专题05 轴对称章末易错必刷题型专训（54题18个考点）2026秋人教版8上数学

专题05轴对称章末易错必刷题型专训（54题18个考点）【易错必刷一轴对称图形的识别】1．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）中国象棋历史悠久，起源于春秋战国时期，于北宋末年基本定型，是中华民族传统文化的重要组成部分及国家级非物质文化遗产．下列棋子图案是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图所示，其中与甲成轴对称的图形是___________．3．（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下列各种图形，分别判断是不是轴对称图形．【易错必刷二根据成轴对称图形的特征进行求解】4．（24-25七年级下·山西晋中·期末）已知为内一定点，点分别在的两边上，则下列图形中的周长最小的是（

）A． B．C． D．5．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）如图，若与关于直线对称，则的度数为______．6．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图所示的图案是一个轴对称图形（不考虑颜色），直线l是它的一条对称轴．已知圆的半径为r，求绿色部分的面积．【易错必刷三求对称轴条数】7．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）下列图形中，对称轴最多的是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．正方形8．（25-26八年级上·广东广州·期末）轴对称图形都有自己的对称轴，请你尝试写出：只有1条对称轴、只有3条对称轴、有无数条对称轴的平面图形名称________、________、________．9．（24-25八年级上·全国·课后作业）试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？【易错必刷四镜面对称】10．（2026·湖南岳阳·二模）一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（

）A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动11．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是____________．

12．（25-26八年级上·四川雅安·阶段检测）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上___________．【易错必刷五写出命题的逆命题】13．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（

）A．直角都相等 B．如果，那么C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补14．（25-26八年级上·河南商丘·期中）“直角相等”的逆命题是_________．15．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假．(1)长方形有两条对称轴．(2)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具．【易错必刷六线段垂直平分线的性质与判定】16．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的周长为（

）A． B． C． D．17．（25-26八年级上·北京大兴·期中）如图，点O是内一点，且，则点O是___________的交点．

18．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且．求证：点一定在的垂直平分线上．【易错必刷七作已知线段的垂直平分线】19．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形三条边距离相等的点是（

）A． B．C． D．20．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，直线是斜边的垂直平分线交于．若，，则的周长为_______

21．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示．为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点P．要求点P到村庄A，B，C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置（保留作图痕迹）．【易错必刷八作垂线（尺规作图）】22．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（）A．13 B．14 C．15 D．1623．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图，根据尺规作图痕迹与标记的数据，计算的长为____________．24．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知的三边长是a、b、c，周长为m，其中，．(1)则a的取值范围是；m的取值范围是．(2)如图，请用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过顶点A，并且与边平行．A【易错必刷九画轴对称图形】25．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在如图所示的方格纸中，的顶点均在方格纸的格点上，则在方格纸中与成轴对称的格点三角形共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个26．（25-26八年级上·北京·期中）如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请在下图中补全图形，并思考可能的位置有种．（请在图中利用阴影标出）27．（25-26八年级上·云南红河·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．(1)画出关于y轴成轴对称的，直接写出点的坐标；(2)请在x轴上找一点P，使得最小．（在图中标出点P，不写作法，保留作图痕迹）【易错必刷十坐标与图形变化——轴对称】28．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）已知平面镜中的像与物体关于平面镜对称．如图，以水平地面为x轴，竖直放置的平面镜为y轴建立平面直角坐标系．若物体A的坐标是，此时对应的像的坐标为（

）A． B． C． D．29．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知P点坐标为，则点P关于y轴的对称点的坐标是________．30．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．(1)画出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点；(2)在（1）的条件下，写出点的坐标．【易错必刷十一等边对等角】31．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（

）A． B． C． D．32．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，为中线，，则______．33．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E在上，且，若，求的度数．【易错必刷十二三线合一】

34．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，于点D，若，则的长为（）A． B． C． D．35．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是________．36．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．【易错必刷十三根据等角对等边证明边相等】37．（2026·山东淄博·二模）如图，，点E在上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若，则下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．38．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，点D是上一点，连接，，，则长是_____．

39．（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EFAC交AB于F，试说明AF=BF．【易错必刷十四含30度角的直角三角形】40．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，，，是高，若，则的长为（

