2027届广东省深圳市坪山区高三质量检测联考数学试卷（含答案解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）2026—2027学年度第一次高三质量检测数学试卷一、单选题（40分）1．复数的实部为（

）A． B． C． D．2．已知全集，则下图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C．{3} D．3．已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．4．若函数的图象关于点对称，则正数的最小值为（

）A． B． C． D．5．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（

）A． B．C． D．6．向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．7．已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．若，则（

）A． B．C． D．二、多选题（18分）9．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（

）A．异面直线与所成角为60°B．平面C．三棱锥的体积不变D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为10．记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（

）A．双曲线的离心率是B．若，则的周长为C．存在四条不同直线使得D．线段的中点坐标可能是11．已知的面积为，角所对的边分别为，下列条件中，能使为等腰三角形的是（）A． B．C． D．三、填空题12．设曲线在点处的切线方程为，则_________．13．若一个正项等比数列的前3项和为7，前6项和为63，则该等比数列的公比为________．14．一个袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中有个红球，个白球，从中随机不放回地取球，每次抽取个，记为取完某一种颜色所有的球所需的次数，则________．四、解答题（77分）15．某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表：防冰涂层类型积冰情况合计无积冰有积冰电热防冰涂层7030100疏水防冰涂层8515100合计15545200(1)分别求两种防冰涂层的合格率；(2)依据的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？参考公式：，其中．参考数据：0.050.013.8416.63516．已知公比大于的等比数列满足.(1)求的通项公式；(2)记为在区间中的项的个数．（i）写出；（ii）求数列的前项和．17．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离．18．已知椭圆的左、右焦点分别为，.(1)求椭圆的离心率；(2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标；(3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.19．已知函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；(2)当时，讨论函数的单调性；(3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．B【详解】，其实部为3.2．A【分析】根据集合的交集和补集的定义进行求解即可.【详解】图中阴影部分表示的集合为集合与集合的交集相对于集合的补集，即.因为，所以.3．C【分析】借助渐近线定义与离心率定义计算即可得.【详解】由题意知的倾斜角为，所以，则.4．A【分析】根据三角函数的性质求解即可.【详解】因为的图象关于点对称，所以，所以，所以正数的最小值为.5．D【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可.【详解】由题意可知，当时，，在上单调递减，则的解集为；当时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为；所以，的解集是的解集是．因为不等式等价于不等式组或所以不等式的解集是．故选：D.6．D【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合点坐标可得点的坐标.【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点，则，又，所以，所以点的坐标为.故选：D.7．D【详解】圆，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为,，所以直线与圆相交，又因为，所以圆上到直线的距离为1的点有4个.如图所示：8．C【分析】通过构造辅助函数，，利用导数判断函数在区间上的单调性，结合单调性比较函数值大小即可判断选项正误【详解】对AB选项，构造函数，，求导得：，令，则，所以在上单调递增，且，，故存在使得，即在上单调递减，在上单调递增.因为不能判断与函数的单调区间的位置关系，因此不能判断的大小关系.即不能确定与的大小关系，故不能确定与的大小，对CD选项，构造函数，，求导得：，令，，求导：，当时，，，故，即在上单调递减，，因此对任意，，即，故在上单调递减，因为，所以，即，所以，因此C正确，D错误.9．ABC【分析】选项A：利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可,选项C：利用等体积法求解即可，选项D：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运用二次函数的性质即可求得其范围.