2026年聊大《数字信号处理》复习题及参考答案

2026年聊大《数字信号处理》复习题及参考答案填空题（共15空，每空2分，共30分）时域离散线性时不变系统稳定的充要条件是______。答案：单位脉冲响应满足绝对可和，即2.有限长序列，其离散时间傅里叶变换在处的幅值为______。答案：4线性相位FIR滤波器的群延迟为常数，若滤波器单位脉冲响应长度为，则群延迟为______个采样间隔。答案：对最高频率为4kHz的带限模拟信号进行无失真采样，采样频率的最小值为______kHz；若实际采样频率为10kHz，输入模拟信号频率为7kHz，则采样后混叠得到的数字信号频率为______kHz。答案：8；3已知长度为9，长度为6，二者线性卷积的长度为______；若对二者做10点循环卷积，则循环卷积结果中与线性卷积结果一致的点的数量为______。答案：14；6IIR滤波器的4种基本实现结构包括直接I型、直接II型、______、______。答案：级联型；并联型基2按时间抽选的FFT算法，输入序列的排列顺序为______，输出序列的排列顺序为______，单路点FFT的复乘运算量约为______次。答案：倒序（位反转序）；自然顺序；双线性变换法消除了频率混叠问题，但存在______的缺陷，设计滤波器时需要对模拟截止频率进行预畸处理。答案：频率轴非线性畸变用窗函数法设计FIR滤波器时，增加窗函数长度主要可以减小滤波器的______，而阻带最小衰减由______决定。答案：过渡带宽度；窗函数的类型对长度为的实序列进行点DFT，得到的频域序列满足共轭对称性，即______（）。答案：—单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列序列中属于周期序列的是（）A.B.C.D.答案：A。解析：离散序列周期的判断条件为为有理数，选项A中，为有理数，周期为5；其余选项均不满足周期序列条件。2.线性时不变系统的单位脉冲响应为，输入为，则系统输出为（）A.B.C.D.答案：B。解析：根据线性系统的齐次性和时不变性，输入的输出为，乘以系数2后得到。3.已知序列的Z变换为，收敛域为，则为（）A.B.C.D.答案：B。解析：，根据Z变换的移位性质，的逆变换为，右移1位后得到。4.已知点DFT[]=，则的圆周右移位后的DFT为（）A.B.C.D.答案：B。解析：根据DFT的时域圆周移位性质，时域圆周右移位，频域乘以旋转因子。5.当时，基2FFT的复乘运算量约为直接DFT的（）A.1/200B.1/370C.1/512D.1/1024答案：B。解析：直接DFT复乘次数为，基2FFT复乘次数为，二者比值约为1/372，接近1/370。6.下列IIR滤波器设计方法中，可用于设计高通滤波器的是（）A.冲激响应不变法B.双线性变换法C.窗函数法D.频率抽样法答案：B。解析：窗函数法和频率抽样法是FIR滤波器的设计方法，冲激响应不变法存在频率混叠，不能设计高通、带阻滤波器，双线性变换法无混叠，可设计任意类型滤波器。第一类线性相位FIR滤波器满足，当为偶数时，无法设计的滤波器类型是（）A.低通滤波器B.带通滤波器C.高通滤波器D.所有类型都可以设计答案：C。解析：当为偶数时，第一类线性相位FIR滤波器的幅频响应在处的值为0，不满足高通滤波器在处增益为1的要求，因此无法设计高通滤波器。8.下列窗函数中，阻带最小衰减最大的是（）A.矩形窗B.汉宁窗C.汉明窗D.布莱克曼窗答案：D。解析：矩形窗阻带衰减21dB，汉宁窗31dB，汉明窗44dB，布莱克曼窗74dB，因此布莱克曼窗阻带衰减最大。已知的DTFT为，则2倍抽取后的序列的DTFT为（）A.B.C.D.答案：B。解析：根据离散序列抽取的频谱变换性质，2倍抽取后的频谱是原频谱在轴上扩展2倍后，按为周期延拓叠加并乘以0.5，即。