初三【数学(北京版)】正多边形的有关计算(2) 教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级初三学期第一学期课题正多边形的有关计算（2）教科书书名：《义务教育教科书.数学》出版社：北京出版社出版日期：2019年7月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.通过画图、观察、对比、分析进一步理解正多边形和圆的关系.2..通过画图、对比、分析、梳理正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念.

把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题.3.引导学生从特殊图形入手，探究解决正多边形的有关计算问题，培养学生化归的思想方法，并通过从刘徽割圆说起的介绍，培养学生的热爱科学和热爱祖国的情感.

教学重点：把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题.教学难点：在正多边形中，构造半径、边心距、边长构成的等腰三角形和直角三角形的基本图形.教学过程时间教学环节主要师生活动复习引入探索新知例题讲解巩固练习拓展阅读归纳总结布置作业一、复习引入上一节课老师留的作业题中有这样一个问题图中的多边形分别是正三角形，正方形和正六边形，如果是轴对称图形，分别画出它们所有的对称轴；如果是中心对称图形，分别指出对称中心的位置.预案：正三角形、正方形，正六边形是轴对称图形，正三角形的对称轴是三边的垂直平分线，正方形、正六边形的对称轴是边的垂直平分线，和对角线所在直线.追问：图中对称轴的交点O称为什么?预案：正多边形的中心.预案：正方形和正六边形是中心对称图形，对称中心是它的中心.二、探索新知问题1：在已知正△ABC,正方形ABCD,正六边形ABCDEF中你能画出它们的外接圆吗?说说你是怎么画的?预案：每个正多边形都有一个外接圆，以正多边形的中心O为圆心，OB为半径画圆，可以画出他们的外接圆.问题2：在图形中你还想画出哪些线段？为什么？预案1：可以作出正多边形的半径，可知正多边形中心角度数分别为120°，90°，60°.预案2：半径将正n边形分成了n个全等的等腰三角形.预案3：可以作出正多边形的边心距，图中线段OM1的长度是边心距这些边心距把每个等腰三角形分成了2个全等的直角三角形。预案4：边心距把正n边形分成了2n个全等的直角三角形.问题3观察图形，你能得出哪些结论.预案1：发现每个图中都含有等腰三角形和直角三角形的基本图形.正多边形外接圆等腰三角形直角三角形预案2：正多边形的中心O，半径OA、OB，中心角∠AOB,边心距OM的长度,边长AB，这五个量汇集到了等腰三角形中，而在这个等腰三角形中，边心距把等腰三角形分成了两个全等的直角三角形，我们可以用解直角三角形的知识，就可以把正多边形的半径、中心角、边心距、边长构成联系.三、例题讲解例1已知正△ABC的半径是6，求它的边心距.思考：你有什么解题想法吗?预案：根据已知条件，我们先画出图形，标注已知，求边心距需要构造基本图形：等腰三角形直角三角形，即可求解.连接OB,OC∵△ABC是正三角形，∴中心角∠BOC=120°.过O点作OE垂直BC于点E,∴∠BOE=60°.在Rt△OBE中,∠BEO=90°,∠OBE=30°,BO=6,∴OE=BO=3.追问:我们还能求正△ABC的哪些元素呢?预案：还能求正△ABC的边长、周长和面积.在Rt△OBE中,∠BOE=60°,BO=6,∴EB=6·sin60°=,边长BC=,C正△ABC=.∴S△BOC=,S△ABC=问题2：你认为解决这道题的关键是什么?题小结：抓住基本图形求解.1.连半径，得中心角,出等腰三角形.2.做边心距，构造直角三角形.四、巩固练习练习完成下表中正多边形的有关计算边数中心角半径边长边心距周长面积3R4R6R边数中心角半径边长边心距周长面积3120°RRRRR2490°RRRR2R2660°RRR6RR2追问:你是怎样计算正三角形的几个元素的?预案：由正三角形的中心角是120°半径是R,得出∠OBE=30°，求出OE=R,EB=R·sin60°=R得BC=R周长R，由△OBC的面积等于R2，△ABC的面积等于3倍的△OBC的面积得R2追问:你是怎样计算正方形的几个元素的?预案：由正方形的中心角是90°,边心距OE是R得出∠OBE=45°，BC=2OE=R，OB==R.追问:你是怎样计算正六边形的几个元素的?预案：由正六边形的中心角是60°边长是R,得出∠OBM=60°，求出OB=R,MO=R·sin60°=R由△OBC的面积等于R2，正六边形的的面积等于6倍的△OBC的面积得R2.思考：观察表格，你有什么发现吗？题小结：1.当正多边形的边数给定时，已知正多边形的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意项，都可以求出其他项.2.从上面表格我们也可以发现，当正多边形的半径确定时，随着圆内接正多边形边数的增加，中心角的度数在减小，正多边形的边长在减小，周长和面积都在逐渐增大.追问：随着正多边形边数无限增多，正多边形的周长与面积与圆的周长与面积有什么联系呢？预案：正多边形的周长无限接近圆的周长，正多边形的面积无限接近圆的面积.五、拓展阅读在公元3世纪，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断的把正多边形的边数倍增，他一直算到圆内接正192边形，把圆的内接正192边形近似地表示圆的周长，用周长与直径的比得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值π≈3.14，刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无失矣”我们称这个方法为刘徽割圆术，他开启了圆周率的新纪元.后来祖冲之继承了刘徽的思想，求出π的值在3.1415926与3.1415927之间,最先将π精确到小数点后六位.他的结果比欧洲早了一千多年.六、归纳总结这节课我们都学习了哪些知识，我们是如何研究的？1.通过进一步理解正多边形和圆的关系，从特殊图形入手，使用化归的思想方法，把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题.2.从刘徽割圆说起的介绍，我们看到了一代代科学家通过不懈努力与传承，我们祖国的取得了举世瞩目的成就，希望作为后浪的你们，发奋学习，全面提高自己，用实际行动承担中华民族伟大复兴的重任