2026年九年级数学第四十五章数学竞赛备考习题

2026年九年级数学第四十五章数学竞赛备考习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x=1时的最小值为3，则实数a的值为（）A.-1或3B.1或5C.-3或1D.2或4解析：f(x)在x=1时取得最小值，说明对称轴x=a=1，代入f(1)=3得1-2a+a²+1=3，解得a=1或a=-1，选项B正确。2.若关于x的方程x²+px+q=0的两个实根的差的平方等于4，则p²+q²的最小值为（）A.2B.4C.8D.16解析：设两根为x₁、x₂，则(x₁-x₂)²=4，即p²-4q=4，p²+q²≥2√(p²q²)=2√(q²+4q+4)=8，当q=2时取等，选项C正确。3.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，则∠C的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：由余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2，得C=60°，选项C正确。4.已知点P(x,y)在圆(x-1)²+(y+2)²=4上运动，则|y|的最小值为（）A.-2B.0C.2D.3解析：圆心(1,-2)到x轴距离为2，半径为2，|y|的最小值为-2-2=-4，但y=-2时|y|=2，选项C正确。5.若数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=2n²-3n+5，则a₅+a₆+a₇+a₈+a₉的值为（）A.100B.105C.110D.115解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=4n-5，累加得a₅~a₉的和为(4×5-5)+(4×6-5)+…+(4×9-5)=4×(5+6+…+9)-25=4×45-25=110，选项C正确。6.在直角坐标系中，将抛物线y=x²向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得抛物线的解析式为（）A.y=(x+2)²+3B.y=(x-2)²+3C.y=(x+2)²-3D.y=(x-2)²-3解析：平移后解析式为y=(x+2)²+3，选项A正确。7.若实数x满足x²+2x-3≥0且|x|≤4，则x的取值范围是（）A.[-4,-3]∪[3,4]B.[-4,-1]∪[1,4]C.[-3,-1]∪[1,3]D.[-4,1]∪[3,4]解析：x²+2x-3≥0解得x≤-3或x≥1，|x|≤4得-4≤x≤4，取交集得-4≤x≤-3或1≤x≤4，选项A正确。8.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₁=S₃，则公差d的值为（）A.0B.1C.-1D.无法确定解析：S₁=a₁，S₃=3a₁+3d，S₁=S₃得a₁=3a₁+3d，解得d=-a₁/3，若a₁=0则d=0，若a₁≠0则d≠0，无法确定，选项D正确。9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinA•sinB•sinC的值为（）A.3/16B.1/8C.3/32D.1/4解析：由余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=3/4，得sinC=√7/4，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=3/5，sinA=2√2/5，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=4/5，sinB=3√2/5，sinA•sinB•sinC=(2√2/5)×(3√2/5)×(√7/4)=3√7/50，选项无正确答案，题目有误。10.若函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为（）A.8B.10C.12D.14解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=5，最大值5，最小值-3，差为8，选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若x²-2x+1=(x+a)²，则实数a的值为______。参考答案：0解析：展开(x+a)²=x²+2ax+a²，比较系数得2a=-2，a²=1，解得a=-1或a=1，但2a=-2需a=-1，矛盾，故a=0。2.在△ABC中，若sinA=√3/2，cosB=1/2，则cos(A-B)的值为______。参考答案：1解析：A为60°，B为60°，cos(A-B)=cos0°=1。3.若数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₅的值为______。参考答案：31解析：a₂=3，a₃=7，a₄=15，a₅=31。4.抛物线y=2x²-4x+1的顶点坐标为______。参考答案：(1,-1)解析：顶点x=-b/(2a)=2，y=2×1²-4×1+1=-1。5.若关于x的方程x²+px+q=0有两个相等的实根，则p²-4q的值为______。参考答案：0解析：Δ=p²-4q=0。6.在直角坐标系中，点A(1,2)关于y轴对称的点的坐标为______。参考答案：(-1,2)解析：横坐标变号，纵坐标不变。7.若等比数列{bₙ}的前n项和为Sₙ=2^(n+1)-2，则公比q的值为______。参考答案：2解析：b₁=S₁=4，b₂=S₂-S₁=8-4=4，q=b₂/b₁=2。8.若函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为______。参考答案：3解析：分段函数f(x)在x=-2时取最小值3。9.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，则cosA的值为______。参考答案：3/8解析：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(49+64-25)/(2×7×8)=88/112=3/8。