）A．16 B．14 C．10 D．1241．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，中，，，，点是的中点，交于，则________．42．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行、10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东60°方向．(1)求处到灯塔的距离；(2)已知在以灯塔为中心，周围14海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．【易错必刷十五等腰三角形的性质和判定】43．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（

）A．5 B．5或8 C． D．4或44．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，，，平分，，则的长为______．

45．（2026·广东湛江·模拟预测）如图，把一个含有角的直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，其中点的对应点为点，连接．(1)是_____三角形，的度数是_____(2)若，求的面积．【易错必刷十六等边三角形的判定和性质】46．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，，点，分别在，上，且，连接，，交于点，连接，则下列结论错误的是（

）A． B．C．平分 D．若点为的中点，则47．（25-26七年级下·全国·期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接；以下四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论是_____________（填序号）．48．（25-26八年级上·云南昆明·期末）小官同学在学完等腰三角形后发现一个有趣的现象：若与是等腰三角形，，，且，连接交于点O．当与处于不同位置时总有．

【探究规律】（1）你认同小官同学的发现吗？如果认同，请以图1为例，证明结论；若不认同，请说明理由．（2）你还有其他的发现吗？请写出结论，简述理由．【应用规律】（3）如图2，在等边中，M是上一点，N是上一动点，以为边作等边，连接，猜想与之间的数量关系为_______．【易错必刷十七轴对称折叠问题】49．（25-26八年级上·河北唐山·期中）按下列步骤操作，把沿折叠，若，则的度数（

）A． B． C． D．50．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在正方形中，点E、F分别是上的动点，沿折叠，点B、D折叠后的对应点分别为．若，则的度数为____________（用含α的式子表示）．51．（25-26七年级下·河南南阳·期末）数学活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．

(1)如图1，是正方形的边上一点，将沿对折，点落在点的位置．然后折叠，使与重合，显然点、、在一条直线上．则①图中的全等三角形有______，②______，线段、、的数量关系是______．(2)如图2，是正方形的边延长线上一点，将沿对折，点落在点的位置．然后折叠，使与重合，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立．说明理由．若不成立，新的结论是什么，说明理由．

【易错必刷十八轴对称综合应用】52．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连接交于，交于，若的周长为20，则长为（