用频率抽样法设计FIR滤波器时，在过渡带添加非零抽样点的主要作用是（）A.减小过渡带宽度B.提高阻带最小衰减C.提高通带增益D.降低滤波器阶数答案：B。解析：过渡带添加非零抽样点可以平滑幅频响应的突变，减小吉布斯效应，从而提高阻带最小衰减，缺点是会增加过渡带宽度。判断题（共10小题，每小题2分，共20分，正确打√，错误打×）两个线性时不变系统级联后的总单位脉冲响应等于两个系统各自单位脉冲响应的线性卷积。（）答案：√。解析：级联系统的响应等于两个系统响应的卷积，这是LTI系统的基本性质。离散时间系统的输入输出关系为，该系统是时不变系统。（）答案：×。解析：输入的输出为，输入的输出为，因此是时变系统。Z变换的收敛域内不包含任何极点，极点都位于收敛域的边界上。（）答案：√。解析：极点处Z变换的幅值为无穷大，因此收敛域内不存在极点，收敛域的边界由极点确定。点DFT的本质是对序列的离散时间傅里叶变换在区间内进行点等间隔抽样。（）答案：√。解析：DFT的定义就是DTFT在（）处的抽样值，二者物理意义一致。基2按频率抽选的FFT算法，输入为自然顺序，输出为倒序。（）答案：√。解析：按频率抽选FFT和按时间抽选FFT的输入输出顺序相反，前者输入自然序、输出倒序，后者输入倒序、输出自然序。冲激响应不变法的频率变换是线性的，因此可以用来设计任意幅频特性的IIR滤波器。（）答案：×。解析：冲激响应不变法存在频率混叠问题，仅能设计带限的低通、带通滤波器，不能设计高通、带阻滤波器。所有FIR滤波器都是稳定的因果系统。（）答案：×。解析：FIR滤波器的单位脉冲响应是有限长的，因此绝对可和，一定是稳定的，但不一定是因果的，非因果的FIR滤波器可以通过移位转换为因果系统。线性相位FIR滤波器的相位响应是的线性函数，因此信号通过滤波器时只会产生固定延迟，不会发生相位失真。（）答案：√。解析：线性相位的群延迟为常数，不同频率的信号延迟时间相同，因此没有相位失真，只有固定的时间延迟。两个长度为的序列的点循环卷积结果等于二者线性卷积结果的周期延拓（周期为）的主值区间。（）答案：√。解析：循环卷积的本质就是线性卷积的周期延拓取主值，当两个序列长度之和减1时，循环卷积和线性卷积结果一致。相同的通带、阻带技术指标下，IIR滤波器的阶数通常远低于FIR滤波器的阶数。（）答案：√。解析：IIR滤波器利用反馈结构实现极点，因此可以用较低的阶数实现陡峭的过渡带，相同指标下阶数仅为FIR的1/10~1/5。简答题（共4小题，每小题10分，共40分）简述时域采样定理的核心内容，说明工程上选择采样频率的原则。答案：时域采样定理核心内容：对于最高频率为的带限模拟信号，当采样频率时，采样得到的离散序列（为采样周期）包含原始模拟信号的全部信息，可以通过理想低通滤波器无失真地恢复出原始模拟信号；若，会发生频率混叠现象，高频分量会折叠到低频段，无法无失真恢复原始信号。工程上采样频率选择原则：①首先满足采样定理的最低要求，即，确保不会发生严重的频率混叠；②通常取，留出足够的过渡带余量，降低前端抗混叠模拟滤波器的设计难度，避免对模拟滤波器的截止特性提出过高要求；③采样频率不宜过高，否则会导致采样后的数据量、后续处理的运算量和存储量大幅提升，提高系统成本和功耗。2.简述DFT和FFT的联系与区别，说明FFT的工程应用价值。答案：联系：FFT是DFT的快速实现算法，二者的输入输出定义、物理意义完全一致，都是将时域离散序列转换为频域的点等间隔抽样序列，FFT的计算结果和直接计算DFT的结果完全相同。区别：DFT是按照定义直接计算，运算量为次复乘、次复加，运算量随的增大呈平方级增长，当较大时（如）运算效率极低，无法满足实时处理要求；FFT通过利用旋转因子的周期性、对称性和可约性，将长序列的DFT分解为多个短序列的DFT组合，基2FFT的运算量仅为次复乘、次复加，运算量随的增大呈线性对数级增长。