10.若函数f(x)=x²-2x+3在区间[1,3]上的最大值为______。参考答案：6解析：f(1)=2，f(3)=6，最大值6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a²>b²，这个命题是真命题。参考答案：假解析：反例a=1，b=-2，a>b但a²=1<b²=4。2.在等差数列{aₙ}中，若a₁+aₙ=0，则Sₙ=0。参考答案：真解析：aₙ=-a₁，Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=0。3.若函数f(x)是奇函数，则f(x)的图像关于原点对称。参考答案：真解析：奇函数定义f(-x)=-f(x)。4.在△ABC中，若a²=b²+c²，则△ABC是直角三角形。参考答案：真解析：勾股定理逆定理。5.若关于x的方程x²+px+q=0有两个不相等的实根，则Δ=p²-4q>0。参考答案：真解析：判别式Δ>0。6.若数列{aₙ}是等比数列，则aₙ/aₙ₋₁为常数。参考答案：真解析：等比数列定义。7.在直角坐标系中，点A(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。参考答案：真解析：纵坐标变号。8.若函数f(x)=x²-4x+4的图像是抛物线，则它的开口向上。参考答案：真解析：a=1>0。9.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则△ABC是钝角三角形。参考答案：假解析：cosC=(3²+4²-5²)/(2×3×4)=0，C=90°，是直角三角形。10.若函数f(x)=x³在R上单调递增，则f(x)是奇函数。参考答案：真解析：f(-x)=-f(x)且f'(x)=3x²≥0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x²-px+q，若f(1)=0且f(2)>0，求p、q的取值范围。解：f(1)=1-p+q=0，得p=q+1，f(2)=4-2p+q>0，代入p=q+1得4-2(q+1)+q>0，解得q<2，p=q+1<3，取值范围p∈(-∞,3),q∈(-∞,2)。2.在△ABC中，若a=3，b=5，C=60°，求c的值。解：由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=9+25-2×3×5×1/2=19，c=√19。3.若数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=n²+n，求a₅的值。解：a₅=S₅-S₄=25+5-(16+4)=10。4.求函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值。解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，最大值2，最小值-2。5.若函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。解：分段函数f(x)在x=-2时取最小值3。6.在等比数列{bₙ}中，若b₁=2，b₄=16，求公比q。解：b₄=b₁q³，16=2q³，q=2。7.若关于x的方程x²+px+q=0有两个不相等的实根，且两根之差为2，求p²+q²的值。解：设两根为x₁、x₂，x₁-x₂=2，Δ=p²-4q>0，(x₁+x₂)²-4x₁x₂=4，p²-4q=4，p²+q²≥2√(p²q²)=8，最小值8。8.在直角坐标系中，将点A(1,2)先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求新坐标。解：新坐标为(4,0)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，求cosA和cosB的值。解：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(49+64-25)/(2×7×8)=3/8，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(25+64-49)/(2×5×8)=5/8。2.若数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-n，求a₅+a₆+a₇+a₈+a₉的值。解：a₅~a₉=S₉-S₄=243-40=203。3.求函数f(x)=x²-4x+3在区间[-1,3]上的最大值与最小值。解：f'(-1)=6，f'(3)=-6，f(-1)=8，f(3)=0，最大值8，最小值0。4.在等差数列{aₙ}中，若a₁=2，d=3，求S₁₀的值。解：S₁₀=10×2+3×(10×9)/2=155。5.若函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。解：分段函数f(x)在x=-2时取最小值3。6.在直角坐标系中，将抛物线y=x²向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，求新抛物线的解析式。解：新解析式为y=(x+2)²+3。7.若关于x的方程x²+px+q=0有两个不相等的实根，且两根之和为4，求p的值。解：x₁+x₂=-p=4，p=-4。8.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，求sinA、sinB、sinC的值。解：sinA=a/5=3/5，sinB=b/5=4/5，sinC=c/5=1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.C4.C5.C6.A7.A8.D9.无正确选项10.A解析：9题计算错误，sinA•sinB•sinC=(3/5)×(4/5)×(1)=12/25，选项无正确答案。二、填空题1.02.13.314.(1,-1)5.06.(-1,2)7.28.39.3/810.6三、判断题1.假2.真3.真4.真5.真6.真7.真8.真9.假10.真四、简答题1.p∈(-∞,3),q