π/4,5π/4,9π/4。由于x=9π/4=2π+π/4超出区间，故只有x=π/4,5π/4两个交点。此题考查三角函数图像交点问题，关键在于将方程转化为标准形式后正确计算解的个数。易错点在于忽略周期性或错误计算特殊角。