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文档简介

第4讲基本不等式及其应用·分类练习(解析卷)

答案速查表

12345

DBBCCC

678910

()

()见解析1

见解析1()

()见解析2AC

2见解�析=−

1,�=−1

1112131415

DBCB

1617181920

2[9,+∞)

ACABC

2122232425

025+4

BBCC

2627282930

22

BDD

3132333435

2222+22

BBCDBACD

36373839

−3

(1)吨

(1)h

D(2)不获利,

400(2)见解析

元6.93

8

考点一:基本4不00等00式的理解与证明

考法1:根据基本不等式判断大小与成立条件

1.已知,都是正数,且,则下列选项不恒成立的是()

A.���≠B.�C.D.

�+���2��1

【答案】D2>���+�>2�+�<����+��>2

【解析】,都是正数,由基本不等式,,,,这三个不等式

�+���2��2��

都是当且�仅当�时等号成立,而题中2≥,因�此�等�号+都�≥取2不到�+,�所≤以2�A�B=C三��个不等式恒成立;

中�当=且�仅当时取等号�,≠如�即可取等号,D中不等式不恒成立.

11

【��点+拨��】≥本2题考查基本不��等=式1的应用,注意等�号=成2,立�的=条2件是解题的关键.

2.(2026·湖北随州·三模)已知,,则“”是“”的()

11

A.充分不必要条件�>0�>0B�.+必�要>不2充分条件�+�<2

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】利用基本不等式,举反例,应用必要不充分条件定义的判断.由,

,,令,2��,≤得�+�,则不成立,所以“�”>是0“�>

1115111

0�”+的�>不2充分条�件=;2因�为=2,�+�=,2>2�,+即�<2,得�+,�又>因2为�+

111�+�

�<2,所以�,>所0以�>0�+�<2,��所<以2�+�,<所2以��“”是

2

4��(�+�)

2

“2��≤�+”�的必要条(�+件�);≤综1上,“�+�>2”��是≤“2”的�+必�要>不2充分条件.�+�>2

1111

【�点+拨�】<本2题考查充分必要条件的判�断+,�结>合2基本不等�+式�及<举2反例的方法是解决此类问题的有效

途径.

3.(2026·湖北圆创·一模)(多选)下列说法中正确的是()

A.若,则的最小值为2

1

B.若�>1,则�+�的最大值为

1

C.若�<0�+,�且,−2则的最大值为

D.若�>0,,�则>0的�最+小�值=为12�+�2

��

【答案】B�C>0�+�

【解析】对于A,,当且仅当时等号成立,但,所以等号取不到,

11

故A错误;对于B�,+因�为≥2�⋅,�所=以2,所�以=1,所以�>1,当且仅当

11

时等号成立,所以最大�值<为0,故−�B>正0确;对于−�C+,−�≥2�+�≤−2�=

−1,当且仅当−2时等号成立,故C正确�;+对�于=D,�若+�+2,��≤,则

1�

1+,�+最�小=值为22不成立,�故=D�错=误2.�>0�<0�+

�

【�<点0拨】本题考查基本不等式的应用,注意等号成立的条件以及变量的符号.

考法2:利用几何意义理解基本不等式

4.数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形,在等

腰直角三角形中,点为斜边的中点,点为斜边上异于顶点的一个动点,设

,△�,��用该图形�能证明的𝐴不等式为【图�片】(𝐴)

��=A�.��=�B.

�+�2��

2≥��(�>0,�>0)�+�≤��(�>0,�>0)

C.D.

22

�+��+�22

【答案】C2≤2(�>0,�>0)�+�≥2��(�>0,�>0)

【解析】由图知:,,在Rt中,

1�+��+��−�

��=2𝐴=2��=|𝐴−��|=|2−�|=|2|△���

,所以,即.

2222

22�+��+��+�

【��点=拨】�本�题+考��查基=本不2等式的几何��意≤义�,�通过构2造≤直角三2角(�形>利0用,�斜>边0大)于直角边进行证明.

考法3:利用基本不等式证明不等式

5.(2026·山东师大附中·3月检测)已知实数,满足,则()

���<0<�

A.B.C.D.e�e�

11����

【答案】�C>�lg(−�)<lg��+�≤−2<

【解析】对于A,,则,所以,该选项错误;对于B,若

1111

,满足�,<但0<��<0,,�>该选0项错误�;<对�于C,因为,所以�=−10,�=,

��

10�<0<�lg(−�)=lg��<0<��<0,�<0

则,当且仅当,即时,等号

��������

��������

+=−[(−)+(−)]≤−2(−)×(−)=−2e−=−�=−�

成立,所以,该选项正确;对于D,ee,所以�e22,因为,所

����−�

����e��

�

�+�≤−2>0,>0�=�<0<�

以,但跟的大小关系不确定,不能确定,不能得到,该选项错误

0e�2−�2ee�e�.

