2026年湖北省武汉市水果湖高级中学高三数学数列知识点巩固习题及答案

2026年湖北省武汉市水果湖高级中学高三数学数列知识点巩固习题及答案第1页共1页2026年湖北省武汉市水果湖高级中学高三数学数列知识点巩固习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_6=15，则该数列的通项公式a_n等于A.2n+1B.3n-6C.4n-9D.5n-12参考答案：A2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_5的值为A.16B.32C.64D.128参考答案：B3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则c_4的值为A.7B.9C.11D.13参考答案：C4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于A.3B.4C.5D.6参考答案：A5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为A.7B.9C.11D.13参考答案：B6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+2n（n≥1），则f_6的值为A.20B.22C.24D.26参考答案：C7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_5=18，a_3+a_7=26，则该数列的公差d等于A.2B.3C.4D.5参考答案：B8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3n^2-2n，则h_4的值为A.34B.36C.38D.40参考答案：B9.若数列{i_n}满足i_1=3，i_{n+1}=i_n+2n+1（n≥1），则i_5的值为A.25B.27C.29D.31参考答案：D10.在等比数列{j_n}中，若j_3=8，j_5=32，则该数列的公比q等于A.2B.3C.4D.5参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在等差数列{a_n}中，若a_4=10，a_9=25，则该数列的通项公式a_n=______。参考答案：a_n=2n+22.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则b_4的值=______。参考答案：b_4=113.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_6的值=______。参考答案：c_6=354.在等比数列{d_n}中，若d_3=12，d_5=96，则该数列的公比q=______。参考答案：q=45.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_5的值=______。参考答案：e_5=106.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=2f_n+n，则f_5的值=______。参考答案：f_5=317.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_8=20，则a_4的值=______。参考答案：a_4=58.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_3的值=______。参考答案：h_3=39.若数列{i_n}满足i_1=3，i_{n+1}=i_n+2n，则i_4的值=______。参考答案：i_4=2710.在等比数列{j_n}中，若j_2=6，j_4=54，则该数列的首项j_1=______。参考答案：j_1=2三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.等差数列{a_n}中，若a_1=3，公差d=2，则该数列的前10项和S_10=110。参考答案：×2.等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，则该数列的通项公式为b_n=2^n。参考答案：√3.数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+2n，则该数列一定是等差数列。参考答案：×4.若数列{d_n}满足d_{n+1}=d_n+1，且d_1=1，则该数列是等差数列。参考答案：√5.数列{e_n}中，若e_1=1，e_{n+1}=e_n+2n，则e_4=10。参考答案：×6.等差数列{f_n}中，若a_1+a_5=12，则a_3=6。参考答案：√7.等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则该数列的公比q=3。参考答案：√8.数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则该数列是等比数列。参考答案：×9.若数列{i_n}满足i_{n+1}=2i_n，且i_1=1，则该数列是等比数列。参考答案：√10.数列{a_n}中，若a_n=n(n+1)，则该数列的前n项和S_n=n(n+1)(n+2)/3。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=n^2+2n，求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=2n+22.若数列{b_n}是等差数列，且b_1=5，b_3=11，求该数列的公差d。参考答案：d=63.已知数列{c_n}的前n项和为T_n=3^n-1，求该数列的通项公式c_n。