2027届北京市西城区名校数学九年级第一学期期末统考试题含解析

2027届北京市西城区名校数学九年级第一学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是（

）A． B． C． D．2．已知，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．3．根据下面表格中的对应值：x3.243.253.26ax2+bx+c﹣0.020.010.03判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.264．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A． B．C． D．5．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：136．在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转，所得到的对应点的坐标为（）A． B． C． D．7．若式子有意义，则x的取值范围为()A．x≥2 B．x≠3C．x≥2或x≠3 D．x≥2且x≠38．下列说法不正确的是（）A．所有矩形都是相似的B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cmD．四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段9．如图，菱形的边长是，动点同时从点出发，以的速度分别沿运动，设运动时间为，四边形的面积为，则与的函数关系图象大致为（）A． B．C． D．10．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是()A． B． C．△ADE∽△ABC D．11．如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD为菱形，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），点C，D分别在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A． B．4 C．4 D．2012．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度是()A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm二、填空题（每题4分，共24分）13．已知△ABC的内角满足=__________度．14．小芳的房间有一面积为3

m2的玻璃窗,她站在室内离窗子4

m的地方向外看,她能看到窗前面一幢楼房的面积有____m2(楼之间的距离为20

m).15．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB=___°．16．点A(1,-2)关于原点对称的点A1的坐标为________．17．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机柚取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批产品中的次品件数是_____．18．分解因式：a2b﹣b3=．三、解答题（共78分）19．（8分）快乐的寒假临近啦！小明和小丽计划在寒假期间去镇江旅游.他们选取金山（记为）、焦山（记为）、北固山（记为）这三个景点为游玩目标.如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），请用“画树状图”或“列表”的方法求他俩都选择金山为第一站的概率.20．（8分）平面直角坐标系中有点和某一函数图象，过点作轴的垂线，交图象于点，设点，的纵坐标分别为，．如果，那么称点为图象的上位点；如果，那么称点为图象的图上点；如果，那么称点为图象的下位点．（1）已知抛物线.①在点A(-1，0)，B(0，-2)，C(2，3)中，是抛物线的上位点的是；②如果点是直线的图上点，且为抛物线的上位点，求点的横坐标的取值范围；（2）将直线在直线下方的部分沿直线翻折，直线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象．⊙的圆心在轴上，半径为．如果在图象和⊙上分别存在点和点F，使得线段EF上同时存在图象的上位点，图上点和下位点，求圆心的横坐标的取值范围．21．（8分）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC，A、C、D在同一直线上，量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm.求台灯的高(即台灯最高点E到底盘AB的距离).(结果取整，参考数据sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)22．（10分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，求△BCD的面积；（2）如图2，P是抛物线BD段上一动点，连接CP并延长交x轴于E，连接BD交PC于F，当△CDF的面积与△BEF的面积相等时，求点E和点P的坐标．23．（10分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用、、表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用、表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成.（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果；（2）求小明恰好抽中、两个项目的概率.24．（10分）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径，高，求这个圆锥形漏斗的侧面积．25．（12分）（1）解方程：；（2）求二次函数的图象与坐标轴的交点坐标．26．内接于⊙，是直径，，点在⊙上.(1)如图，若弦交直径于点，连接，线段是点到的垂线.①问的度数和点的位置有关吗？请说明理由.②若的面积是的面积的倍，求的正弦值.(2)若⊙的半径长为，求的长度.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】画出图像,勾股定理求出AB的长,表示cosB即可解题.【详解】解：如下图,∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5（勾股定理）,∴cosB==,故选A.本题考查了三角函数的求值,属于简单题,熟悉余弦函数的表示是解题关键.2、D【分析】应用比例的基本性质，将各项进行变形，并注意分式的性质y≠0，这个条件.【详解】A.由，则x与y的比例是2:3，只是其中一特殊值，故此项错误；B.由，可化为，且y≠0，故此项错误；C.，化简为，由B项知故此项错误；D.，可化为，故此项正确；故答案选D此题主要考查了比例的基本性质，正确运用已知变形是解题关键．3、B【解析】根据表中数据可得出ax2+bx+c＝0的值在-0.02和0.01之间，再看对应的x的值即可得．【详解】∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.1时，ax2+bx+c＝0.01，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.1．故选：B．本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．4、C【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选C．本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．5、B【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AB：DO═2：3，进而得出答案．【详解】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，∴＝，AC∥DF，∴＝＝，∴＝．故选：B．此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．6、C【分析】根据题意得点P点P′关于原点的对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特点即可得解.【详解】∵P点坐标为（3，-2），∴P点的原点对称点P′的坐标为（-3，2）．故选C．本题主要考查坐标与图形变化-旋转，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.7、D【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件可得关于x的不等式组，解不等式组即可.【详解】由题意，要使在实数范围内有意义，必须且x≠3，故选D.8、A【解析】根据相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割判断即可．【详解】解：A.所有矩形对应边的比不一定相等，所以不一定都是相似的，A不正确，符合题意；B.若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2，B正确，不符合题意；C.若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm，C正确，不符合题意；D.∵1：2=2：4，∴四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段，D正确，不符合题意；故选：A．本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割，掌握它们的概念和性质是解题的关键．9、C【分析】根据题意可以求出各段对应的函数解析式，再根据函数解析式即可判断哪个选项是符合题意的，本题得以解决．【详解】解：∵菱形ABCD的边长为4cm，∠A=60°，动点P，Q同时从点A出发，都以1cms的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，

