2026年自学考试线性代数试题及答案详解

2026年自学考试线性代数试题及答案详解一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.行列式12A.−B.2C.10D.−答案：A解析：1×2.设A为3阶方阵，且|A|=A.4B.8C.16D.32答案：C解析：对n阶方阵A，|kA|=kn|3.设A为n阶可逆矩阵，则下列等式正确的是A.(B.(kA)C.(D.(答案：A解析：矩阵逆的基本性质：(A−1)−1=A；4.设向量组α1=(1,0,A.1B.2C.3D.4答案：C解析：向量组属于R3，故秩不超过3。前三个向量线性无关，且α4=5.若A为m×n矩阵，齐次线性方程组A.A的列向量组线性无关B.A的行向量组线性无关C.mD.r答案：D解析：AX=0有非零解当且仅当A的列向量组线性相关，即r6.设可逆矩阵A的特征值为λ1,λA.λB.1C.−D.λ答案：B解析：可逆矩阵的特征值均不为零，且若Ax=λx，则A−7.设A为3阶方阵，且|A|=−1，AA.1B.−C.2D.−答案：A解析：|A*|=|A|8.下列矩阵中，与矩阵A=A.1B.1C.1D.0答案：A解析：等价矩阵有相同的秩。r(A)=2，只有单位矩阵的秩为2，其余分别秩为19.设A为n阶正交矩阵，则下列结论不正确的是A.AB.|C.A的列向量组是标准正交向量组D.A的特征值全为1答案：D解析：正交矩阵的特征值的模一定为1，但实特征值只能为±1，也可能有模为1的复特征值，不一定全为110.二次型f(A.1B.1C.1D.1答案：A解析：二次型矩阵为对称矩阵，交叉项2x1x2对应a12=a二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.行列式12答案：6解析：上三角行列式等于对角线元素之积，即1×2.设A=12答案：−解析：|A|=3.设A为3阶方阵，|A|=答案：3解析：转置不改变行列式的值，|A4.向量α=(1,2答案：4解析：(α5.设A=12答案：1解析：A26.若r(A)=2，其中A答案：2解析：未知数个数n=4，基础解系所含向量个数为7.设λ=2是矩阵A的一个特征值，则答案：6解析：若Ax=28.矩阵11答案：1解析：两行对应成比例，非零行数为1。9.二次型f(答案：z解析：该二次型矩阵为1111，秩为1，正惯性指数为1，负惯性指数为010.设A为n阶方阵，若A2=A且A答案：I（单位矩阵）解析：由A2=A且A可逆，两边左乘A三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.计算4阶行列式D答案：D解析：将第2、3、4列都加到第1列，则第1列元素全为10，提出公因子10，得D然后作行变换：第2行减第1行，第3行减第1行，第4行减第1行，得D按第1列展开，得D计算三阶行列式，结果为16，故D=2.设矩阵A=1234，B答案：X解析：因为|A|=A在AX=BX3.求向量组α的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。答案：秩为3；一个极大无关组为α1,α解析：以α1,α$$A=\begin{pmatrix}

1&0&0&1\\

1&1&0&2\\

0&1&1&1\\

0&0&1&1

\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_2-r_1}

\begin{pmatrix}

1&0&0&1\\

0&1&0&1\\

0&1&1&1\\

0&0&1&1

\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_3-r_2}

\begin{pmatrix}

1&0&0&1\\

0&1&0&1\\

0&0&1&0\\

0&0&1&1

\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_4-r_3}

\begin{pmatrix}

1&0&0&1\\

0&1&0&1\\

0&0&1&0\\

0&0&0&1

\end{pmatrix}.$$可见矩阵的秩为3，且前三列线性无关，所以向量组秩为3，α1,α4.求非齐次线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3=1,\\

2x_1+2x_2+3x_3=2,\\

x_1+x_2+2x_3=1

\end{cases}$$的通解。答案：$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},\quadt\in\mathbb{R}.$$解析：将增广矩阵作初等行变换：$$\left(\begin{array}{ccc|c}

1&1&1&1\\

2&2&3&2\\

1&1&2&1

\end{array}\right)

\xrightarrow{r_2-2r_1,\,r_3-r_1}

\left(\begin{array}{ccc|c}

1&1&1&1\\

0&0&1&0\\

0&0&1&0

\end{array}\right)

\xrightarrow{r_3-r_2}

\left(\begin{array}{ccc|c}

1&1&1&1\\

0&0&1&0\\

0&0&0&0

\end{array}\right).$$由此得$$\begin{cases}

x_1+x_2=1,\\

x_3=0.

\end{cases}$$令x2=t，则x(5.求矩阵A=答案：特征值λ1=1，λ2=3。对应于λ1=1的全部特征向量为k解析：特征多项式为$$|\lambdaI-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&-1\\-1&\lambda-2\end{vmatrix}

=(\lambda-2)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda-3).$$令其为零，得特征值λ1=1当λ=1时，解−得x1+x2=0，基础解系为当λ=3时，解1得x1−x2=0，基础解系为6.用正交变换化二次型f为标准形，并写出所用的正交变换。答案：标准形为3y正交变换为$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}

=Q\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix},$$其中$$Q=\begin{pmatrix}

\frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\\

\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\

-\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}

\end{pmatrix}.$$解析：二次型对应的对称矩阵为$$A=\begin{pmatrix}

1&1&-1\\

1&2&0\\

-1&0&2

\end{pmatrix}.$$求特征值：$$|\lambdaI-A|=\begin{vmatrix}

\lambda-1&-1&1\\

-1&\lambda-2&0\\

1&0&\lambda-2

\end{vmatrix}=\lambda(\lambda-2)(\lambda-3).$$因此特征值为λ1=3，λ对应λ1=3，解(3I对应λ2=2，解(2I对应λ3=0，解(0I易验证p1$$Q=(p_1,p_2,p_3)=\begin{pmatrix}

\frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\\

\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\

-\frac{1}{\sqrt