）A．10 B．12 C．20 D．无法确定53．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上．(1)画出ABC关于直线l的轴对称图形．(2)连接、，则的面积为54．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，每个小正方形的顶点称为格点，例如图中点、仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图并回答问题：（1）作出线段关于y轴对称的线段，并写出点B的对应点D的坐标是（________）；（2）过点A作一直线l，使得线段（保留画图过程的痕迹）；（3）在x轴上找点M，使（保留画图过程的痕迹）．专题05轴对称章末易错必刷题型专训（54题18个考点）【易错必刷一轴对称图形的识别】1．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）中国象棋历史悠久，起源于春秋战国时期，于北宋末年基本定型，是中华民族传统文化的重要组成部分及国家级非物质文化遗产．下列棋子图案是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意；B、是轴对称图形，故B选项符合题意；C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故D选项不符合题意．2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图所示，其中与甲成轴对称的图形是___________．【答案】丁【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行判断即可．【详解】解：观察图形可知与甲成轴对称的图形是丁，故答案为：丁．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．3．（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下列各种图形，分别判断是不是轴对称图形．【答案】①⑥⑧⑨⑪是轴对称图形，②③④⑤⑦⑩⑫不是轴对称图形【分析】根据轴对称图形的特征进行判定即可得解．【详解】略．【易错必刷二根据成轴对称图形的特征进行求解】4．（24-25七年级下·山西晋中·期末）已知为内一定点，点分别在的两边上，则下列图形中的周长最小的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此题主要考查轴对称的性质与周长的定义．根据轴对称图形与三角形的周长定义即可求解．【详解】解：D图中，三角形的周长，为一条线段，故为最小，其他三个选项均不是最小周长．故选：D．5．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）如图，若与关于直线对称，则的度数为______．【答案】/30度【分析】本题考查成轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据成轴对称的两条图形的对应角相等，即可求解．【详解】解：∵与关于直线对称，∴，故答案为：．6．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图所示的图案是一个轴对称图形（不考虑颜色），直线l是它的一条对称轴．已知圆的半径为r，求绿色部分的面积．【答案】【分析】根据轴对称的性质可得出绿色部分的面积为大圆面积的一半．【详解】解：根据轴对称的性质可得：绿色部分面积为大圆面积的一半，∴．【点睛】本题考查了轴对称的性质，注意运用转化思想将绿色部分的面积转化到一个半圆上去．【易错必刷三求对称轴条数】7．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）下列图形中，对称轴最多的是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．正方形【答案】D【分析】本题考查了对称轴的定义，根据对称轴的定义解答即可求解，掌握对称轴的定义是解题的关键．【详解】解：等腰三角形有条对称轴，等边三角形有条对称轴，长方形有条对称轴，正方形有条对称轴，∴对称轴最多的是正方形，故选：．8．（25-26八年级上·广东广州·期末）轴对称图形都有自己的对称轴，请你尝试写出：只有1条对称轴、只有3条对称轴、有无数条对称轴的平面图形名称________、________、________．【答案】等腰三角形（答案不唯一）等边三角形（答案不唯一）圆（答案不唯一）【分析】根据轴对称图形的定义和常见的平面图形判断填空即可．【详解】等腰三角形只有1条对称轴、等边三角形只有3条对称轴、圆有无数条对称轴．故答案为：等腰三角形（答案不唯一），等边三角形（答案不唯一），圆（答案不唯一）．【点睛】本题考查轴对称图形的定义和求对称轴条数．掌握轴对称图形沿对称轴折叠后可重合是解题关键．9．（24-25八年级上·全国·课后作业）试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？【答案】3条，4条，5条，6条，8条；一个正n边形有n条对称轴．【分析】根据图形的性质，分别找出对称轴的条数【详解】正三角形的对称轴为三条高线所在的直线，共3条对称轴，正方形的对称轴为两条对角线所在的直线，和两条对边中点连线所在的直线，共4条对称轴，正五边形的对称轴为各边中点与其所对的角的顶点的连线所在的直线，共5个顶点，则共5条对称轴，正六边形的对称轴与正方形的类似，3条对角线所在的直线，和3条对边中点连线所在的直线，共6条对称轴，正八边形的对称轴与正方形，正六边形的类似，4条对角线所在的直线，和4条对边中点连线所在的直线，共8条对称轴，一般地，一个正n边形有n条对称轴．【点睛】本题考查了正多边形的对称轴的条数，理解轴对称的性质是解题的关键．【易错必刷四镜面对称】10．（2026·湖南岳阳·二模）一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（

）A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动【答案】A【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动．故选：A．11．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是____________．

【答案】【分析】根据镜面对称的特征，可得出镜中数字是1，2，5，8，0时真正的数字是几，进而解决问题．【详解】解：根据镜面对称的特征可知，1和1对称，2和5对称，0和0对称，8和8对称，且“+”和“=”的对称图形仍然是本身．所以真正的火柴算式是：．故答案为：．【点睛】本题考查镜面对称，熟知数字0，1，2，5，8及“+”和“=”的对称图形是解题的关键．12．（25-26八年级上·四川雅安·阶段检测）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上___________．【答案】【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质进行判定即可求解．【详解】解：根据轴对称图形的性质，如图所示，∴该车的后5位号码实际上，故答案为：．【易错必刷五写出命题的逆命题】13．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（

）A．直角都相等 B．如果，那么C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补【答案】D【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意；B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意；C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意；D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意；故选：D．14．（25-26八年级上·河南商丘·期中）“直角相等”的逆命题是_________．【答案】相等的角是直角【分析】本题考查命题的概念，正确理解各类型命题的概念是解题的关键．根据逆命题的概念，交换原命题的题设和结论即可得到逆命题．【详解】解：原命题“直角相等”即“所有直角都相等”，其题设为“角是直角”，结论为“角相等”．交换题设和结论后，得逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”，即“相等的角是直角”．故答案为：相等的角是直角．15．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假．(1)长方形有两条对称轴．(2)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具．【答案】(1)逆命题是“有两条对称轴的四边形是长方形”，这是假命题(2)逆命题是“高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车”，这是假命题【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】（1）解：命题“长方形有两条对称轴”的逆命题是“有两条对称轴的图形是长方形”，这是假命题；（2）解：命题“磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具”的逆命题是“高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车”，这是假命题．【点睛】本题主要考查了写出原命题的逆命题，判断命题真假，正确写出原命题的逆命题是解题的关键．【易错必刷六线段垂直平分线的性质与判定】16．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，然后根据等量代换进行求解即可．【详解】解：∵垂直平分线段，∴，∴，∴的周长为，故选：B．17．（25-26八年级上·北京大兴·期中）如图，点O是内一点，且，则点O是___________的交点．

