2026年湖南省湘教版高二数学第五章课后练习题

2026年湖南省湘教版高二数学第五章课后练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3n+2C.2n+1D.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若函数f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(0,1)∪(1,+∞)解析：对数函数f(x)=log_a(x+1)单调性与底数a的关系为：当a>1时单调递增，0<a<1时单调递减。由题意需0<a<1，故选A。3.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，边BC=6，则边AC的长度为（）A.3√2B.3√3C.6√2D.6√3解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入a=6，A=45°，B=60°可得6/sin45°=AC/sin60°，解得AC=6×√3/2÷√2/2=3√6。选项无正确答案，需修正题目数据。4.已知圆O的方程为(x-2)²+(y+1)²=16，则点P(1,2)到圆O的切线长为（）A.√15B.3C.4D.√17解析：圆心O(2,-1)，半径r=4，点P到圆心距离|OP|=√[(1-2)²+(2+1)²]=√10，切线长l=√(|OP|²-r²)=√(10-16)=-√6。选项无正确答案，需修正题目数据。5.若复数z满足z²=1+i，则z的实部为（）A.√2/2B.-√2/2C.1D.-1解析：设z=a+bi，则(a+bi)²=1+i，展开得a²-b²+2abi=1+i，由实部虚部分别相等得a²-b²=1，2ab=1，解得a=√2/2，b=√2/4。实部为√2/2，故选A。6.在等比数列{b_n}中，已知b_3=8，b_5=32，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.64C.127D.128解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_3=8，b_5=32可得32=8q²，解得q=2，b_1=2。前6项和S_6=2(1-2^6)/(1-2)=126，故选C。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)={-2x-1|x<-2，3|x=-2，2x+1|x>-2，最小值为3，故选C。8.在直角坐标系中，曲线y=√(1-x²)的图形是（）A.圆的一部分B.半圆C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分解析：方程可变形为x²+y²=1(y≥0)，表示单位圆上半部分，故选B。9.已知向量a=(1,2)，b=(-3,4)，则向量a+b的模长为（）A.√5B.5√2C.√25D.10解析：a+b=(-2,6)，模长|a+b|=√((-2)²+6²)=√40=2√10，故选B。10.若函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m等于（）A.8B.10C.12D.14解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-1，f(-1)=2，f(1)=-1，f(2)=0，M=2，m=-1，M-m=3，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知等差数列{a_n}中，a_4+a_7=16，则a_5+a_6=______解：a_4+a_7=2a_1+9d=16，a_5+a_6=2a_1+10d=2(a_4+a_7)/2=16，参考答案：16。2.函数f(x)=2^x在区间[-1,1]上的值域是______解：f(-1)=1/2，f(1)=2，值域为[1/2,2]，参考答案：[1/2,2]。3.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边BC=√2，则边AC=______解：由正弦定理AC=BC×sinB/sinA=√2×√2/2÷1/2=2，参考答案：2。4.圆(x-3)²+(y+2)²=25的圆心坐标是______解：圆心为(3,-2)，参考答案：(3,-2)。5.若复数z=1+i，则z²的虚部是______解：z²=2i，虚部为2，参考答案：2。6.等比数列{b_n}中，b_2=2，b_4=8，则b_3=______解：b_4=b_2q²，q=2，b_3=b_2q=4，参考答案：4。7.函数f(x)=sin(x+π/4)的最小正周期是______解：周期T=2π，参考答案：2π。8.在直角坐标系中，点(1,2)关于y轴对称的点的坐标是______解：(-1,2)，参考答案：(-1,2)。9.已知向量a=(3,0)，b=(0,4)，则向量a+b的坐标是______解：(3,4)，参考答案：(3,4)。10.函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上的最大值是______解：f(1)=-2，f(3)=-3，最大值为-2，参考答案：-2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a²>b²，该命题正确吗？______解：错误，如a=-2，b=-1，a>b但a²<b²，参考答案：×。2.函数f(x)=cos(x+π/2)的图像与y轴对称，该命题正确吗？______解：f(-x)=cos(-x+π/2)=sinx=f(x)，为偶函数，图像关于y轴对称，参考答案：√。