2026年希望杯赛试题及答案

2026年希望杯赛试题及答案小学四年级希望杯一试试题（1）计算：2026×25+2026×12+2026×3答案：原式可提取公因式2026，得到2026×(25+12+3)=2026×40=81040，最终结果为81040。（2）已知a和b均为质数，且满足a+b=39，求a×b-a-b的值。答案：质数中除了2以外所有质数均为奇数，两个数相加和为奇数，说明必有一个质数是偶质数2，因此另一个质数为39-2=37，代入得a×b-a-b=2×37-2-37=74-39=35，最终结果为35。（3）希望小学四年级组织全体师生外出春游，参与春游的一共有168名学生和12名老师，学校计划从租车行租赁大巴和小巴两种车型，已知每辆大巴车最多可乘坐42人，每辆租金1200元；每辆小巴车最多可乘坐18人，每辆租金600元，若所有参与人员都有座位，请问本次租车最少需要花费多少租金？答案：首先计算两种车型的人均租金，大巴人均租金为1200÷42≈28.57元，小巴人均租金为600÷18≈33.33元，因此大巴的单位成本更低，优先选择大巴车，总人数为168+12=180人，若租4辆大巴，可承载4×42=168人，剩余12人需要租1辆小巴，总租金为4×1200+1×600=5400元；若租3辆大巴，可承载3×42=126人，剩余54人需要租3辆小巴，总租金为3×1200+3×600=5400元；若租5辆大巴可承载所有人员，总租金为5×1200=6000元，对比可知最少租金为5400元。（4）长方形ABCD被一条横向线段和一条纵向线段分为四个大小不等的小长方形，已知左上、右上、左下三个小长方形的面积分别为12、18、24，求右下小长方形的面积是多少。答案：根据长方形面积比例性质，同宽的两个长方形面积比等于长的比，因此左上面积比右上面积等于左下面积比右下面积，即12:18=24:S，解得S=(18×24)÷12=36，因此右下小长方形面积为36。（5）小明从家步行去往学校，如果每分钟走50米，就会迟到3分钟上课；如果每分钟走60米，就会提前2分钟到达学校，请问小明家到学校的距离是多少米？答案：设小明准时到校需要的时间为t分钟，根据距离相等列方程可得：50(t+3)=60(t-2)，展开得50t+150=60t-120，解得t=27，因此距离为50×(27+3)=50×30=1500米，最终距离为1500米。（6）解答题：有一串数按照1，1，2，3，5，8，13……的规律排列，即从第三个数开始每个数等于前两个数的和，请问前100个数中一共有多少个偶数？答案：根据数列排列规律，数字的奇偶性按照“奇数、奇数、偶数”的周期循环排列，每个周期长度为3，每个周期中有1个偶数，100÷3=33余1，余下的1个数是下一个周期的第一个数，为奇数，因此前100个数中一共有33个偶数。小学五年级希望杯一试试题（1）计算：答案：使用换元法简化计算，设，则原式可改写为，展开后得到，因此最终结果为。（2）一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余4，请问满足条件的最小自然数是多少？答案：先找出满足“除以3余2，除以5余3”的最小自然数，枚举可得最小为8，之后满足两个条件的数可以表示为8+15k（k为非负整数），依次代入验证：当k=0时，8÷7余1，不符合；k=1时，23÷7余2，不符合；k=2时，38÷7余3，不符合；k=3时，53÷7余4，符合条件，因此满足条件的最小自然数为53。（3）甲乙两个工程队合作修一条路，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要15天，两队同时开工，中间甲队休息了2天，乙队休息了若干天，最终一共用了8天完成全部工程，请问乙队休息了几天？答案：把总工程量看作单位1，甲队的效率为，乙队的效率为，甲队休息2天，因此甲队实际工作了8-2=6天，甲队完成的工程量为，剩余工程量为由乙队完成，乙队实际工作的天数为天，因此乙队休息的天数为8-6=2天，最终结果为2天。（4）一个长方体的长、宽、高均为整数厘米，它的体积为1296立方厘米，请问它的表面积最小是多少平方厘米？答案：对于体积一定的长方体，长、宽、高越接近，表面积越小。先对1296分解质因数可得，1296的三次方根约为10.9，因此我们找三个最接近10.9的因数乘积为1296，分解可得：9×12×12=1296，此时长、宽、高分别为9厘米、12厘米、12厘米，表面积为平方厘米；对比其他分解，例如8×9×18的表面积为平方厘米，6×12×18的表面积为792平方厘米，均大于720平方厘米，因此最小表面积为720平方厘米。（5）在1到200的所有自然数中，不能被2整除，也不能被3整除，还不能被5整除的数一共有多少个？答案：使用容斥原理计算，1到200中，能被2整除的数有100个，能被3整除的数有66个，能被5整除的数有40个；能同时被2和3整除即被6整除的有33个，能同时被2和5整除即被10整除的有20个，能同时被3和5整除即被15整除的有13个；能同时被2、3、5整除即被30整除的有6个，因此能被2或3或5整除的数一共有个，因此不能被这三个数整除的数有个，最终结果为54个。