∴△ABD是等边三角形，

∴当0＜x≤4时，

y=×4×4×sin60°−x•sin60°x=4−x2=x2+4；

当4＜x≤8时，

y=×4×4×sin60°−×(8−x)×(8−x)×sin60°=−x2+4x−12=−(x−8)2+4；∴选项C中函数图像符合题意，故选：C.本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，求出各段对应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．10、D【解析】∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，，∴.由此可知：A、B、C三个选项中的结论正确，D选项中结论错误.故选D.11、C【分析】根据题意和勾股定理可得AB长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．【详解】∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），∴OA＝2，OB＝1，∴，∴菱形ABCD的周长等于4AB＝4．故选：C．此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．12、B【分析】过点O作OM⊥DE于点M,连接OD，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理进行计算，即可求出答案.【详解】过点O作OM⊥DE于点M,连接OD.∴DE=12∵DE=8cm，∴DM=4cm，在Rt△ODM中，∵OD=OC=5cm，∴OM=∴直尺的宽度为3cm.故答案选B.本题主要考查了垂径定理和勾股定理，灵活运用这些定理是解答本题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、75【解析】由题意得：，，∴tanA=，cosB=，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，故答案为75.14、108【解析】考点：平行投影；相似三角形的应用．分析：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．解答：解：根据题意：她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应该相似，且相似比为=6，故面积的比为36；故她能看到窗前面一幢楼房的面积有36×3=108m1．点评：本题考查了平行投影、视点、视线、位似变换、相似三角形对应高的比等于相似比等知识点．注意平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例15、70°【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求得∠AOB，由切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，再由四边形的内角和等于360°，即可得出答案【详解】解：连接OA、OB，∠ACB＝55°，∴∠AOB=110°∵PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°∵∠APB+∠OAP+∠AOB+∠OBP=360°∴∠APB=180°-(∠OAP+∠AOB+∠OBP)=70°故答案为：70本题考查了切线的性质、四边形的内角和定理以及圆周角定理，利用切线性质和圆周角定理求出角的度数是解题的关键16、（-1,2）【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【详解】解：∵点A（1，-2）与点A1（-1，2）关于原点对称，∴A1（-1，2）．故答案为：（-1，2）．本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．17、500【分析】次品率，根据抽取的样本数求得该批产品的次品率之后再乘以产品总数即可求解.【详解】解：，（件）本题主要考查了数据样本与频率问题，亦可根据比例求解.18、b（a+b）（a﹣b）【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【详解】解：a2b﹣b3，=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）．故答案为b（a+b）（a﹣b）．三、解答题（共78分）19、“画树状图”或“列表”见解析；（都选金山为第一站）.【分析】画树形图得出所有等可能的情况数，找出小明和小丽都选金山为第一站的情况数，即可求出所求的概率．【详解】画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小明和小丽都选金山为第一站的只有1种情况，

