2026年人教版高三数学第一轮复习数列应用第二章测试卷及答案

2026年人教版高三数学第一轮复习数列应用第二章测试卷及答案第1页共1页2026年人教版高三数学第一轮复习数列应用第二章测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.某工厂生产一种零件，每天的生产量是一个等差数列{a_n}，其中a_1=100件，公差d=5件。则该工厂第10天的生产量是多少件？A.135B.140C.145D.150参考答案：C2.一个等比数列{b_n}的首项b_1=2，公比q=-3。则该数列的前4项和S_4是多少？A.-40B.-36C.-32D.-28参考答案：A3.某城市公交公司每天发车次数是一个等差数列{c_n}，其中c_1=6次，公差d=1次。则该城市公交公司第15天的发车次数是多少次？A.21B.22C.23D.24参考答案：D4.一个等比数列{d_n}的前3项和为26，公比q=2。则该数列的首项d_1是多少？A.2B.4C.6D.8参考答案：B5.某工厂生产一种零件，每天的生产量是一个等差数列{e_n}，其中e_1=80件，公差d=10件。则该工厂前5天的总生产量是多少件？A.400B.425C.450D.475参考答案：C6.一个等比数列{f_n}的首项f_1=5，公比q=-2。则该数列的前3项和S_3是多少？A.5B.10C.15D.20参考答案：B7.某城市公交公司每天发车次数是一个等差数列{g_n}，其中g_1=8次，公差d=2次。则该城市公交公司第10天的发车次数是多少次？A.18B.20C.22D.24参考答案：C8.一个等比数列{h_n}的前4项和为65，公比q=-3。则该数列的首项h_1是多少？A.5B.10C.15D.20参考答案：A9.某工厂生产一种零件，每天的生产量是一个等差数列{i_n}，其中i_1=90件，公差d=8件。则该工厂前6天的总生产量是多少件？A.546B.576C.606D.636参考答案：B10.一个等比数列{j_n}的首项j_1=3，公比q=4。则该数列的前2项和S_2是多少？A.7B.11C.15D.19参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，d=2，则a_5=______。参考答案：112.已知等比数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=1，q=2，则S_4=______。参考答案：313.某工厂生产一种零件，每天的生产量是一个等差数列{a_n}，其中a_1=10，a_5=18，则该数列的公差d=______。参考答案：24.一个等比数列{b_n}的前3项和为26，公比q=2，则该数列的首项b_1=______。参考答案：25.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=11，则a_7=______。参考答案：176.已知等比数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=3，q=3，则S_5=______。参考答案：1217.某城市公交公司每天发车次数是一个等差数列{c_n}，其中c_1=6，c_4=10，则该数列的公差d=______。参考答案：18.一个等比数列{d_n}的前4项和为65，公比q=2，则该数列的首项d_1=______。参考答案：139.在等差数列{a_n}中，若a_1=-2，a_6=10，则该数列的公差d=______。参考答案：410.已知等比数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=2，q=4，则S_3=______。参考答案：14三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2，其中a_1为首项，a_n为第n项。参考答案：√2.若数列{a_n}满足a_n/a_{n-1}=q（常数），则{a_n}为等比数列。参考答案：√3.等比数列{b_n}的公比q=1时，其前n项和S_n=na_1。参考答案：√4.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则a_5=6。参考答案：√5.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，则{c_n}为等比数列。参考答案：√6.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则d_n=2n+1。参考答案：×7.等差数列{a_n}中，若a_1=2，d=3，则a_10=29。参考答案：√8.等比数列{b_n}中，若b_1=3，q=2，则b_5=48。参考答案：√9.在等差数列{a_n}中，若a_4=10，a_7=19，则该数列的公差为3。参考答案：√10.若数列{c_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则{c_n}为等差数列。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=n^2+an-2n。求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=2n+12.在等差数列{b_n}中，若a_1=5，d=-3，求该数列的前10项和S_10。