3.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=10，则a_5=5，该命题正确吗？______解：a_1+a_9=2a_1+8d=10，a_5=a_1+4d=5，参考答案：√。4.若复数z满足z²=1，则z=±1，该命题正确吗？______解：z=±1或z=±i，参考答案：×。5.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的值域是[0,1]，该命题正确吗？______解：正确，参考答案：√。6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=75°，该命题正确吗？______解：角C=180°-60°-45°=75°，参考答案：√。7.圆(x-1)²+(y+1)²=9的圆心到原点的距离是3，该命题正确吗？______解：圆心(1,-1)，距离√(1²+(-1)²)=√2≠3，参考答案：×。8.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，则a+b=(4,6)，该命题正确吗？______解：正确，参考答案：√。9.函数f(x)=x³在R上单调递增，该命题正确吗？______解：f'(x)=3x²≥0，严格单调递增，参考答案：√。10.在等比数列{b_n}中，若b_2=2，b_3=4，则公比q=2，该命题正确吗？______解：q=b_3/b_2=4/2=2，参考答案：√。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，求该数列的通项公式。解：a_n=a_1+(n-1)d，由a_5=a_1+4d=10得d=2，故a_n=2+(n-1)×2=2n。2.函数f(x)=log_2(x-1)的定义域是什么？解：x-1>0，x>1，定义域为(1,+∞)。3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=6，求边BC的长度。解：由正弦定理BC=AC×sinB/sinA=6×√2/2÷√3/2=2√6。4.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取值范围。解：分段函数f(x)={-2x-1|x<-2，3|x=-2，2x+1|x>-2，最小值为3，值域为[3,+∞)。5.已知复数z=3-4i，求z的模长。解：|z|=√(3²+(-4)²)=5。6.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，求该数列的前4项和。解：q=b_4/b_1=16，S_4=1(1-q^4)/(1-q)=31。7.求函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期。解：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。8.已知向量a=(2,3)，b=(-1,4)，求向量a-b的坐标及模长。解：a-b=(3,-1)，|a-b|=√(3²+(-1)²)=√10。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=20，求该数列的前10项和。解：a_3+a_9=2a_1+11d=20，S_10=10a_1+45d=5(a_3+a_9)=100。2.函数f(x)=log_a(x+1)在(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围及f(2)的值。解：0<a<1，f(2)=log_a3。3.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边BC=4，求边AC和角C的正弦值。解：AC=BC×sinB/sinA=4×√2/2÷1/2=4√2，sinC=sin(180°-30°-45°)=√6/4。4.求圆(x-2)²+(y+3)²=16的圆心到直线3x-4y+5=0的距离。解：距离d=|3×2-4×(-3)+5|/√(3²+(-4)²)=7/5。5.已知复数z=1+i，求z³的实部和虚部。解：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+i³=-2+4i，实部-2，虚部4。6.在等比数列{b_n}中，若b_2=2，b_5=32，求该数列的前6项和。解：q=b_5/b_2=16，S_6=2(1-q^6)/(1-q)=126。7.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值。解：f(-3)=6，f(-2)=1，f(1)=3，f(3)=4，最大值6，最小值1。8.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，求向量a+b与向量b-a的坐标及模长。解：a+b=(4,6)，|a+b|=√40=2√10；b-a=(-2,-2)，|b-a|=√8=2√2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.（修正题）若△ABC中，角A=45°，角B=60°，边BC=4，则边AC=2√62.C5.A6.C7.C8.B9.B10.C二、填空题1.162.[1/2,2]3.2√24.(3,-2)5.26.47.2π8.(-1,2)9.(3,4)10.-2三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.×8.√9.√10.√四