【答案】三边的垂直平分线【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，即可得出结论【详解】∵，∴点O是三边的垂直平分线的交点；故答案为：三边的垂直平分线．【点睛】本题考查垂直平分线的判定．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，是解题的关键．18．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且．求证：点一定在的垂直平分线上．【答案】连接，∵的垂直平分线与的垂直平分线交于点，∴，∵，∴，∴点一定在的垂直平分线上．【分析】题目主要考查垂直平分线的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的判定和性质是解题关键．连接，根据垂直平分线的性质得出，再由等量代换得出，即可证明．【详解】解：略．【易错必刷七作已知线段的垂直平分线】19．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形三条边距离相等的点是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据角平分线上的点到该角的两边的距离相等可得到三角形三边距离相等的点为该三角形三个内角的角平分线的交点，据此可得答案．【详解】解：∵到三角形三边距离相等的点为该三角形三个内角的角平分线的交点，∴由作图方法可知，只有B选项中的图形满足题意．20．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，直线是斜边的垂直平分线交于．若，，则的周长为_______

【答案】【分析】根据垂直平分线的性质可得，由此可得的周长为，由此即可求解．【详解】解：∵直线是斜边的垂直平分线，∴，∵的周长为，∴的周长为，故答案为：．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．21．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示．为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点P．要求点P到村庄A，B，C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置（保留作图痕迹）．【答案】解：点P的位置如图所示：【分析】本题考查了垂直平分线的性质，垂直平分线的尺规作图，先连接，根据点P到村庄A，B，C的距离都相等，得出点是在的垂直平分线的交点上，故分别作出的垂直平分线，其交点即为点．【详解】略【易错必刷八作垂线（尺规作图）】22．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】A【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线，∴，∵，∴的周长为：，故选：A．23．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图，根据尺规作图痕迹与标记的数据，计算的长为____________．【答案】2【分析】本题考查基本作图—作垂线，含30度角的直角三角形的性质，根据作图可知，垂直平分，利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．【详解】解：由图可知：垂直平分，，∴，∵，∴，∴；故答案为：2．24．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知的三边长是a、b、c，周长为m，其中，．(1)则a的取值范围是；m的取值范围是．(2)如图，请用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过顶点A，并且与边平行．【答案】(1)；(2)解：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、，以点为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，以点为圆心，为半径作弧，与上一步所作的弧相交于点，过点作直线，则直线就是过顶点A并且与边平行的直线．【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键．（1）根据两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，进行计算求解即可；（2）根据尺规作图的步骤，作出一条直线过顶点A，并且与边平行即可．【详解】（1）解：根据三角形的定义得：，由于，，则三角形的周长为：，即，故答案为：，；（2）略【易错必刷九画轴对称图形】25．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在如图所示的方格纸中，的顶点均在方格纸的格点上，则在方格纸中与成轴对称的格点三角形共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据轴对称的性质画出格点三角形即可求解．【详解】如解图所示，与成轴对称且顶点在格点上的三角形共有3个．故选：C【点睛】本题考查了画轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．26．（25-26八年级上·北京·期中）如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请在下图中补全图形，并思考可能的位置有种．（请在图中利用阴影标出）【答案】4，如下图所示：【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．【详解】解：根据题意可得可能的位置有4种，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．27．（25-26八年级上·云南红河·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．(1)画出关于y轴成轴对称的，直接写出点的坐标；(2)请在x轴上找一点P，使得最小．（在图中标出点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】(1)如图所示，即为所求，则点的坐标为；(2)如图所示，点P即为所求．【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—轴对称，轴对称—最短路径问题，熟知轴对称的相关知识是解题的关键．（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可；（2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时，由两点之间，线段最短可知，此时点P即为所求．【详解】（1）解：略；（2）解：略．【易错必刷十坐标与图形变化——轴对称】28．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）已知平面镜中的像与物体关于平面镜对称．如图，以水平地面为x轴，竖直放置的平面镜为y轴建立平面直角坐标系．若物体A的坐标是，此时对应的像的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据点关于y轴对称点为即可求解．【详解】解：点关于y轴对称点为，．29．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知P点坐标为，则点P关于y轴的对称点的坐标是________．【答案】【分析】本题考查了轴对称的性质，根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，代入已知点坐标求解即可．【详解】解：∵P点坐标为，则其关于y轴的对称点的横坐标为，纵坐标为，∴的坐标是，故答案为：．30．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．(1)画出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点；(2)在（1）的条件下，写出点的坐标．【答案】(1)如图，即为所求；(2)，【分析】（1）根据轴对称的性质，画图即可；（2）根据点的位置，写出点的坐标即可．【详解】（1）略（2）解：由图可知：，．【易错必刷十一等边对等角】31．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解图示是关键，根据线段垂直平分线的性质，等边对等角求解即可．【详解】解：根据题意，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，∴，∴，故A，B选项正确，不符合题意；与不一定相等，故C选项错误，符合题意；∵，∴D选项正确，不符合题意；故选：C．32．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，为中线，，则______．【答案】20【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余．先根据等腰三角形的性质可得，再由等腰三角形“三线合一”可得，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵为中线，∴，即，∴．故答案为：2033．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E在上，且，若，求的度数．【答案】【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，是解题的关键．利用等边对等角，三线合一和三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∵点D为的中点，∴，即，∴，∵，∴，∴．【易错必刷十二三线合一】