参考答案：S_10=-1403.若数列{c_n}的前n项和为S_n=3^n-1，求该数列的通项公式c_n。参考答案：c_n=3^{n-1}4.在等比数列{d_n}中，若b_1=2，q=3，求该数列的前5项和S_5。参考答案：S_5=625.已知数列{e_n}满足e_n=n(n+1)/2，求e_4+e_5+e_6的值。参考答案：456.若数列{f_n}的前n项和为T_n=n^2+2n，求该数列的通项公式f_n。参考答案：f_n=2n+17.在等差数列{g_n}中，若a_3=7，a_6=15，求该数列的通项公式g_n。参考答案：g_n=2n-18.若数列{h_n}的前n项和为U_n=2^n-1，求h_3的值。参考答案：h_3=5五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某康复中心设计了一个平衡训练装置，包括一个半径为1米的圆形平台，平台边缘固定有若干个等距离的扶手，现计划在平台上放置若干个质量均匀的球，使得每个球与平台边缘的距离均为0.3米，且相邻两球之间的圆心角不超过30度。请问，至少需要放置多少个球才能满足上述条件？参考答案：4个。2.医院为病人设计一套康复训练器械，包括一个倾角为30°的斜面AB和位于斜面底端的水平地面BC，斜面AB的长度为4米，现需要在斜面上放置一个质量为50千克的物体，物体与斜面之间的动摩擦因数为0.2。请问，至少需要施加多大的水平推力F，才能使物体沿斜面匀速向上运动？参考答案：150N。3.某社区医院准备采购一批医用消毒液，现有两种规格的消毒液，大瓶每瓶容量为500毫升，售价为10元；小瓶每瓶容量为250毫升，售价为5元。医院计划采购至少1000毫升的消毒液，且要求大瓶和小瓶的数量之比为2:3。请问，在满足上述条件下，医院采购消毒液的最少花费是多少元？参考答案：75元。4.某医院病房设计了一个紧急呼叫系统，包括一个倾角为60°的斜面和位于斜面顶端的按钮，斜面的长度为3米。现需要在斜面底端放置一个质量为30千克的物体，物体与斜面之间的动摩擦因数为0.5。请问，至少需要施加多大的水平推力F，才能使物体沿斜面匀速向上运动？参考答案：300N。5.一个密闭的金属容器内部结构复杂，包含多个相互连通的腔室。为了测量容器内部的体积，研究人员先向容器内注入密度为1克/立方厘米的水，当水面达到某个特定高度时，测得水的体积为1000立方厘米。随后，他们向容器内注入密度为0.8克/立方厘米的油，当油面达到相同高度时，测得油的体积为800立方厘米。请问，该密闭金属容器的内部体积是多少立方厘米？参考答案：2000立方厘米。6.某制药厂设计了一个自动分药装置，包括一个倾角为45°的倾斜传送带和位于传送带顶端的分药口，传送带的长度为5米。现需要在传送带上放置一个质量为20千克的物体，物体与传送带之间的动摩擦因数为0.3。请问，至少需要施加多大的水平推力F，才能使物体沿传送带匀速向上运动？参考答案：250N。7.某医院手术室需要搭建一个无影灯照明系统，无影灯位于天花板正中，距离地面高度为3米。为了确保手术区域的光线充足，需要在该区域放置若干个辅助照明灯，辅助照明灯与无影灯的距离均为2米，且相邻两灯之间的夹角不超过45度。请问，至少需要放置多少个辅助照明灯才能满足上述条件？参考答案：3个。8.某康复医院设计了一个三棱镜折射实验装置，三棱镜的顶角为60°，折射率为1.5。现有一束光线以30°的入射角从空气射入三棱镜，请问，该光线在棱镜内的折射角是多少度？参考答案：22.5度。标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式与求和公式。等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=100，d=5，n=10，可得a_10=100+(10-1)×5=145。故选C。A、B、D均为错误选项，分别对应通项公式计算错误或代入数值错误。2.参考答案：A解析：本题考查等比数列的求和公式。等比数列的前n项和公式为S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=-3，n=4，可得S_4=2(1-(-3)^4)/(1-(-3))=2(1-81)/4=-40。故选A。B、C、D均为错误选项，分别对应求和公式计算错误或代入数值错误。3.参考答案：D解析：本题考查等差数列的通项公式。等差数列的通项公式为c_n=c_1+(n-1)d，代入c_1=6，d=1，n=15，可得c_15=6+(15-1)×1=24。故选D。A、B、C均为错误选项，分别对应通项公式计算错误或代入数值错误。4.参考答案：B解析：本题考查等比数列的求和公式与通项公式。等比数列的前n项和公式为S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入S_3=26，q=2，可得26=a_1(1-2^3)/(1-2)，解得a_1=4。故选B。A、C、D均为错误选项，分别对应求和公式计算错误或代入数值错误。5.参考答案：C解析：本题考查等差数列的求和公式。等差数列的前n项和公式为e_n=e_1+(n-1)d，代入e_1=80，d=10，n=5，可得S_5=5×(80+150)/2=450。故选C。A、B、D均为错误选项，分别对应求和公式计算错误或代入数值错误。6.参考答案：B解析：本题考查等比数列的求和公式。等比数列的前n项和公式为f_n=f_1(1-q^n)/(1-q)，代入f_1=5，q=-2，n=3，可得S_3=5(1-(-2)^3)/(1-(-2))=10。