∴（都选金山为第一站）．本题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20、（1）①A，C.②；（2）或.【分析】（1）①分别将A,B,C三个点的横坐标代入抛物线的解析式中，然后比较求出的函数值与各自点的纵坐标，最后依据上位点的定义判断即可得出答案；②找到直线与抛物线的两个交点，即可确定点的横坐标的取值范围（2）当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求,数形结合求出临界点时圆心的横坐标，即可得出答案.【详解】解：（1）①当时，，所以A点是抛物线的上位点；当时，，所以B点不是抛物线的上位点；当时，，所以C点是抛物线的上位点；故答案为，.②∵点是直线的图上点，∴点在上.又∵点是的上位点，∴点在与的交点，之间运动.∵∴∴点(，)，(，).∴.（2）如图，当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求.将沿直线翻折后的直线的解析式为当时，，∴A(-3,0),OA=3当时，∴C(0,3),OC=3∴∵∴∴∵A(-3,0)∴同理可得∴线段EF上同时存在图象的上位点，图上点和下位点，圆心的横坐标的取值范围为或.本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握上位点，图上点和下位点的概念是解题的关键.21、台灯的高约为45cm.【分析】如图，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延长线于G、F，DH⊥EF于H，可得四边形DGFH是矩形，可得DG=FH，根据∠A的余弦可求出AC的长，进而可得AD的长，根据∠A的正弦即可求出DG的长，由∠ADE=135°可得∠EDH=15°，根据∠DEH的正弦可得EH的长，根据EF=EH+FH求出EF的长即可得答案.【详解】如图，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延长线于G、F，DH⊥EF于H，∴四边形DGFH是矩形，∴DG=FH，∵∠A=60°，AB=16，∴AC=AB·cos60°=16×=8，∴AD=AC+CD=8+40=48，∴DG=AD·sin60°=24，∵DH⊥EF，AF⊥EF，∴DH//AF，∴∠ADH=180°-∠A=120°，∵∠ADE=135°，∴∠EDH=∠ADE-∠ADH=15°，∵DE=15，∴EH=DE·sin15°≈3.9，∴EF=EH+FH=EH+DG=24+3.9≈45，答：台灯的高约为45cm.本题主要考查解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数的关系是解题关键.22、（1）3；（2）E（5，0），P（，﹣）【分析】（1）分别求出点C，顶点D，点A，B的坐标，如图1，连接BC，过点D作DM⊥y轴于点M，作点D作DN⊥x轴于点N，证明△BCD是直角三角形，即可由三角形的面积公式求出其面积；（2）先求出直线BD的解析式，设P（a，a2﹣2a﹣3），用含a的代数式表示出直线PC的解析式，联立两解析式求出含a的代数式的点F的坐标，过点C作x轴的平行线，交BD于点H，则yH＝﹣3，由△CDF与△BEF的面积相等，列出方程，求出a的值，即可写出E，P的坐标．【详解】（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），当x＝﹣＝1时，y＝﹣4，∴顶点D（1，﹣4），当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），如图1，连接BC，过点D作DM⊥y轴于点M，作点D作DN⊥x轴于点N，∴DC2＝DM2+CM2＝2，BC2＝OC2+OB2＝18，DB2＝DN2+BN2＝20，∴DC2+BC2＝DB2，∴△BCD是直角三角形，∴S△BCD＝DC•BC＝×3＝3；（2）设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），D（1，﹣4）代入，得，解得，k＝2，b＝﹣6，∴yBD＝2x﹣6，设P（a，a2﹣2a﹣3），直线PC的解析式为y＝mx﹣3，将P（a，a2﹣2a﹣3）代入，得am＝a2﹣2a﹣3，∵a≠0，∴解得，m＝a﹣2，∴yPC＝（a﹣2）x﹣3，当y＝0时，x＝，∴E（，0），联立，解得，，∴F（，），如图2，过点C作x轴的平行线，交BD于点H，则yH＝﹣3，∴H（，﹣3），∴S△CDF＝CH•（yF﹣yD），S△BEF＝BE•（﹣yF），∴当△CDF与△BEF的面积相等时，CH•（yF﹣yD）＝BE•（﹣yF），即×（+4）＝（﹣3）（﹣），解得，a1＝4（舍去），a2＝，∴E（5，0），P（，﹣）．此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、一次函数的性质及三角形面积的求解.23、（1）见解析；（2）.【分析】（1）画树状图得出所有等可能结果；（2）从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】（1）画树状图如下：（2）由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，

所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为：．本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24、【解析】首先根据底面半径OB=3cm，高OC=4cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】解：根据题意，由勾股定理可知．,圆锥形漏斗的侧面积．此题主要考查了圆锥的侧面积