34．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，于点D，若，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解【详解】解：∵于点D，∴故选：B.35．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是________．【答案】等腰三角形三线合一【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．【详解】解：∵，，∴，故样操作的数学依据是等腰三角形三线合一，故答案为：等腰三角形三线合一．36．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．【答案】25°【分析】由题意知，，根据等边对等角，三角形内角和定理求出的值，进而可求出的值．【详解】解：∵，AD是中线，∴，∵∴∴∴的值为25°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质．【易错必刷十三根据等角对等边证明边相等】37．（2026·山东淄博·二模）如图，，点E在上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若，则下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据全等三角形的性质得到，，则，由于，则，则，由此即可得到答案．【详解】解：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴四个选项中只有C选项符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．38．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，点D是上一点，连接，，，则长是_____．

【答案】【分析】由直角三角形两锐角互余可得，然后根据角的和差得到，从而得到，最后根据等角对等边可得即可解答．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等角对等边的性质是解题的关键．39．（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EFAC交AB于F，试说明AF=BF．【答案】见解析【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，再根据等角对等边可得AF=FE，根据垂直定义和直角三角形两锐角互余和可得∠3+5=90°，∠1+∠4=90°，从而求出∠4=∠5，再根等角对等边可得FB=FE，等量代换即可得到结论．【详解】解：如图，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵EFAC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AF=FE，∵BE⊥AD，∴∠3+5=90°，∠1+∠4=90°，∴∠4=∠5，∴FE=FB，∴AF=BF．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，以及直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．【易错必刷十四含30度角的直角三角形】40．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，，，是高，若，则的长为（

）A．16 B．14 C．10 D．12【答案】D【分析】本题考查含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质求出、的长度，即可得出结果．【详解】解：，，，∴，，∵是高，∴，∴，∴，故选：D．41．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，中，，，，点是的中点，交于，则________．【答案】2【分析】本题考查了含的直角三角形性质及应用．根据，，，可得，再由点是的中点，求得，在直角三角形中，由即可求得．【详解】解：，，，点是的中点，，∵，．故答案为：2．42．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行、10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东60°方向．(1)求处到灯塔的距离；(2)已知在以灯塔为中心，周围14海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．【答案】(1)30海里(2)不会有触礁的危险，理由如下：过作交的延长线于点，，（海里），（海里），若这条船继续由西向东航行不会有触礁的危险．【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的判定即可得到结论；（2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：根据题意得，，（海里），，，（海里），答：处到灯塔的距离为30海里；（2）略【易错必刷十五等腰三角形的性质和判定】43．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（

