电路分析教程（第5版）课件 第3章 电阻电路的分析方法

第3章电阻电路的分析方法本章重点

本章以线性电阻电路为对象，研究分析电路的基本方法。学习中要重点掌握好以下内容：

1.电路方程的独立性、2b方程的概念。

2.网孔分析法和节点分析法是最常用的两种方法，要重点学习好。

3.运算放大器的特点及分析方法。

学习导引：

爱因斯坦说：“如果一个人掌握了他的学科的基本原理，并学会了如何独立地思考和工作，他将肯定会找到属于他的道路。”

万物守常，星汉从轨；殊途同归，百虑一致。3.1电路的拓扑图3.2支路电流法3.3网孔分析法3.4节点分析法3.5含运算放大器电路的分析3.6应用实例本章目录3.1电路的拓扑图七桥趣题（1736，Euler）

图3-1(a)(b)图3-2七桥趣题的抽象图：思考：四色猜想（1852，F.Guthrie）促进了图论的发展，在拓扑学、运筹学等领域应用广泛。

图3-3地图的四色示意图

图3-4电路及其线图基本概念(a)(b)

1．图（graph）：点和线的集合定义为图。在图论中点称为节点或顶点，线称为支路或边。一个图的某些支路和节点的集合称为该图的子图。图的形式很多，有立体图，也有平面图。平面图是指：可以画在一个平面上，除了在节点处外，没有任何两条支路真正互相交叉。图3-5所示为几种常见的图。其中图(a)、(b）、(c)为平面图，图(d)、(e)、(f)为立体图。

图3-5平面图与非平面图图3-6连通图与非连通图

2．连通图（connectedgraph）：若图的任意两个节点间至少有一条由支路组成的路径，则称之为连通图，如图3-6所示。其中图(a)、(b)是连通图，图(c)为非连通图。

图3-7图G的所有树

3．树（tree）：对于一个连通图G，连接G的所有节点且不构成回路的所有连通子图，都称为图G的树，也称为图G的生成树。图3-7中给出了一个连通图G中所有的生成树。4．割集（cutset）与基本割集：把一个连通图分成两个互相分离的子图时所必须切割（移去）的最少支路数的集合称为割集。图3-8中，支路集合C1：{b1，b2}为割集，因为切割b1和b2后，原图分为不连通的两部分。同理，集合C3：{b1，b3，b5}、集合C4：{b4，b5}均为割集。集合{b1，b3，b4，b2}没有资格称为割集，因为虽把图分为两部分，但切割的支路数不是最少的。

图3-8割集与基本割集

设有连通图G，任意选定一个树，则由一条树支和一组连支构成的割集称为对应该树的基本割集（fundamentalcutset），也称为单树支割集。如在图3-9中，若选（b2，b3，b5）为树支，（b1，b4）为连支，则基本割集为

C1：{b1，b2}C2：{b1，b3，b4}C3：{b4，b5}

图3-9

由上可知，虽然一个图的割集往往很多，但基本割集数就等于树支数。图的树一旦确定，基本割集就是确定的。若电路的图有n个节点、b条支路，则有如下重要的结论：

n个节点、b条支路的图，必有（n－1）条树支和（b－n+1）条连支；图的基本割集数等于（n－1）。

5．回路（loop）与基本回路：按图论的观点，始节点和终节点相重合的通路称为图的回路。如图3-10所示，l1、l2和l3等均为回路。

图3-10

图中仅包含一条连支，其他均为树支的回路称为基本回路（fundamentalloop），或称单连支回路。在图3-10(b)中，设b1、b2和b3为树支，b4、b5和b6为连支，则l1、l2和l3均为基本回路。由于n个节点、b条支路的图，其任一余树的连支数为（b－n+1），所以基本回路数就等于连支数。只要一个图的树给定，它的基本回路就是确定的。

6．平面图的网孔：若连通的平面图的回路内再无任何支路，则这样的回路称为网孔。若连通的平面图有n个节点、b条支路，则它的网孔数为l=b－n+1，即等于平面图的基本回路数。