22��0��

【�点�拨<】0本题�考查−不�等式的性质及基本不等式的应用,利用特<殊值法及基本不等<式逐项判断即可.

6.利用基本不等式证明:已知都是正数,求证:.

�,�,�(�+�)(�+�)(�+�)≥8���

【答案】见解析

【解析】证明:都是正数,

∵�,(�当,�且仅当时取等号);

∴�+�≥2��>(当0且仅当�=时�取等号);

�+�≥2��>0(当且仅当�=�时取等号);

�+�≥2��>0�=�(当且仅当时取等号),

∴即(�+�)(�+�)(�+�)≥2��.⋅2��⋅2��=8����=�=�

【(点�拨+】�)本(�题+考�)查(�利+用�)基≥本8不��等�式证明不等式,多次使用基本不等式时需注意等号成立的条件是

否能同时满足.

7.已知,,为正数,证明:

()若���,则;

1222

111�+�+�

(2)若���=2�+�,+则�≤2.

222

2�+�+2�=9�+�+�≥9

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】证明:()因为,所以,

122

2�+�

同理可得,��,�=2�=��≤2

2222

2�+�2�+�

所以�≤2�≤2,

222222

222�+��+��+�

故�+�+�≤2+,当2且仅+当2时等号成立.

222

111�+�+�

(2�)+�+�≤2�=�=�,

222122222212

因为�+�+�=9,(2所以+1+2)(�+�,+当�且)≥仅9当(2�+�+2�时)等号成立.

222

2�+�+2�=9�+�+�≥9�=2�=�

【点拨】本题考查基本不等式及柯西不等式的应用,巧妙地利用常数代换和不等式放缩是解题的

关键.

8.已知函数,若的解集为.

(1)求实数�(�),=的|2�值+;1|+|�+�|�(�)≤3[�,1]

(2)已知�均为�正数,且满足,求证:.

1222

�,�2�+�+2�=016�+�≥8

【答案】(1)(2)见解析

【解析】(1)�因为=−1,�=−的1解集为,所以(),即,所以

,�(�)≤3[�,1]�1≤33+|1+�|≤3|1+

�又|≤0,所以,即.

所|以1+�|≥01+�=,0�=−1

当�(�)时=,|2�+1|+|�−1|,得,则,

11

当�<−2�时(�,)=−2�−1−�+1=−3�≤3�,≥−得1−,1则≤�<−2,

11

当−2≤�时≤,1�(�)=2�+1−�+1=�,+得2≤3,不�成≤立1,−2≤�≤1

综�上>所1述:�(�)=2的�解+集1+为�−1=,3�≤3�≤1

因为�(�的)解≤集3为.[所−以1,1].

(2)�证(�明)≤:3由(1)知,[�,1],�所=以−1,

12

�=−12�+�=2(�>0,�>0)

所以,当且仅当,时,等号成立,

121221

所以2=2�,+�≥22�⋅�=���=2�=2

所以��≥1,当且仅当,时,等号成立.

22221

【点拨16】�本+题�考≥查2绝对16值�不�等=式8�的�解≥法8以及基本不�等=式2求最�=值,2利用零点分段法解绝对值不等式

是常规思路.

考点二:基本不等式求最值

考法4:利用直接法求和与积的最值

(河北保定二模)已知,是非零实数,则的最小值为()

9.2025··22

�9�

22

A.6B.1�2�C�.2+�D.4

【答案】A

【解析】,当且仅当,即,等号成立,所以的

22222222

�9��9��9�22�9�

22222222

最小值为�6.+�≥2�×�=6�=��=3�>0�+�

【点拨】本题考查利用基本不等式求最值,直接应用基本不等式即可.

10.(2026·河北NT20·5月检测)若,且,则的最小值为

()�,�>0��=�+�+4�+�

A.12B.16C.D.