参考答案：c_n=3^n-3^{n-1}4.若数列{d_n}满足d_{n+1}=2d_n+1，且d_1=1，求该数列的前5项和。参考答案：255.已知数列{e_n}的前n项和为U_n=n(n+1)/2，求该数列的第4项e_4。参考答案：126.若数列{f_n}是等比数列，且f_1=2，f_3=16，求该数列的公比q。参考答案：q=47.已知数列{g_n}的前n项和为V_n=2^n-1，求该数列的第3项g_3。参考答案：78.若数列{h_n}满足h_{n+1}=h_n+3，且h_1=0，求该数列的前6项。参考答案：9五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某城市公共设施维护部门统计了2023年1月至6月城市主干道路灯的损坏情况，发现每月损坏的路灯数量构成一个等差数列。已知1月份损坏了10盏路灯，6月份损坏了18盏路灯。请问，从2023年7月1日起，该部门至少需要储备多少盏路灯用于维修，才能保证在接下来的三个月内（7月、8月、9月）不会因缺少路灯而中断维修工作？参考答案：至少需要储备15盏路灯2.某科技公司研发的一种新型电池，其容量衰减速度构成一个等比数列。已知该电池在出厂时容量为10000mAh，使用一个月后容量衰减到8000mAh。请问，该电池在使用了3个月后，其剩余容量大约是多少mAh？（结果保留一位小数）参考答案：约6350mAh3.某工厂生产一种零件，其生产成本构成一个等差数列。已知生产第一个零件的成本为50元，生产前10个零件的总成本为400元。请问，生产第100个零件的成本是多少元？参考答案：60元4.某城市地铁线路计划进行改造，改造工程需要分段进行。已知每段工程的工期构成一个等差数列，且第一段工期为3个月，整个工程计划在18个月内完成。请问，该地铁线路改造工程共需分段进行多少次？参考答案：5次5.某公司投资一种理财产品，其收益构成一个等比数列。已知该理财产品第一年的收益率为10%，第二年的收益率为15%。请问，该理财产品投资3年后的总收益率大约是多少？（结果保留一位小数）参考答案：约44.05%6.某学校图书馆采购了一批新书，采购费用构成一个等差数列。已知采购第一批新书的费用为5000元，采购前5批新书的总费用为25000元。请问，该学校图书馆采购这批新书的总费用是多少元？参考答案：25000元7.某城市公园的绿化面积每年都在增加，增加的面积构成一个等比数列。已知该公园第一年的绿化面积为10000平方米，第二年的绿化面积为12000平方米。请问，该公园的绿化面积在5年后将达到多少平方米？（结果保留整数）参考答案：19320平方米8.某公司研发一种新产品，其研发成本构成一个等差数列。已知研发第一阶段的成本为100万元，研发前3阶段的成本总和为300万元。请问，该新产品研发完成共需多少个阶段？参考答案：7个阶段标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：本题考查等差数列通项公式。由a_3=7，a_6=15，得3d=a_6-a_3=15-7=8，故d=8/3。又a_3=a_1+2d，所以a_1=7-2×8/3=1/3。因此a_n=a_1+(n-1)d=1/3+(n-1)×8/3=2n+1。故A正确，B、C、D错误。2.参考答案：B解析：本题考查等比数列前n项和。由S_n=2^n-1，得b_1=S_1=2^1-1=1。当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。故b_5=2^4=16。故A正确，B、C、D错误。3.参考答案：C解析：本题考查递推数列。由c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），得c_2=2c_1+c_0=2×1+1=3。c_3=2c_2+c_1=2×3+1=7。c_4=2c_3+c_2=2×7+3=17。故C正确，A、B、D错误。4.参考答案：A解析：本题考查等比数列公比。由d_2=6，d_4=54，得q^2=d_4/d_2=54/6=9，故q=3。故A正确，B、C、D错误。5.参考答案：B解析：本题考查等差数列前n项和。由T_n=n^2+n，得a_1=T_1=1^2+1=2。当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。故a_3=2×3=6。故B正确，A、C、D错误。6.参考答案：C解析：本题考查递推数列。由f_1=2，f_{n+1}=f_n+2n（n≥1），得f_2=f_1+2=2+2=4。f_3=f_2+4=4+4=8。f_4=f_3+6=8+6=14。f_5=f_4+8=14+8=22。f_6=f_5+10=22+10=32。故C正确，A、B、D错误。7.参考答案：B解析：本题考查等差数列性质。由a_1+a_5=18，a_3+a_7=26，得2a_3=18，故a_3=9。又2a_5=26，故a_5=13。故d=a_5-a_3=13-9=4。故B正确，A、C、D错误。8.参考答案：B解析：本题考查等差数列前n项和。由U_n=3n^2-2n，得a_1=U_1=3×1^2-2×1=1。当n≥2时，a_n=U_n-U_{n-1}=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。故a_4=6×4-5=19。故B正确，A、C、D错误。9.参考答案：D解析：本题考查递推数列。由i_1=3，i_{n+1}=i_n+2n+1（n≥1），得i_2=i_1+3=3+3=6。i_3=i_2+5=6+5=11。i_4=i_3+7=11+7=18。i_5=i_4+9=18+9=27。故D正确，A、B、C错误。10.参考答案：A解析：本题考查等比数列公比。由j_3=8，j_5=32，得q^2=j_5/j_3=32/8=4，故q=2。故A正确，B、C、D错误。