7．有向图：若图的每条支路都标有方向，则称为有向图或定向图。对于有向图，可相应地规定基本割集和基本回路的方向。通常，把所切割的树支方向定义为该基本割集的方向；而把连支的方向定义为该基本回路的方向。如图3-11所示，在电网络对应的图中，支路方向意指该支路的电流方向和电压方向。

图3-11

图3-12有向图及基本割集和基本回路实线为树支，虚线为连支

什么是树、割集、回路？什么是单树支割集？什么是单连支回路？阅读与思考3.2支路电流法1.KCL和KVL方程的独立性2.支路电流法3.2.1KCL和KVL方程的独立性

如图3-13所示电路：有3条支路，2个节点，3个回路。

图3-13KCL方程：节点a：i1+i5

i2=0

节点b：i2

i1

i5=0KVL方程：对3个回路回路l1：

uS

+

u1

+

u4

+

u5=0

回路l2：

u4

u5

+

u2

+

u3=0

回路l3：

uS

+

u1

+

u2

+

u3=0仅有1个方程独立仅有2个方程独立结论：

一般来说，对于有n个节点的电路图，其独立的KCL方程为（n

1）个，这些节点称为独立节点。一般来说，若电路图中有n个节点和b条支路，则独立的KVL方程数为l=b–n+1个。而平面电路（即画在平面上的电路中，除了节点外，再没有任何支路互相交叉）的网孔数恰等于（b–n+1）个，所以网孔都是独立回路。2b方程：

上述KCL和KVL方程共有b个（3个）独立方程。再写出b条支路（3条）的支路方程（VCR）：

u11=

R1i1+uS1u22=u5

R4iSu33=R2i2

+R3i33个方程均独立

所以独立的方程数为：(n

1)+(b

n+1)+b=2b（本例6个）联立6个方程求解，可得3个支路电流和3个支路电压。这就是2b法。

3.2.2支路电流法

以支路电流为求解变量的方法。如图3-14所示，以i1，i2，i3为求解变量，则

KCL：i1=i2

+

i3KVL：R1i1

+

R3i3=uS1R2i2

R3i3=

uS2联立可解。

图3-143.3网孔分析法概念：

以电路中假设的网孔电流为求解变量，列独立的KVL方程分析电路的方法。引例：

图3-15il2il1

在图3-15(b)中，除节点d外，可列出三个互相独立的KCL方程为：节点a：–i1+i2+i4=0

节点b：

i2–i3–i6=0

节点c：–i4+i5+i6=0

对图示的三个网孔，结合欧姆定律可列出三个独立的KVL方程为：网孔l1：R4i4+R5i5–uS1=0

网孔l2：R2

i2–uS2–R4i4=0

网孔l3：R3i3–uS2+R5i5+uS3=0

由图3-15(b)，各公共支路的电流可以分别用非公共支路的电流表示为

i4=i1–i2i5=i1+i3i6=–i2–i3

代入网孔方程，得

R4(i1–i2)+R5(i1+i3)

–uS1=0R2i2–uS2–R4(i1–i2)=0R3i3–uS2+R5(i1+i3)+uS3=0

可得到以各网孔非公共支路电流为未知量的三个独立的KVL方程为：

(R4+R5)i1–R4

i2+R5

i3=uS1(R2

+R4)i2–R4i1=uS2

(R3+R5)i3+R5

i1=uS2

–uS3

由此引出“网孔电流”的概念！设想电路中每个网孔有网孔电流（即非公共支路电流）环流，由此可列写独立的电压方程。联立这些网孔电压方程，则电路可解。（1）结论：

设平面电路有b条支路n个节点，则网孔数l=b–n+1。利用网孔电流的概念，可以列出l个以网孔电流为变量的网孔方程。根据式（1）的规律，以三个网孔为例，设网孔电流为il1、il2、il3，则可以写出各网孔KVL方程的一般形式为：

