差分格式课件

其他差分公式介紹以上講的差分公式為中心差分公式，其特點是需要採用前一步和後一步值來進行計算。另外還由向前和向後差分方法，這些方法的實質是採用本身值和前一步或後一步值來計算一次微分以下列出這些差分的公式方法差分公式適用範圍中心差分精度較高向前差分精度差一些向後差分精度差方法差分公式適用範圍半步長中心差分精度較高時間域上差分用之差分公式的截斷誤差差分公式實際上是一種近似解法，其誤差分析是非常重要的截斷誤差值分析是分析在採用差分公式代替微分公式時，其誤差有多大。截斷誤差分析時進行差分方程收斂性和穩定性分析的基礎。向前差分公式截斷誤差 由Taylor級數展開式得到：將以上公式移項得到：截斷誤差向後差分公式截斷誤差 由Taylor級數展開式得到：將以上公式移項得到：

因此：從上式可以看出，向前與向後差分是對於某個方向上的截斷誤差是其步長h的一次函數。我們說向前和向後差分的精度是一階近似的。中心差分公式截斷誤差

從上式可以看出，中心差分公式較向前和向後差分公式的精度提高一個等級。可以推導出二階微分的精度如下:從上式可以看出，對於二階偏導，向前、向後和中心差分公式的精度是一致的。從以上公式看出，對於以上差分公式，當h無限減少時，截斷誤差可以無限減少，但是注意的是，對於一個微分方程而言，有兩個方向、或三、四個方向的差值公式，相互有影響，一個方向截斷誤差對於其他方向還有影響，需要進一步分析。——結合差分格式分析。§3.2差分格式將差分公式代入基本控制方程得到的方程成為差分方程，也稱為差分格式。對於同一個微分方程組和定解條件可以建立不同的差分方程（差分公式不同、使用形式不同，方程不同），構造差分格式也有不同的途徑。以擴散方程為例說明差分格式的建立 其中：a為常量參數

u為要求的未知量，可以是溫度，水壓等等擴散的物理量

x，t分別為空間和時間引數 這個方程是物理量隨著時間和空間（一維）的擴散計算的方程，我們討論這個方程的差分解法。－－代表性強。

設：在x－t平面上作平行於x軸和t軸的兩組平行線，形成h×τ的差分網格，則： 其中：時間的步長為τ

空間的步長為h， 且稱網格比為：規定：差分表示為：

上標為時間差分的結點號

下標為空間差分的結點號

表示在時間為n，空間為j點的變數值tx若對於時間t方向上採用一次向前差分公式，而對於x方向上採用中心差分公式，得到擴散方程的差分格式： 這稱為求解擴散方程的顯式格式。若變化x、t差分格式的形式就變成為： 這也稱為求解擴散方程的顯式格式。若變化x、t差分格式的關係就變成為： 這也稱為求解擴散方程的隱式格式。若再變化x、t差分格式的關係就變成為： 這就稱為求解擴散方程的加權隱式格式。其中θ為小於1的加權係數。當θ＝0.5時稱為Crank-Nicolson公式，還有Douglas公式等多種形式。

注：這些公式名稱只對於擴散方程而言相對於在t上的加權差分格式： 稱為Richtmyer隱式差分格式這就引出差分解需要解決的兩個問題：如何構造一個方程的差分格式？那種差分格式好，那種能用，那種不能用？構造差分格式的方法數值微分法 這是我們以上講的方法，就是用適當的差商代替微商，從而得到任意逼近微分方程的差分格式，常用、直接、簡單。積分插值法：從守恆定律出發構造差分格式。待定係數法：選用形式確定而係數待定的差分方程逼近微分方程，然後在截斷誤差可能達到的範圍內，按精度要求定出差分係數，構造具體的差分格式。——積分積分差值法和待定係數法自己看。用“收斂性”和“穩定性”判斷差分格式的優劣差分格式的“收斂性”“收斂性”就是：當步長無限減少時差分公式是否能夠無限接近原微分方程，其截斷誤差是否趨於0。收斂性的數學定義為： 設u為微分方程的準確解，unj為相應的差分方程的解，如果步長，對於任意點（j,n）有： 則：稱差分是收斂的。對於擴散方程的總體截斷誤差為：設：u（xj，tn

）為微分方程的解，ujn為差分格式的解，令E為差分格式的截斷誤差，記結點（xj，tn）處的截斷誤差為Ej,n，則：網格比

是u，非ujn另外，根據截斷誤差的定義可知：將上式變化成為：令：將真解代入差分方程中為0差分解微分解

得到：當0＜λ≤1/2/a時：均大於0

得到： 得到：當時， 因此：證明差分格式當u光滑時是收斂的。 同樣可以證明：不滿足0＜λ≤1/2/a時差分是不收斂的。對於其他差分格式，也可以得到其收斂條件，有條件收斂的差分稱為條件收斂格式，無條件收斂的差分格式為無條件收斂格式。差分格式的“穩定性” 差分計算是一個逐次計算的過程，前一次計算的誤差會向下一次計算傳播，這種誤差是否越來越大，在次數達到無限大時，誤差不可控制稱為“不穩定的”，可以控制的稱為“穩定的”。 數學定義：設初始層引入誤差為J=0,1,2,..而第n層的引入誤差為那麼：稱為差分為穩定的，其存在常數k，使得：成立，其中：為誤差的範數——度量某種向量、矩陣的尺度。穩定性的證明較為複雜，不講參考文獻：陸金莆，顧麗珍、陳景良，偏微分方程的差分方法，高等教育出版社，1988。其方法有：傅立葉方法、能量方法、單調矩陣方法和離散格林（Green）方法幾種差分方法的收斂性和穩定性格式差分公式截斷誤差穩定條件顯式格式隱式格式無加權隱式格式無Crank-Nicolson上式中若：無Richtmyer隱式格式無§3.3差分方法的解題步驟解題步驟對求解域進行網格劃分選擇差分格式邊界結點和內結點採用不同的差分格式建立差分方程求解差分方程舉例：軟粘土地基非線性一維固結分析quOH透水kv,mv,cv=kv/γw/mvZ非線性特徵固結係數eσ’（對數座標）kve（對數座標）得到：其中：cc

為壓縮指數，ck為滲透指數（e～logkv的斜率），cv為固結係數，下標0表示初始狀態。在暫態均布荷載作用下：不不隨著時間的變化而變化，總應力不變，則：又：一維飽和土體的連續方程為：得到：其中：V表示與固結度有關的函數

Tv表示時間因素，c為常數現在看如何用差分法進行計算：

運用Crank-Nicolson差分格式離散Z方向上的微分，用向前差分離散時間方向上的微分，得到：化解得到：式中：ΔZ,ΔT為步長，λ