3.小学六年级希望杯一试试题（1）计算：答案：先将带分数化为假分数，，因此原式等于，最终结果为。（2）一件商品按照20%的利润率定价，之后又打八折出售，结果亏损了36元，请问这件商品的成本价是多少元？答案：设商品的成本价为x元，定价为，打八折后的售价为，根据亏损36元列方程得，解得，，因此成本价为900元。（3）甲乙两车分别从AB两地同时出发相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶50千米，两车到达对方出发地后立即原路返回，出发后5小时两车第二次相遇，请问AB两地的距离是多少千米？答案：第一次相遇两车一共走了1个全程，第二次相遇两车一共走了3个全程，5小时内两车一共行驶了千米，因此AB两地的距离为千米，最终距离为150千米。（4）正方形ABCD的边长为10厘米，以AB边为直径作一个半圆，以顶点C为圆心、CB边为半径作一个四分之一圆，求两个图形中不重叠部分的两个阴影区域的面积差（π取3.14）。答案：设半圆内的阴影面积为S1，四分之一圆内的阴影面积为S2，我们需要计算，将两个阴影都加上公共空白部分可得：半圆面积，半圆外空白正方形面积-四分之一圆面积，整理可得半圆面积+正方形面积-四分之一圆面积-正方形面积半圆面积-四分之一圆面积，代入计算得，绝对值为平方厘米，因此面积差为39.25平方厘米。（5）把100个苹果分给7个小朋友，要求每个小朋友分得的苹果数量都不相同，请问分得苹果最多的小朋友最少可以分得多少个苹果？答案：要让分得最多的小朋友苹果数量最少，就要让所有小朋友的苹果数量尽可能接近，100÷7≈14.28，因此我们从连续整数尝试，7个不同连续整数的和为，解得x≈17.28，若x=17，最大和为11+12+13+14+15+16+17=98<100，不满足要求；若x=18，调整后和为11+12+13+14+15+17+18=100，满足所有条件，因此分得最多的小朋友最少分得18个苹果。4.初中一年级希望杯一试试题（1）已知，求的值。答案：绝对值和平方数都具有非负性，两个非负数相加和为0，说明每个非负数都为0，因此，，解得，，因此，最终结果为。（2）已知，求的值。答案：先对等式两边平方得，因此，再对这个等式两边平方得，因此，最终结果为527。（3）一个角的补角比它的余角的3倍少20度，求这个角的度数。答案：设这个角的度数为x度，它的补角为(180-x)度，余角为(90-x)度，根据题意列方程得，展开得，整理得，解得x=35，因此这个角的度数为35度。（4）若关于x的不等式组一共有5个整数解，求a的取值范围。答案：分别解两个不等式，第一个不等式解得x>a，第二个不等式解得x<2，因此不等式组的解集为a<x<2，区间内一共有5个整数，从2往下数分别是1、0、-1、-2、-3，刚好5个整数，因此a需要满足-4≤a<-3，即a的取值范围是。（5）甲乙两人在400米的环形跑道上练习跑步，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，若两人同时同地同向出发，经过多少分钟第一次相遇？若同时同地反向出发，经过多少分钟第一次相遇？答案：同向出发时，第一次相遇甲比乙多跑了一圈，追及时间为分钟；反向出发时，第一次相遇两人一共跑了一圈，相遇时间为分钟，因此同向出发8分钟第一次相遇，反向出发分钟第一次相遇。（6）解答题：已知△ABC中，AB=AC，△ABC的周长为36，AB边上的中线将△ABC分为两个小三角形，两个小三角形的周长差为3，求△ABC的三边长。答案：设AB=AC=2x，BC=y，AB边上的中线为CD，D为AB中点，因此AD=BD=x，两个小三角形的周长分别为AC+AD+CD和BC+BD+CD，AD=BD，CD为公共边，因此周长差就是|AC-BC|=3，分两种情况讨论：第一种情况，AC-BC=3，即2x-y=3，结合周长4x+y=36，两式相加得6x=39，解得x=6.5，因此2x=13，y=10，三边长为13、13、10，满足三角形三边关系；第二种情况，BC-AC=3，即y-2x=3，结合周长4x+y=36，解得x=5.5，2x=11，y=14，三边长为11、11、14，也满足三角形三边关系，因此△ABC的三边长为13、13、10或11、11、14。5.初中二年级希望杯一试试题（1）已知x+y=8，xy=12，求和的值。答案：根据完全平方公式，，，因此，。（2）若分式的值为0，求x的取值。答案：分式的值为0需要满足分子为0且分母不为0，分子解得x=1或x=-1，分母x-1≠0，因此x≠1，所以x=-1。（3）直角三角形两条直角边的长度分别为3和4，求斜边上的高是多少。答案：根据勾股定理，斜边长为，直角三角形面积可以表示为，解得h=，因此斜边上的高为2.4。（4）证明：无论m取任何实数，关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根。答案：对于一元二次方程，判别式，对于二次函数，其判别式，且二次项系数5>0，因此y=5m^2-6m+9恒大于0，即原方程的判别