R11

il1+R12

il2+R13

il3=(

uS)l1R21

il1+R22

il2+R23

il3=(

uS)l2R31il1+R32

il2+R33

il3=(

uS)l3（2）

式中，R11、R22和R33分别称为网孔l1、l2和l3的自电阻，恒取正，它们分别为各网孔所有电阻之和；其余系数R12、R21、R31等为各网孔公共支路的电阻，称互电阻。

因为互电阻上的电压有正、负之分，而式（2）中均写为正值，故可把负号引入到互电阻中。当互电阻上两网孔电流方向相反时，互电阻取负；方向相同时，互电阻取正。方程右边(

uS)l1、(

uS)l2和(

uS)l3分别为网孔l1、l2和l3中所有电压源电压升的代数和，即电源电压升高的方向与网孔方向一致时取正，反之取负。网孔分析法的步骤：1．选定一组网孔，并假设各网孔电流的参考方向。

2．以网孔电流的方向为网孔的巡行方向，列写各网孔的KVL方程。

3．由网孔方程解出网孔电流。原电路非公共支路的电流就等于网孔电流，公共支路的电流等于网孔电流的代数和。

图3-16

例如对图3-16所示电路，

例现在研究在非公共支路中含有电流源的情况。如图3-17所示，试用网孔分析法求各支路电流。

图3-17

解

本电路有3个网孔，理应列写3个网孔方程，但由于电流源iS处于非公共支路，故该网孔电流变为已知量iS，可以少列一个网孔方程。假设网孔电流i2和i3的方向后，可得

(10+10+6)i2

10iS+6i3=10(6+3)i3+6i2=12

即

26i2+6i3=306i2+9i3=12

联立上式解得网孔电流（即非公共支路电流）

i2=1A

进而可得公共支路电流

ia=iS

i2=1A网孔法只适于平面电路。一般地，对电路选定一棵树，对所有单连支回路列电压方程，可得回路电流。图3-18

解

本例中公共支路含有1个7A电流源，处理这类问题的方法之一就是先假设该电流源两端的电压u，然后用前述网孔分析法列方程即可。由图得网孔方程：

例

这里研究在公共支路含有电流源的情况。如图3-18所示，试求网孔电流i1、i2和i3。

第一式和第三式相加消去u，再和余下的两式联立，即求解这一联立方程组，得网孔电流

i1=9A,i2=2.5A,i3=2A。图3-19例本例是含有受控源的情况。如图3-19所示电路，利用网孔分析法求电压u。

解

本例中含有受控源(VCCS)，处理方法是:先将受控源看成独立电源。如图中所标网孔方向，可知i1=0.1u,i3=4A，对网孔2列方程为26i2-2i1-20i3=12其中可以解得i2=3.6A,u=8V。3.4节点分析法概念

对于有n个节点的电路，以(n

1)个独立节点的电压为求解变量，列写KCL方程分析电路的方法称为节点分析法（节点电压法）。引例：

如图3-20所示电路，设节点d为参考点，节点a、b和c的电压（即相对于参考点的电位）分别记为u1、u2和u3，根据KCL，该电路有三个独立的电流方程：图3-20节点分析法用图节点a：

i1+i2+i5

iS1+iS3=0节点b：

i3+i4

i2=0节点c：

i4

i5

iS2=0

再由欧姆定律，各支路电流可表示为

i1=G1u1i2=G2(u1

u2)i3=G3u2i4=G4(u2

u3)i5=G5(u1

u3)

代入上述KCL方程，合并整理后得方程

(G1＋G2＋G5)u1

G2u2

G5

u3=iS1

iS3

G2

u1＋(G2＋G3＋G4)u2

G4

u3=0（1）

G5

u1

G4

u2＋(G4＋G5)u3=iS2

写成矩阵形式为(2)

这是以独立的节点电压（电位）为未知量的节点方程。这种分析方法就是所谓的节点分析法，或称节点电压法。将式（2）写成一般形式为(3)