故选B。A、C、D均为错误选项，分别对应求和公式计算错误或代入数值错误。7.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式。等差数列的通项公式为g_n=g_1+(n-1)d，代入g_1=8，d=2，n=10，可得g_10=8+(10-1)×2=22。故选C。A、B、D均为错误选项，分别对应通项公式计算错误或代入数值错误。8.参考答案：A解析：本题考查等比数列的求和公式与通项公式。等比数列的前n项和公式为h_n=h_1(1-q^n)/(1-q)，代入S_4=65，q=-3，可得65=h_1(1-(-3)^4)/(1-(-3))，解得h_1=5。故选A。B、C、D均为错误选项，分别对应求和公式计算错误或代入数值错误。9.参考答案：B解析：本题考查等差数列的求和公式。等差数列的前n项和公式为i_n=i_1+(n-1)d，代入i_1=90，d=8，n=6，可得S_6=6×(90+150)/2=576。故选B。A、C、D均为错误选项，分别对应求和公式计算错误或代入数值错误。10.参考答案：A解析：本题考查等比数列的求和公式。等比数列的前n项和公式为j_n=j_1(1-q^n)/(1-q)，代入j_1=3，q=4，n=2，可得S_2=3(1-4^2)/(1-4)=7。故选A。B、C、D均为错误选项，分别对应求和公式计算错误或代入数值错误。二、填空题1.参考答案：11解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，d=2，n=5，可得a_5=3+(5-1)×2=11。2.参考答案：31解析：本题考查等比数列的前n项和公式。由等比数列的前n项和公式S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=1，q=2，n=4，可得S_4=1×(1-2^4)/(1-2)=31。3.参考答案：2解析：本题考查等差数列的通项公式与公差。由等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=10，a_5=18，可得18=10+(5-1)d，解得d=2。4.参考答案：2解析：本题考查等比数列的前n项和公式与首项。由等比数列的前n项和公式S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入S_3=26，q=2，可得26=b_1(1-2^3)/(1-2)，解得b_1=2。5.参考答案：17解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_4=11，可得11=5+(4-1)d，解得d=2，再代入a_7=5+(7-1)×2=17。6.参考答案：121解析：本题考查等比数列的前n项和公式。由等比数列的前n项和公式S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=3，q=3，n=5，可得S_5=3×(1-3^5)/(1-3)=121。7.参考答案：1解析：本题考查等差数列的通项公式与公差。由等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入c_1=6，c_4=10，可得10=6+(4-1)d，解得d=1。8.参考答案：13解析：本题考查等比数列的前n项和公式与首项。由等比数列的前n项和公式S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入S_4=65，q=2，可得65=b_1(1-2^4)/(1-2)，解得b_1=13。9.参考答案：4解析：本题考查等差数列的通项公式与公差。由等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=-2，a_6=10，可得10=-2+(6-1)d，解得d=4。10.参考答案：14解析：本题考查等比数列的前n项和公式。由等比数列的前n项和公式S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入b_1=2，q=4，n=3，可得S_3=2×(1-4^3)/(1-4)=14。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查等差数列前n项和公式。等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2是高中数学教材第二章的核心知识点，该公式由等差数列的定义a_n=a_1+(n-1)d推导而来，其中d为公差。题干表述完整准确，直接考查对公式的识记和理解。2.参考答案：√解析：本题考查等比数列的定义。数列{a_n}满足a_n/a_{n-1}=q（常数）是等比数列的判定定理，该定理在教材P35有明确证明，通过数学归纳法可证得数列从第二项起满足等比定义。题干表述为等比数列的判定条件，正确。3.参考答案：√解析：本题考查等比数列求和。当q=1时，等比数列变为常数列，所有项都等于首项a_1，前n项和S_n=na_1。该结论在教材P42例3有详细推导，通过等比数列求和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)当q=1时的极限情况可得。题干表述正确。4.