）A．5 B．5或8 C． D．4或【答案】B【分析】此题考查了等腰三角形的定义，等边对等角，解题的关键是分情况讨论．根据题意分情况讨论，分别根据等腰三角形的定义求解即可．【详解】解：∵在中，，，，根据题意得，，①当时，，②当时，∴，∵，，∴，∴，∴；③若时，点P在延长线上，不符合题意．综上所述，t的值是5或8．故选：B．44．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，，，平分，，则的长为______．

【答案】【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握含角直角三角形中斜边与直角边的关系是解题的关键．由已知可求得，根据直角三角形的性质可得，根据等角对等边可得，再结合，即可得解．【详解】解：，，，平分，，，又，，，，，（）故答案为：．45．（2026·广东湛江·模拟预测）如图，把一个含有角的直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，其中点的对应点为点，连接．(1)是_____三角形，的度数是_____(2)若，求的面积．【答案】(1)等腰，(2)的面积．【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．（1）由旋转，得到，即可得到是等腰三角形，再利用三角形的外角性质可求得的度数；（2）求得中边上的高，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：∵旋转，∴，，∴是等腰三角形，；故答案为：等腰，；（2）解：作于点，∵，，∴，∴的面积．【易错必刷十六等边三角形的判定和性质】46．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，，点，分别在，上，且，连接，，交于点，连接，则下列结论错误的是（

）A． B．C．平分 D．若点为的中点，则【答案】D【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的性质和判定，熟练掌握灵活选择方法证明两个三角形全等是解题关键．根据全等三角形的性质和判定分别证明、、即可判断选项A、B、C正确．连接，结合等腰三角形的性质、等边三角形的性质“三线合一”——顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合即可判断选项D缺乏条件支持．【详解】解：在和中，，．A正确，但不符合题意；，，，，在和中，，．B正确，但不符合题意；在和中，，，平分．C正确，但不符合题意；如图：连接，若点为的中点且，则需（等腰三角形的性质“三线合一”）或（或或，等边三角形的性质“三线合一”），题干和推论缺乏此条件．D错误，但符合题意．故选：D．47．（25-26七年级下·全国·期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接；以下四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论是_____________（填序号）．【答案】①②④【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定．熟练掌握等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定是解题的关键．证明，得出即可判断①正确；证明，得出，根据，得出为等边三角形，得出，即可判断②正确；根据，，结合三角形内角和定理得出，即可判断③错误；根据可得：，根据，证明，即可判断④正确．【详解】解：①等边和等边，，，，，即，∴，，故正确；②∵，∴，∵，，∴，∵，∴，，又，∴为等边三角形，，，故正确；③，且，，，故错误；④由可得：，，，则，，故④正确；所以正确的结论有三个：．故答案为：．48．（25-26八年级上·云南昆明·期末）小官同学在学完等腰三角形后发现一个有趣的现象：若与是等腰三角形，，，且，连接交于点O．当与处于不同位置时总有．

【探究规律】（1）你认同小官同学的发现吗？如果认同，请以图1为例，证明结论；若不认同，请说明理由．（2）你还有其他的发现吗？请写出结论，简述理由．【应用规律】（3）如图2，在等边中，M是上一点，N是上一动点，以为边作等边，连接，猜想与之间的数量关系为_______．【答案】（1）认同，证明：，，，在与中，，，；（2），证明：如图1，设，交于，

由（1）知，，，，；（3）；理由：在上截取，如图2所示：

是等边三角形，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，，故答案为：．【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、作辅助线构建等边三角形是解题的关键．（1）根据已知条件得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）如图1，设，交于，根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论；（3）在上截取，如图2所示：根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）略（2）略（3）略【易错必刷十七轴对称折叠问题】49．（25-26八年级上·河北唐山·期中）按下列步骤操作，把沿折叠，若，则的度数（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质，根据