湖南省九校联盟2027届高三上学期第一次联考暨衡阳一模考试数学试卷（含答案）

湖南衡阳市2027届高三上学期第一次质量监测数学试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（

）A．10种 B．20种 C．30种 D．60种5．已知，且，则（

）A． B． C． D．6．已知等差数列的首项，公差为正数，取子数列，（），则（

）A．是等差数列 B．是等比数列C．是公比为2的等比数列 D．存在，使既是等差数列又是等比数列7．已知三棱锥中，面，，，．点是该三棱锥外接球面上的任意一点，则（

）A．有最大值12，最小值0 B．是定值6C．是定值3 D．随变化，取值范围为8．在平面直角坐标系中，对任意实数，定义向量，，若，方程有四个不同实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．记为数列的前项和，已知，，则（

）A． B．C．是等差数列 D．取最小值时10．如图，圆形舞台可视为单位圆，舞者甲、乙从点同时出发，都沿舞台边缘逆时针匀速旋转，角速度分别为与．运动秒后，甲位于点、乙位于点，两人之间的距离为．下列说法正确的是（

）A．B．对任意，均有C．两人自出发后第次相遇的时刻为（）D．记的面积为，则的最大值为，且在区间内恰有两个时刻取到该最大值11．已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（

）A．的取值范围为 B．若满足的直线恰有3条，则C．恒成立 D．的取值范围为三、填空题12．的展开式中的系数为________．13．已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________．14．若曲线上存在横坐标依次成等差数列的三个不同点，，，且以为直径的圆与该曲线在点处相切，则的最大值为________．四、解答题15．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．16．在中，内角，，所对的边分别为，，，其面积．(1)求证：；(2)求的最大值．17．某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物．能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且．每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）．记识别出障碍物的摄像头数为．012(1)求，；(2)已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率．(3)工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由．18．已知椭圆的右焦点为，且经过点．(1)求椭圆的方程．(2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点．（i）证明：点在定直线上．（ⅱ）求的取值范围．19．设函数，对任意，记．(1)求集合；(2)若，．（ⅰ）证明：；（ⅱ）当时，求实数的最大值，使得不等式恒成立，其中为自然对数的底数．参考答案1．B2．D3．A4．C5．A6．C7．B8．C．9．ABD10．ABC11．BCD12．4013．14．15．(1)如图，设交于点，连接，因为正方形中，，因为为等腰三角形，所以，因为，平面，所以平面．（2）方法一：，，所以，，且，故平面．以为原点，为轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．，设平面的法向量为，则，令，则，所以，又因为平面，所以平面的法向量可取，设二面角的大小为，则．由图可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．方法二：（等体积法）由，，得，，故平面．由正方形边长为2，得；又，故．，所以；同理．四面体的体积．设二面角为，则点到平面的距离，点到直线的距离．由垂直于棱的截面关系，．由图可知为锐角，故．所以二面角的余弦值为．16．(1)由三角形面积公式得，因为，所以．（2）方法一：当时，，则，不存在.所以.又，所以.由于，故，则.所以，即．令，则，整理为，即，要使这样的存在，须，即，化简得，即．所以的最大值为，此时，对应，即等腰三角形．方法二：由，即，上式化简为，即，其中，当，即时，达最大，此时最大，．方法三：，则，所以，得：，则，即，因为，所以，得，所以．17．（1）（1）由题意知，，解得．（2）（2）设事件恰有1台摄像头识别出该障碍物，有台摄像头正常工作，由全概率公式知，，故．(3)不可能，理由如下.因为，，．所以，若要，则，即，上式化简为，，故此不等式无解，故不能达到要求．18．(1)(2)（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立得，则，由韦达定理得设过点的切线为，联立，得，令上式中，即，即，即，即，即，解得，故切线的方程可化为，同理可得过点的切线的方程为，联立，化简得，两式相减得，即，所以点在定直线上．（ii）将代入直线的方程，得，所以，再由，及得，中点，因为，所以三点共线．所以，因为，所以，所以．19．（1）函数的定义域为，求导得，令函数，求导得，当时；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则，由的定义，得，所以集合.(2)（ⅰ）证明：由，得；由，得，则，即，于是，