工程应用价值：FFT大幅降低了DFT的运算量，使得频域分析、快速卷积、相关计算等算法可以落地实现，广泛应用于语音信号处理、图像信号处理、通信系统的频谱分析、调制解调、雷达信号检测等多个领域，是数字信号处理领域的核心基础算法之一。比较冲激响应不变法和双线性变换法的优缺点，说明二者的适用场景。答案：冲激响应不变法优点：①模拟频率和数字频率之间是线性映射关系，即，设计得到的数字滤波器可以很好地保留模拟滤波器的幅频和相频特性，相位线性度好；②数字域的单位脉冲响应和模拟域的单位冲激响应形状一致，适合对脉冲响应形状有要求的场景。缺点：存在频率混叠问题，仅适用于带限的模拟滤波器，不能设计高通、带阻等高频分量丰富的滤波器，且需要在模拟端加抗混叠滤波器。适用场景：对相位线性度要求较高、需要设计带限的低通或带通滤波器的场景。双线性变换法优点：①通过非线性映射将整个平面映射到平面的单位圆上，完全消除了频率混叠问题，可以设计低通、高通、带通、带阻等任意类型的滤波器；②无需额外的抗混叠滤波，设计流程简单。缺点：模拟频率和数字频率之间是非线性映射关系，即，会导致频率轴发生畸变，需要对模拟滤波器的截止频率进行预畸处理，且相位非线性畸变较大，不适合对相位要求高的场景。适用场景：对相位要求不高，需要设计高通、带阻滤波器，或者对幅频特性的形状精度要求较高的场景。简述窗函数法设计FIR滤波器的基本流程，说明窗函数的选择依据。答案：窗函数法设计FIR滤波器的基本流程：①根据设计要求确定理想滤波器的频率响应，包括通带截止频率、阻带截止频率、通带最大衰减、阻带最小衰减等指标；②通过逆离散时间傅里叶变换计算理想滤波器的单位脉冲响应，通常是无限长的非因果序列；③根据阻带最小衰减要求选择合适的窗函数类型，根据过渡带宽度要求计算窗函数的长度；④将无限长的与长度为的窗函数相乘，得到有限长的因果序列，完成序列的截断和因果化；⑤计算的频率响应，验证是否满足设计指标，若不满足则调整窗函数类型或长度，重新设计直至达标。窗函数的选择依据：①首先根据阻带最小衰减要求选择窗函数的类型，阻带衰减要求越高，选择旁瓣抑制能力越强的窗函数：阻带衰减≥21dB选矩形窗，≥31dB选汉宁窗，≥44dB选汉明窗，≥60dB选布莱克曼窗；②在满足阻带衰减要求的前提下，尽量选择主瓣宽度窄的窗函数，以减小滤波器的过渡带宽度，降低滤波器的阶数，减少运算量。计算题（共3小题，每小题20分，共60分，要求写出计算过程）已知线性时不变系统的单位脉冲响应，输入序列，，计算：（1）和的线性卷积；（2）和的6点循环卷积；（3）若要使循环卷积结果与线性卷积结果完全一致，最小的循环卷积点数为多少。答案：（1）线性卷积的长度为，根据线性卷积的计算方法：时：时：时：时：时：时：时：时：因此线性卷积，。（2）6点循环卷积是线性卷积以6为周期进行周期延拓后取主值区间，延拓后重叠的点数为，因此前2个点为周期延拓的尾部和主值区间头部的叠加：因此6点循环卷积，。（3）要使循环卷积结果与线性卷积完全一致，需要满足，因此最小的循环卷积点数。已知实序列，，计算：（1）的4点DFT；（2）利用计算的DTFT在处的采样值；（3）若，求IDFT[]得到的序列。答案：（1）根据DFT的定义，，其中，因此：时：时：时：时：因此。（2）DFT是DTFT在处的抽样值，对应，解得，因此采样值为。（3）根据DFT的频域圆周移位性质，对应的时域序列为，本题中，因此，计算得：因此。设计一个线性相位低通FIR滤波器，技术指标为：通带截止频率，阻带截止频率，阻带最小衰减，计算：（1）选择合适的窗函数，计算滤波器的最小长度；（2）该滤波器的单位脉冲响应需要满足的对称条件，以及群延迟值。答案：（1）首先计算过