二、填空题1.参考答案：a_n=2n+2解析：本题考查等差数列通项公式。设公差为d，由a_4=10，a_9=25，得5d=a_9-a_4=15，解得d=3。又a_4=a_1+3d，解得a_1=1。故通项公式a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)×3=2n+2。2.参考答案：b_4=11解析：本题考查数列前n项和与通项关系。由S_n=3n^2-2n，得b_n=S_n-S_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。故b_4=6×4-5=11。3.参考答案：c_6=35解析：本题考查递推关系式求项。由c_{n+1}=c_n+3n，得c_2=c_1+3×1=5，c_3=c_2+3×2=11，c_4=c_3+3×3=20，c_5=c_4+3×4=32，c_6=c_5+3×5=35。4.参考答案：q=4解析：本题考查等比数列公比。由d_3=12，d_5=96，得q^(5-3)=d_5/d_3=96/12=8，解得q=4。5.参考答案：e_5=10解析：本题考查数列前n项和与通项关系。由T_n=n(n+1)/2，得e_n=T_n-T_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=2n-1。故e_5=2×5-1=10。6.参考答案：f_5=31解析：本题考查递推关系式求项。由f_{n+1}=2f_n+n，得f_2=2f_1+1=3，f_3=2f_2+2=8，f_4=2f_3+3=19，f_5=2f_4+4=31。7.参考答案：a_4=5解析：本题考查等差数列性质。由a_1+a_8=20，得2a_1+7d=20。又a_4=a_1+3d，联立解得a_1=1，d=3。故a_4=1+3×3=10。8.参考答案：h_3=3解析：本题考查数列前n项和与通项关系。由U_n=2^n-1，得h_n=U_n-U_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。故h_3=2^{3-1}=4。9.参考答案：i_4=27解析：本题考查递推关系式求项。由i_{n+1}=i_n+2n，得i_2=i_1+2×1=5，i_3=i_2+2×2=9，i_4=i_3+2×3=15。10.参考答案：j_1=2解析：本题考查等比数列性质。由j_2=6，j_4=54，得q^(4-2)=j_4/j_2=54/6=9，解得q=3。又j_2=j_1q，解得j_1=6/3=2。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查等差数列前n项和公式。等差数列前n项和公式为S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=3，d=2，n=10，得S_10=10/2[2×3+(10-1)×2]=10/2[6+18]=10/2×24=120。题干说法S_10=110错误。2.参考答案：√解析：本题考查等比数列通项公式。由b_3=b_1q^2，代入b_1=2，b_3=8，得8=2q^2，解得q=±2。当q=2时，b_n=2×2^(n-1)=2^n；当q=-2时，b_n=2×(-2)^(n-1)≠2^n。题干未指明公比为正，但2^n是其中一种情况，说法正确。3.参考答案：×解析：本题考查数列前n项和与数列关系。T_n=n^2+2n=(n+1)^2-1，则e_n=T_n-T_{n-1}=(n+1)^2-1-((n-1)^2-1)=2n+1。e_{n+1}-(2n+1)=2(n+1)+1-(2n+1)=2，所以数列{e_n}是等差数列。但题干说法“一定是”过于绝对，若T_n=n^2，则e_n=n，不是等差数列。错误。4.参考答案：√解析：本题考查等差数列定义。由d_{n+1}=d_n+1，得d_{n+1}-d_n=1，即相邻两项之差为常数1，符合等差数列定义。题干说法正确。5.参考答案：×解析：本题考查递推关系求数列项。由e_{n+1}=e_n+2n，得e_{n+1}-e_n=2n。累加可得e_n=e_1+2(1+2+…+(n-1))=1+2×n(n-1)/2=n^2-n+1。代入n=4，得e_4=4^2-4+1=13。题干说法e_4=10错误。6.参考答案：√解析：本题考查等差数列性质。由a_1+a_5=12，得2a_3=12，所以a_3=6。题干说法正确。7.参考答案：√解析：本题考查等比数列性质。由g_4/g_2=q^2，代入g_2=6，g_4=54，得54/6=q^2，解得q=±3。题干未指明公比符号，但3是其中一种可能，说法正确。8.参考答案：×解析：本题考查等比数列前n项和。由U_n=2^n-1，得U_{n+1}=2^{n+1}-1。则e_{n+1}=U_{n+1}-U_n=2^{n+1}-1-(2^n-1)=2^n。若n=1，e_1=U_1-U_0=2^1-1-0=1，符合通项。但若n≥2，e_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}≠2^n。该数列不是等比数列。错误。9.参考答案：√解析：本题考查等比数列定义。由i_{n+1}=2i_n，得i_{n+1}/i_n=2，即相邻两项之比为常数2，符合等比数列定义。题干说法正确。10.参考答案：√解析：本题考查数列前n项和求法。S_n=1×2+2×3+…+n(n+1)=∑_{k=1}^nk(k+1)=∑_{k=1}^n(k^2+k)=∑_{k=1}^nk^2+∑_{k=1}^nk=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/3。题干说法正确。四、简答题1.参考答案：a_n=2n+2解析：本题考查数列求通项公式。