【详解】对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确；对于B，由正方体的性质可知，，平面，,平面，又因为平面，，同理可得平面，又因为平面，，又因为平面，平面，故B正确；对于C，因为平面，平面，所以平面,所以为定值，故C正确；对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，，则，，，，，从而，，由正方体的性质知：平面，即平面，故平面的法向量可取为，直线与平面所成角正弦值为sinθ=|cosA因为，，所以，故D错误.故选：ABC.10．ABD【分析】根据双曲线方程可确定的取值，根据离心率定义、双曲线的定义可求得AB正确；分别讨论直线斜率不存在和斜率存在的情况，通过与双曲线方程联立，利用弦长公式和中点坐标公式，结合韦达定理可求得可能的取值，进而得到CD正误.【详解】对于A，由双曲线方程知：，，则，双曲线的离心率，A正确；对于B，，，的周长为，B正确；对于C，当斜率不存在时，即时，；当斜率存在时，设，，，由得：，且，则，，，解得：，即，方程为：；综上所述：存在三条不同的直线使得，C错误；对于D，当直线斜率不存在时，线段中点为；当直线斜率存在时，由C知，若线段中点为，则，，解得：，当方程为时，线段的中点坐标为，D正确.11．BCD【分析】结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式及函数单调性，逐一推导各选项是否能推出三角形两角或两边相等，判断是否为等腰三角形【详解】选项A：由正弦定理得，即，可得或，即或，三角形也可能是直角三角形，不一定为等腰三角形，故A错误；选项B：将和余弦定理代入条件，可得，化简得，即，因为，所以，三角形为等腰三角形，故B正确；选项C：由正弦定理边化角，得，由基本不等式，又即，因此不等式成立当且仅当，即，得，三角形为等腰三角形，故C正确；选项D：由正弦定理边化角得，整理得，构造函数，易知其在、上均单调递增，且两个区间上函数值符号相反，故仅当成立，即三角形为等腰三角形，故D正确.12．3【分析】利用导数的几何意义即可求解.【详解】由，则，根据题意可得，即，解得.13．【详解】设该正项等比数列的首项为，公比为，由正项等比数列的性质得，.若，则前3项和，前6项和，与题设矛盾，故.∴由题意得.将两式相除，得.∵，且即，∴代入化简得，即，解得，满足的条件，故该等比数列的公比为2.14．【分析】通过穷举出所有可能的取球情况，根据要求进行概率的求解计算.【详解】因为有个红球，个白球，从中随机不放回地取球，即取完最多需要次，最少需要次，所以可取，当时，即取出个红球，，当时，即取出2个红球与1个白球，且第三次取红球，或取出3个白球，，当时，即取出2个红球与2个白球，且第四次取红球，或取出3个白球与1个红球，第四次取白球，，所以.15．(1)电热防冰涂层合格率为，疏水防冰涂层合格率为.(2)在的独立性检验下，可以认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联．【详解】（1）由列联表可知，电热防冰涂层总数量100，合格数量70，故电热防冰涂层的合格率为，疏水防冰涂层总数量100，合格数量85，故疏水防冰涂层的合格率为．（2）零假设为：防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰无关，根据列联表中的数据，计算得到，根据的独立性检验，我们推断不成立，即认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关．16．(1)(2)（i），；（ii）【分析】（1）利用等比数列的性质即可求出的通项公式；（2）（i）根据定义：为在区间中的项的个数可直接写出；（ii）根据定义可知，当时，，共有个，则【详解】（1）由于数列是公比大于1的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得：或（舍）.所以.（2）（i）由题意，，即，当时，，当时，；（ii）当时，，共有个，则.17．(1)在中，因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．(2)(3)【分析】（1）利用线面平行的判定定理求证；（2）以点为坐标原点建系，计算平面的法向量，利用公式计算即可；（3）利用空间向量中点到平面的距离公式计算.【详解】（1）略.（2）因为平面，平面，所以，．因为，所以，，两两垂直．以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，，，，分别是棱，，的中点，所以，，，，，，，所以，，．设平面的法向量为，则令，则，，所以．设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．（3）由（2）得，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离．18．(1)(2)(3)假设存在定点，使得的值为定值.当直线AB的斜率为0时，，当直线AB的斜率不存在时，，由，得到，且，接下来判断当点T的坐标为，直线AB的斜率存在且不为0时，的值是否为定值，设直线AB的方程为，联立方程，得到，则，，.所以当点T的坐标为时，为定值.【分析】（1）由椭圆方程得到的值即可求离心率；（2）设，由，得到，联立椭圆方程，即可求解点坐标；（3）先假设存在定点，由直线AB的斜率为0时，，直线AB的斜率不存在时，，则，得到，且，设直线AB的方程为，联立方程组利用韦达定理，再判断当点T的坐标为，即可.【详解】（1）由椭圆，得到，即所以所以.（2）由题可得焦点，设，则，由，即化简得到，联立椭圆方程，消元得到，因为，所以，代入，由解得，所以（3）略19．(1)(2)当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，.(3)【分析】(1)切线斜率即函数在该点导数值，直接代入求值;(2)求导后转化为二次函数符号讨论，按判别式分区间判断单调性;(3)分离参数构造新函数，二次求导判断导函数单调性，锁定极值点求出最小值.【详解】（1）当时，