对照式（2），可以看出节点方程有以下的规律性：（1）G11

=G1＋G2＋G5，是连于节点a的所有电导之和。（2）G22

=G2＋G3＋G4，是连于节点b的所有电导之和。（3）G33

=G4＋G5，是连于节点c的所有电导之和。（4）G11、G22和G33称为自电导，恒取正。其余元素是独立节点间的公共电导，称互电导。只要两节点间（除参考点外）有公共电导，则互电导恒取负。方程右端(

iS)a、(

iS)b和(

iS)c分别为流入节点a、b和c的电流源代数和，流入取正，流出取负。节点分析法的步骤：（1）首先将电路中所有电压源模型转换为电流源模型。

（2）在电路中选择一合适的参考点，以其余独立节点电压为待求量（有的可能已知）。

（3）列出所有未知节点电压的节点方程，其中电导恒为正，互电导恒为负。（4）联立求解节点电压，继而求出其余量。

例本例研究在独立节点间含有理想电压源的情况。如图3-21所示电路，试用节点电压法求电流i。abcd图3-21

解本例含有两个理想电压源，巧妙地选择参考点，可以使分析简化。由图可知，若选d为参考点，则电位ua=1V为已知量。由于b、c间有一电压源，在列节点方程时遇到困难。考虑到节点方程的本质是对各节点的KCL方程，可以假设5V电源支路有电流i1流过，并把i1看成电流源，从而可列方程节点b：节点c：且ub

uc=5前二式相加消去i1，再与第三式联立，即

1.5ub

ua+

uc=0ub

uc=5将ua=1V代入，解得

ub=2.4Vuc=

2.6V最后得图3-22例本例研究含有受控源的情况。如图3-22(a)所示电路，对独立节点1和2，利用节点分析法求i1和i2。12解

本例有电流控制电流源，首先把它看成独立源，并把电压型电源变换为电流型电源，如图3-22(b)所示。设独立节点电压为u1和u2，则可列节点方程组为再将控制量用节点电压表示，即i1=9-u1，从而得到解得u1和u2，最后求得i1和i2

。(a)(b)图3-23

例列图3-23(a)所示的节点方程。图中u是b、d两端的电压。，解阅读与思考若电路中含有受控源时应如何处理？节点电压方程的本质是什么？

特性

运算放大器（简称运放）是一个多端器件，它的一种外形图和对外连接电路方式如下。3.5含运算放大器电路的分析图3-24

图3-25(a)是运放的电气符号；图(b)是运放的一般外特性；图(c)是理想运放模型。标“−”端称反相端，标“+”端称同相端。图3-25理想模型：电压增益（放大倍数）K很高，理想时，K=

。输入电阻很高，通常Rin>2M，理想时，Rin=。输入端电流为零，i+=0，i

=0，称虚断路。输入电压uI=0，称虚短路；若K=105，uO=5V，则可见当K=

，uO有限时，uI=0。从而理想特性为：输入电阻

Rin=

；电压增益

K=

；输入电压

uI=0；输入电流

i+=0，i

=0例

图3-26

(a)所示为一同相放大器。求其电压增益。图3-26

解

根据虚短路的概念，u1=ua，由于i+=0，i

=0，所以i1=i2。从而有即解得u2与u1的比为

图(b)为图(a)的等效电路，它是一个压控电压源，是电压放大器。简画为图(c)所示形式。图3-27例图3-27所示为一加法器电路，求输出电压uo。

利用运放，可做成各种放大器、加法器、减法器、微分器和积分器等。解

对节点B列KCL方程，有i1+i2=if由于uA=uB=0，所以有或解得若R1=R2=Rf，则uo=-(u1+u2)

例本例研究含运算放大器的电路。如图3-28所示电路，求u2。图3-28

解本例虽然较复杂，但用节点法还是比较方便的。但由于运算放大器输出端电流为任意值，故不能在节点b和d处列KCL方程。又u1已知，所以在a和c节点处可列方程为

(G1＋G＋G4)

ua

G1

u1

G

ub

G4

u2=0(G＋G2＋G