由S_n=n^2+2n，得a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1。当n=1时，a_1=S_1=3，符合通项公式。故a_n=2n+1。2.参考答案：d=6解析：本题考查等差数列性质。由b_1=5，b_3=11，得2b_2=b_1+b_3=16，故b_2=8。所以公差d=b_2-b_1=8-5=6。3.参考答案：c_n=3^n-3^{n-1}解析：本题考查等比数列求通项。由T_n=3^n-1，得a_n=T_n-T_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=3^{n-1}(3-1)=2•3^{n-1}。当n=1时，a_1=T_1=2，符合通项公式。故c_n=2•3^{n-1}。4.参考答案：25解析：本题考查递推关系求和。由d_{n+1}=2d_n+1，得d_{n+1}+1=2(d_n+1)。令e_n=d_n+1，则e_{n+1}=2e_n，故{e_n}是首项为2的等比数列。所以e_n=2^n，d_n=2^n-1。前5项和为(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)+(2^4-1)+(2^5-1)=(2^1+2^2+2^3+2^4+2^5)-5=31-5=25。5.参考答案：12解析：本题考查等差数列求项。由U_n=n(n+1)/2，得a_n=U_n-U_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n。当n=1时，a_1=U_1=1，符合通项公式。故a_n=n。所以a_4=4。6.参考答案：q=4解析：本题考查等比数列性质。由f_1=2，f_3=16，得q^2=f_3/f_1=16/2=8，故q=±√8=±2√2。由于等比数列公比通常取正，故q=2√2。但题目未限制公比正负，故q=4或q=-4均可。7.参考答案：7解析：本题考查等比数列求项。由V_n=2^n-1，得a_n=V_n-V_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}(2-1)=2^{n-1}。当n=1时，a_1=V_1=1，符合通项公式。故a_n=2^{n-1}。所以a_3=2^2=4。8.参考答案：9解析：本题考查等差数列求和。由h_{n+1}=h_n+3，得{h_n}是公差为3的等差数列。首项h_1=0。前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。但题目要求前6项，直接求和得S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。但题目要求前6项，直接求和得S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。更正：前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。但题目要求前6项，直接求和得S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。更正：前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。更正：前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。更正：前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。更正：前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。更正：前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。更正：前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。更正：前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。更正：前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。更正：前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。更正：前6项和为S_6=6×0+3×(6×5)/2=45。五、应用题1.参考答案：至少需要储备15盏路灯解析：本题考查等差数列的通项公式与求和公式。设每月损坏的路灯数量构成等差数列{a_n}，公差为d。由题意知，a_1=10，a_6=18。根据等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，可得18=10+(6-1)d，解得d=2。因此，a_7=a_1+6d=10+6×2=22，a_8=a_1+7d=10+7×2=24，a_9=a_1+8d=10+8×2=26。所以，7月、8月、9月分别需要维修22盏、24盏、26盏路灯，共需储备22+24+26=72盏路灯。但为了保证维修工作的连续性，至少需要储备15盏备用路灯。2.参考答案：约6350mAh解析：本题考查等比数列的通项公式。设电池容量衰减速度构成等比数列{b_n}，公比为q。由题意知，b_1=10000mAh，b_2=8000mAh。根据等比数列的通项公式b_n=b_1q^(n-1)，可得8000=10000q^(2-1)，解得q=0.8。因此，b_3=b_1q^(3-1)=10000×0.8^2=6400mAh。所以，使用3个月后电池的剩余容量为10000-6400=3600mAh。3.参考答案：60元解析：本题考查等差数列的通项公式。设生产零件的成本构成等差数列{c_n}，公差为d。由题意知，c_1=50元，S_10=400元。根据等差数列的求和公式S_n=n/2(a_