41

【答案】C2+252

【解析】由为正实数且,根据基本不等式,可得,

2

�+�2(�+�)

即�,��+�,+解4得=��或��≤(2)(舍去)4,当≥且�+仅�当+4

2

(�+�)−时4取(�等+号�,)−所1以6≥0的最小�值+为�≥2+2.5�+�≤2−25�=

�【=点1拨+】本5题考查基本不等�式+的�应用,利用2+25将条件转化为关于的一元二次不等式

�+�2

是解题关键.��≤(2)�+�

11.(2024·深圳高级中学·二诊)已知都是正实数,,则的最小值

为()�,���+2�+�=4�+�

A.2B.C.D.

【答案】

D6−226−36−1

【解析】因为都是正实数,,即,所以

�,���+2�+�=4,当且(�仅+当1)(�+2)=6,即�+�=(�+1)+

(�时+等2)号−成3立≥.所2以(�+1)的(�最+小2)值−为3=26−.3�+1=�+2�=6−1,�=6−

2【点拨】本题考查基�+本�不等式求最值2,6通−过3因式分解将条件转化为积为定值的形式是解题的关键.

12.(多选)若实数,满足,则()

22

A.��B�.+�=��+1C.D.

2311

【答案】�B−C�≥−1�−�≤3��≥−3��≤3

【解析】,当时,,当且仅当

2222

∵或�+�=��+时1等号成��立>,0得�+�≥,2当��⇒��时+,1≥2��⇒��≤1

22

�=�=1�=�,=当−且1仅当0<或��≤1��<时0等号成�立+,�得≥−2��⇒��,+当1≥

133331

−2��⇒时�,�由≥−3�=可3得,�=−3�=−或3,�=3,综合可得−3≤��<0,故C

221

正��确=,0D错误;�+�=��+1�=0,�=±1�=0,�=±1−3≤,��当≤1时,

22221

∵�+�−2��=1−��⇒(�−�)=,1故−�A�错⇒误1,−B(�正−确�).=����≥−3

21242323

1【−点(拨�−】�本)题≥考−查3⇒基本(�不−等�)式≤的3应⇒用−,3通过≤分�−类�讨≤论和3基本不等式求出的范围是解题的关键.

13.(2025·安徽淮北·二模)若实数和的等差中项为1,则��的最小值为____

22

__.���+�

【答案】

【解析】2若实数和的等差中项为1,则,,即,

22222

即��,当且仅当�+�=2取等�号+故�≥2��的最小2值(�为+�)≥(�+�)

22.2.

22(�+�)222

【�点拨+】�本≥题考2查等=差2中=项2的性质及基本�不=等�式=求1最值,利用�平+方�和不等式即可求解.

14.(2026·山东东营·二模)若,且,则的取值范围为_____

_.�,�>0��=�+�+3��

【答案】

[9,+∞)

【解析】因为,且,由基本不等式可得,所以

,即�,�>0��=�+�+,3解得或�+(�≥舍2去)��,所以��−3,=当�且+仅

2

�当≥2��时(等�号�)成−立2,所��以−3的≥取0值范围为��≥3.��≤−1��≥9

【�点=拨�】=本3题考查基本不等式的�应�用,利用基本[不9,+等∞式)将条件转化为关于的一元二次不等式是

解题的关键.��

考法5:利用凑配法求最值

15.(2026·浙江精诚·二模)已知,则的最小值为()

12

A.B.0<�<12−2�C+.5�D.9

59

【答案】2B2

【解析】

121141141�4(1−�)1

2−2�+�=2(1−�+�)=2(1−�+�)[(1−�)+�]=2(1+4+1−�+�)≥2(5+

,当且仅当,即时等号成立.

�4(1−�)19�4(1−�)2

【2点1−拨�⋅】本�题)考=查2利(5用+“4)1=”2的代换(凑配1−法�=)求�最值,构�造=出3积为定值的形式是解题的关键.

16.若,则的最小值为______.

1

【答案�】>−2�(�)=�+�+2

【解析】0由,得,,所以

111

�>−2�+2>0�+2>0�(�)=�+�+2=�+2+�+2−2≥

,当且仅当即时等号成立.

11

【2点(�拨+】2)本×题�+考2查−基2=本0不等式求最值�,+通2过=凑�+项2构�造=−出1积为定值的形式是常用的技巧.

若,则的最小值为______.

17.2

�+2�+2

【答案�】>1�−1

【解析】2由5+4,则.因为,所以

2

22�+2�+2

�>1�−1>0�+2�+2=(�−1)+4(�−1)+5�−1=(�−

,当且仅当,即时等号成立,

555

�−1�−1�−1

故1)++的4最≥小2值(为�−1)⋅+4=25+4�−1=�=5+1

2.