参考答案：√解析：本题考查等差数列性质。等差数列中，若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q。由题意a_3+a_7=12，根据性质可得a_3+a_7=a_5+a_5=2a_5，故2a_5=12，解得a_5=6。该性质在教材P28有证明，通过等差中项定义可推导。题干表述正确。5.参考答案：√解析：本题考查等比数列求和。数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，计算d_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，可见{c_n}满足等比数列定义，公比q=2。该结论通过等比数列求和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)当q≠1时推导，题干表述正确。6.参考答案：×解析：本题考查数列通项公式。由S_n=n^2+n，得d_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。当n=1时，d_1=S_1=2，但通项公式应为d_n=2n，故d_1≠2，矛盾。正确通项应为d_n=2n。题干表述错误。7.参考答案：√解析：本题考查等差数列通项公式。由a_1=2，d=3，得a_n=a_1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。代入n=10，得a_10=3×10-1=29。该公式在教材P25有介绍，通过等差数列定义推导。题干表述正确。8.参考答案：√解析：本题考查等比数列通项公式。由b_1=3，q=2，得b_n=b_1q^{n-1}=3×2^{n-1}。代入n=5，得b_5=3×2^4=48。该公式在教材P38有介绍，通过等比数列定义推导。题干表述正确。9.参考答案：√解析：本题考查等差数列性质。由a_4=10，a_7=19，得3d=a_7-a_4=19-10=9，解得公差d=3。该性质在教材P28有证明，通过等差中项定义可推导。题干表述正确。10.参考答案：√解析：本题考查等差数列前n项和性质。由S_n=n(n+1)/2，得d_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n。当n=1时，d_1=S_1=1，满足等差数列定义，故{c_n}为等差数列，公差为2。该结论通过等差数列求和公式S_n=na_1+n(n-1)d/2推导，题干表述正确。四、简答题1.参考答案：a_n=2n+1解析：本题考查“由S_n求a_n”。由S_n=n^2+an-2n，得a_1=S_1=1+a_1-2，解得a_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+an-2n)-[(n-1)^2+a(n-1)-2(n-1)]=2n+a-2。又a_1=1，所以a=1。故a_n=2n+1。2.参考答案：S_10=-140解析：本题考查“等差数列求和公式”。由S_n=na_1+n(n-1)d/2，得S_10=10×5+10×9×(-3)/2=-140。3.参考答案：c_n=3^{n-1}解析：本题考查“由S_n求a_n”。由S_n=3^n-1，得a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。又a_1=2，所以c_n=3^{n-1}。4.参考答案：S_5=62解析：本题考查“等比数列求和公式”。由S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，得S_5=2×(1-3^5)/(1-3)=62。5.参考答案：45解析：本题考查“数列求和”。由e_n=n(n+1)/2，得e_4=4×5/2=10，e_5=5×6/2=15，e_6=6×7/2=21。故e_4+e_5+e_6=10+15+21=46。6.参考答案：f_n=2n+1解析：本题考查“由S_n求a_n”。由T_n=n^2+2n，得a_1=T_1=3。当n≥2时，f_n=T_n-T_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1。又a_1=3，所以f_n=2n+1。7.参考答案：g_n=2n-1解析：本题考查“等差数列通项公式”。由a_3=7，a_6=15，得3d=15-7=8，解得d=8/3。又a_1=a_3-2d=7-16/3=5/3，故g_n=a_1+(n-1)d=2n-1。8.参考答案：h_3=5解析：本题考查“由S_n求a_n”。由U_n=2^n-1，得h_1=U_1=1。当n≥2时，h_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。又h_1=1，所以h_3=2^2=4。五、应用题1.参考答案：4个。解析：本题考查数列中的等差数列。首先，根据题意可知，每个球与平台边缘的距离均为0.3米，因此球的圆心到圆心的距离为0.6米。又因为相邻两球之间的圆心角不超过30度，所以每个球的圆心角至少为30度。由于圆心角的总和为360度，因此至少需要放置4个球才能满足上述条件。2.参考答案：150N。解析：本题考查数列中的等差数列。首先，根据题意可知，物体沿斜面匀速向上运动时，受到的合力为零。因此，沿斜面向上的推力F必须等于物体沿斜面向下的重力分力G₁和摩擦力f之和。根据力的分解，可得G₁=mgsinθ，f=μmg