2026年数值分析期末考试复习题及答案

2026年数值分析期末考试复习题及答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）下列误差分类中，属于模型误差的是（）A.测量电压时仪器带来的误差B.用泰勒级数前n项和近似原函数截断产生的误差C.计算机存储数据时舍去末位产生的误差D.计算近地物体自由落体位移时忽略空气阻力产生的误差若近似值x=0.0035276，保留三位有效数字后得到的结果为（）A.0.00352B.0.00353C.0.003D.0.0035对于n次拉格朗日插值的插值基函数l_i(x)（i=0,1,…,n），下列式子成立的是（）A.B.C.D.4.三点高斯型求积公式的代数精度为（）A.3次B.4次C.5次D.6次对于牛顿-科茨求积公式，随着插值节点个数n的增加，以下说法正确的是（）A.求积公式的误差一定单调减小B.对于任意被积函数，都可以通过增加节点个数提高精度C.n过大时可能出现龙格现象，误差不一定减小D.无论n取何值，误差都有界若线性方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，则以下说法正确的是（）A.雅可比迭代一定收敛，高斯-塞德尔迭代不一定收敛B.雅可比迭代不一定收敛，高斯-塞德尔迭代一定收敛C.雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都一定收敛D.雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都不一定收敛用二分法求方程在区间上的单根，若要求二分次后近似根的误差限不超过，则至少需要二分的次数满足（）A.B.C.D.改进欧拉法求解一阶常微分方程初值问题的方法阶数为（）A.一阶B.二阶C.三阶D.四阶辛普森求积公式的代数精度为（）A.1次B.2次C.3次D.4次对于对称正定系数矩阵的线性方程组，以下说法正确的是（）A.高斯-塞德尔迭代一定收敛B.雅可比迭代一定收敛C.高斯-塞德尔迭代一定不收敛D.雅可比迭代一定不收敛单项选择题答案：1.D2.B3.B4.C5.C6.C7.A8.B9.C10.A二、填空题（每小题4分，共20分）设f(x)为求方程x=e−x在区间(0设f(x)=x2−2x高斯消去法在消元过程中，当__________时，会导致消元过程中断，因此实际计算中通常采用选主元高斯消去法。四阶龙格-库塔方法求解一阶常微分方程初值问题的局部截断误差为__________。填空题答案：1.32.对任意初始值均收敛3.14.主元素（对角元）绝对值为零或过小5.三、计算题（共70分）1.（15分）已知，，，求的二次拉格朗日插值多项式，并计算的近似值，写出完整计算过程。解答：设插值节点为，，，对应的函数值，，，根据拉格朗日插值多项式公式，，其中为二次拉格朗日插值基函数，分别计算三个基函数：将基函数和函数值代入插值公式，得：整理化简：通分后分母为6，分子展开为：因此验证可得，代入三个插值节点，结果均与原函数值一致，插值多项式计算正确。将代入得的近似值为，因此。2.（15分）用牛顿迭代法求的近似值，取初始值，迭代两次，写出每一步的计算结果，结果保留四位小数。解答：设，即满足方程，令，则，在时单调递增，唯一正根为。牛顿迭代公式为：，代入初始值，计算第一次迭代：计算第二次迭代，代入：因此迭代两次后得到的近似值为，与的真实值误差小于，精度符合要求。3.（20分）用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分，将区间划分为4等份，分别写出两种方法得到的近似值，结果保留四位小数。解答：将区间划分为4等份，步长，各节点坐标为，，计算各节点的被积函数值，得：（1）用复合梯形公式计算，复合梯形公式的一般形式为：代入，各点函数值，得：因此复合梯形公式得到的近似值为。（2）用复合辛普森公式计算，复合辛普森公式的一般形式为：代入，奇数为，偶数为，得：因此复合辛普森公式得到的近似值为。该积分的精确值为，可见复合辛普森公式的精度远高于复合梯形公式，符合数值积分的性质。4.（20分）用顺序高斯消去法求解如下线性方程组，写出完整消元过程和回代结果：解答：首先写出增广矩阵：第一步消去第一列的第二行元素，计算消元乘数，将第二行减去乘以第一行，得到新的第二行：消元后增广矩阵变为：第二步消去第二列的第三行元素，计算消元乘数，将第三行减去乘以第二行，得到新的第三行：消元完成后得到上三角增广矩阵：接下来进行回代求解，从最后一行开始依次求解：由第三行：，得代入第二行：，得代入第一行：，得因此线性方程组的解为，，，代入原方程组验证可知结果正确。四、证明题（共30分）1.（15分）证明：若是次数不超过次的多项式，则的次拉格朗日插值多项式就是本身。证明：根据拉格朗日插值的余项公式，次拉格朗日插值多项式的余项为：，其中位于插值节点所构成区间的内部，。由于是次数不超过次的多项式，对求阶导数后，恒等于，因此对于任意，都有，即，因此，得证。2.（15分）证明：若线性方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，则求解该方程组的雅可比迭代法一定收敛。证明：雅可比迭代的迭代矩阵为，其中，为的对角矩阵，为的严格下三角矩阵取负得到，为的严格上三角矩阵取负得到，可逆，因此迭代矩阵存在。迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径，下面用反证法证明：假设，即存在至少一个特征值满足，根据特征值的定义，有，代入的表达式得：由于严格对角占优，的对角元都不为零，因此，因此可得。现在分析矩阵，的对角元为，非对角元为（），由于