�+2�+2

【点�拨−1】本题考查分式2函5数+求4最值,通过分离常数将其转化为可用基本不等式的形式是解题关键.

考法6:利用“1”的代换求最值

18.(2026·山东泰安·二模)当时,的最小值是()

41

A.3B.40<�<3�+3−C�.D.

108

【答案】A33

【解析】当时,

4114114(3−�)�1

0<�<3�+3−�=3(�+3−�)[�+(3−�)]=3(4+1+�+3−�)≥3(5+

,当且仅当,即时等号成立.

4(3−�)�14(3−�)�

【2点拨�】⋅本3−题�)考=查3(利5用+“4)1=”3的代换求最值,�将常=数3−转�化为�变=量2之和是解题的关键.

19.(2025·河北沧州·二模)若正数,满足,则的最小值是()

A.B.���+3�C=.5��3�+4�D.6

2428

【答案】5C5

【解析】由已知可得,则

31319412�3�13

5�+5�=13�+4�=(5�+5�)(3�+4�)=5+5+5�+5�≥5+

,所以的最小值5.

12�3�1312

25�⋅5�=5+5=53�+4�

【点拨】本题考查利用基本不等式求最值,将条件等式转化为与的线性组合等于1的形式是解题

11

关键.��

20.(2025·江西上饶·二模)(多选)若正实数满足,则()

A.的最大值是�,�B.�+�的=最1小值是9C.

14

的最大�值+是�D2.的最小值是�+�(1+�)(1+

9223

�【)答案】ABC4�+2�4

【解析】对于A,,当且仅当时取等

1

�+�=�+�+2��≤�+�+(�+�)=2�=�=2

号,A正确;对于B,,当且仅当

1414�4��4�2

��������3

时取等号,B正确;对于+C,=(�+�)(+)=5++≥5,+当2且⋅仅当=9时取等�=号2,�C=

1+�+1+�291

正确;对于D,(1+�),(1则+�)≤(2)=4�=�=2

2222212

,当且仅当�=1时−取�,等0号<,�<D1错误.�+2�=(1−�)+2�=3�−2�+1=3(�−3)+

221

【3≥点3拨】本题综合�=考3查了利用基本不等式求最值,熟练掌握“1”的代换以及二次函数求最值的方

法是解题的关键.

21.(2026·安徽A10·最后一卷)已知,且,则的最小值为_

114

_____.�>0,�>0��=2�+�+�+�

【答案】

【解析】2由题2意得,,当且仅当,

114�+�4�+�4�+�4�+�4

,即�+时�,+等�+号�=成立��.+�+�=2+�+�≥22⋅�+�=222=�+�

�【�点=拨2】本�题=考�查=基本2不等式求最值,通过通分将代数式转化为可用基本不等式的形式是解题关

键.

考法7:利用换元法与消元法求最值

22.已知正实数,满足,则的最小值是()

A.2����+B2.�−2=04�+�C.D.6

【答案】

B42−243−2

【解析】由,得,所以

288

��+2�−2=0�=�+24�+�=�+2+�=�+2+(�+2)−2≥

,当且仅当,,即,取等号.

8282

【2点�+拨2⋅】(�本+题2考)−查2消=元4法2结−合2基本不等式求�=最�值+2,将�+双2=变�量+问2题转化�=为单2变�量=问2题2是−常2用的解题

策略.

23.(2025·河北衡水·3月联考)已知正数满足,则的最小

�+�+2�1

值为()�,�,�2�+�+3�=8�+�+�+�

A.B.C.D.

3+225+22

【答案】2D2432−14

【解析】设,则,故

�+�+2�1�+�1�

�=�+��+�=8−2(�+�)=8−2��+�+�+�=�+�+1+�+�=8−2�+

1�−4+41−2(4−�)+4112112�4−�1

�+1=8−2�+,�当+且1仅=当2(4−�)+�+时1取=等4(号4−.�+�)(4−�+�)=4(2+4−�+�+1)≥4(22+

15+22

3【)点+拨2=】本4题考查利用换元�=法4和2“−1”4的代换求最值,整体代换是简化运算的有效手段.

24.(2026·湖南新高考·3月联考)若,且,则的最小值为

()�,�>0��=�+�+4�+�

A.12B.16C.D.

41

【答案】C2+252

【解析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可解题.因为,,所

�+�2

以,令,所以��,≤解(得2)��=�(+舍�去+)4或

�+�22

(2)≥,�+即�+4�=�+,�,当�且>仅0当�−4�−16时≥取0等号,所�≤以2−2的5最小值为

�≥2.+25�+�≥2+25�=�=1+5�+�2+

2【点5拨】本题考查基本不等式的应用,利用将条件转化为关于的一元二次不等式

�+�2

是解题关键.��≤(2)�+�

25.(2026·广东江门·二模)已知,,且,则的最小值为

()�>1�>1��=�+�+34�+�

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【解析】由,可得,因为,,所以,

,则��=�+�+3(�−1)(�−1)=4�>1�>1,当且�仅−1当>0�−

1>0,即4�+,�=4(�时−,1)等+号(�成−立1,)+故5≥24的(�最−小1)值(�为−113).+5=134(�−1)=

�【−点1拨】本�题=考2查�基=本5不等式求最值,通过4因�+式�分解将条件转化为积为定值的形式是解题的关键.

26.(2026·安徽滁州·一模)(多选)下列选项正确的有()

若,则最小值为若,则最小值为

A.B.23

129�−�+1

�+2�=2�+�2�≥2�−1

若,则的最小值为若,

C.5D.2

29�2

2

则的�∈最(大0,值2�为)sin�+sin�+14+�=1

【答2�案+】�BD17

【解析】对于选项A,,

1211212�2�12�

∵�+2�=2∴�+�=2(�+�)(�+2�)=2(1+�+�+4)=2(�+

,当时,,当且仅当,即

2�1212�2�12�2�92�2�

�时+,5等)号成�立�>;0当�+时�=,2假(设�+�+5)≥2(,2满�足⋅�+5)=2,而�=��=,�故=

2121219

选3项错误;对于选��项<0,设�=,−2,�=2,�+,2�=2,�+�=−2+2=2<2

AB22

�−�+1(�+1)−(�+1)+1

�−1=�∵�≥2∴�≥1�=�+1∴�−1=�=

,当且仅当时,即时取等号,则

22

�+2�+1−�−1+1�+�+1111

�����

的最小值=为,故=选�+项+正1确≥;2对�于⋅选+项1=,3�=,�=1,

23BC

�−�+12

�−1∵�∈(0,2�)∴sin�∈[−1,1]∴sin�+

,当且仅当,

929929

22222

sin�+1sin�+1sin�+1sin�+1

即=(sin,�等+号1成)+立,但是−1≥2(s无in解�,+故1)等⋅号不能−成1立=,5则sin�+1,=故选项C

9

2222

错s误in;�对=于2选项D,sin,�=设2,sin�+sin�+1,>5

2

�2�

∵4+�=,1其中∴cos�=,2,sin�=�∴�=2cos,�,�=sin�∴2�+�=

4cos�+si,n�=17s的in(最�大+值�)为,t故an选�=项4D正∵确sin.(�+�)∈[−1,1]∴17sin(�+�)∈[−

【1点7,拨1】7]本题∴综2�合+考�查基本不等式1求7最值、三角换元求最值,注意基本不等式成立的条件“一正

二定三相等”.

27.(2026·湖南雅礼中学·5月模拟)已知,若,则的最

2222

22

小值为______.�>�>0�+�=�+��+2�

【答案】

【解析】2因为2,所以,整理可得,

22222

22222222222222

由已知�+,�则=�+�,可�得−�+�−�,=即0,所(以�−�)−,��所(以�−�)=0

2

222222

�>�>0�−�>01−��=0��=2��=2�⋅2�=

,所以,当且仅当时取等号,又,所以

2�+时取2到�最≥小2值�.⋅2�=22�=2��⋅2�=2�=

【2点,�拨=】1本题考查基本不等式的应用,通过因式分解将条件转化为积为定值的形式是解题关键.

28.若,,则的最小值为______.

+2311

【答案�】,�∈�(�−�)=(��)�+�

【解析】2因为且,则两边同除以,得,又因为

23+21121

(�−�)=(��)�,�∈�(��)(�−�)=��(�+

,当且仅当,即时等

121124444

�)=(�−�)+��=��+��≥2��⋅��=4��=���=2+2,�=2−2

号成立,所以.

11

�+�≥4=2

【点拨】本题考查基本不等式求最值,通过代数式的恒等变形将和的最值转化为基本不等式模型

是解题关键.

29.若,,,,则的最小值为______.

4�+�

【答案�】>0�>0�>0�+�+�=2�+�+�

【解析】2由+题2意2,,,,得:,设

,�则

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