2027届高考数学复习专题1.2 常用逻辑用语与充分必要条件(6类必考点分类集训)(教师版)

专题1.2常用逻辑用语与充分必要条件

【考点1：充分、必要条件的判断】.........................................................................................................................2

【考点2：已知条件关系求参数范围】.....................................................................................................................3

【考点3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断】.........................................................................................6

【考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定】.................................................................................................7

【考点5：根据命题的真假求参】.............................................................................................................................9

【考点6：充分、必要、充要条件与集合之间的关系】.......................................................................................11

【考点1：充分、必要条件的判断】

1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）“x2x”是“x1”成立的（）条件.

A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要

【答案】B

2

【详解】由题可得，xxx0或x1，充分性不成立；x1x2x，必要性成立

2．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知x，y为实数，设甲：x2y2；乙：x24y24，则甲是乙的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】取特殊值代入分析，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案.

【详解】取x4,y0，此时x2y42，但x24y2164，故充分性不成立；

222

取x2,y，此时x4y4，但x2y222，故必要性不成立，

2

所以甲是乙的既不充分也不必要条件.

3．（2026·天津南开·二模）设x,yR，则“x3y30”是“xy0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

2

3322y32

【详解】由xyxyxxyyxyxy，

24

y

2

y32x0

因xy0当且仅当2，即xy0时取等，

24

y0

2

y3233

显然x,y不能全都为0，故xy0，则由xy0可得xy0；

24

反之，当xy0时，必有x3y30成立.

故得“x3y30”是“xy0”的充要条件.

2π4ππ

4．（2026·天津·一模）“2kπ或2kπ，（kZ）”是“tan2cos”的（）

332

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】化简三角函数等式结合命题的判断解题

π

【详解】tan2cos2sin，

2

2π4π

当2kπ时，tan2sin3，当2kπ时，tan2sin3成立，

33

sin1

因为tan2sin，所以sin0或cos，

cos2

2π4π

当0时，tan2sin成立，但2kπ且2kπ，

33

故选：A

5．（多选）（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）（多选）有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A,B都

为有限集合，则下列命题中是真命题的有（）

A．AB的充要条件是card(AB)card(A)card(B)

B．AB的必要条件是card(A)card(B)

C．A不是B的子集的必要条件是card(A)card(B)

D．AB的充要条件是card(A)card(B)．

【答案】AB

【分析】对于A，利用card(AB)card(A)card(B)cardAB推导即可；对于B，根据包含关系的意义

可分析得解；对于CD，举例子排除即可.

【详解】对于A，因为AB等价于cardAB0，

又card(AB)card(A)card(B)cardAB，

所以cardAB0等价于card(AB)card(A)card(B)，

故AB的充要条件是card(AB)card(A)card(B)，故A正确；

对于B，因为AB，所以集合A中的元素都是集合B中的元素，故card(A)card(B)，

所以card(A)card(B)AB，故B正确；

对于C，令A0,2,3,B1,2，显然A不是B的子集，此时card(A)card(B)，

故C错误；

对于D，令A0,1,B1,2，显然card(A)card(B)，但AB，所以AB的充要条件不是

card(A)card(B)，故D错误；

【考点2：已知条件关系求参数范围】

1．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p:2x10，q:x1a或x1a,a0，若p是q的充分不必

要条件，则a的取值范围为_______．

【答案】

【详解】命题p对应集合Ax2x10，

命题q对应集合B{xx1a或x1a,a0}，

若p是q的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，

则有1a2或1a10，解得a3或a9，即a3，

又a0，故a的取值范围为.

2332

2．（2026高三·全国·专题练习）已知集合Ax|xtt1,t,2，Bx|xm1．若“xA”

24

是“xB”的充分条件，则实数m的取值范围是______．

33

【答案】,,

44

7

【分析】根据题意，分别求得集合Ax|x2和Bx|x1m2，再由“xA”是“xB”的充分条

16

件，得到AB，列出不等式，即可求解.

2

2337

【详解】由函数xtt1t，

2416

377

因为t,2，可得x2，所以Ax|x2，

41616

2

由不等式xm2≥1，可得x≥1m2，所以集合Bx|x1m．

又因为“xA”是“xB”的充分条件，可得AB，

7933

则满足1m2，即m2，解得m或m，

161644

33

所以实数m的取值范围是,,．

44

3．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知p:x∣x2x60和q:x∣mx10,m0，且p是q的必要条件

但不是充分条件，则实数m的取值集合为________.

11

【答案】,

23

【分析】解方程，把集合p,q具体化，然后利用集合间的关系可得答案.

【详解】由x2x60，得x3或x2，故p:3,2；

11

由mx10,m0，得：x，故q:；

mm

11

“p是q的必要条件但不是充分条件”等价于3,2且3,2，

mm

11

3或2，

mm

11

解得：m或m.

32

11

故答案为：,

23

4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合P{x|2x6}，非空集合S{x|1mx13m}.

(1)若xP是xS的必要条件，求实数m的取值范围;

(2)是否存在实数m，使xP是xS的充要条件.

5

【答案】(1){m|0m}.

3

(2)不存在

【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解；

（2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断.

【详解】（1）∵xP是xS的必要条件，故SP，

1m13m

5

∴1m2，解得0m，

3

13m6

5

即所求实数m的取值范围是{m|0m}.

3

（2）∵若xP是xS的充要条件，则PS，

1m2

∴，由于该方程组无解，

13m6

即不存在实数m，使xP是xS的充要条件.

x2

5．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知集合Mx2a3xa1，Nx0．

x1

(1)若MNN，求实数a的取值范围；

(2)若xM是xN的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)4,

1

(2)0,

2

【分析】（1）先求出Nx2x1，再分M与M蛊两种情况讨论即可求解；

（2）由必要不充分条件可知NM，进而可得不等式组，解不等式组即可.

x2

【详解】（1）Nx0x2x1，

x1

由MNN，得MN，

当M时，2a3a1，解得a4；

2a3a1,

当M蛊时，2a32,不等式组无解，

a11,

故实数a的取值范围为4,．

（2）因为xM是xN的必要不充分条件，所以NM，

2a322a3211

或，解得0a或0a，

a11a1122

11

综上可得a0,，故实数a的取值范围为0,．

22

【考点3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断】

1

1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题p:xR，x0，则x2，命题q:xR，x2x20，

x000

则（）

A．p和q都是假命题B．p是真命题，q是假命题

C．p是假命题，q是真命题D．p和q都是真命题

【答案】C

1

【详解】对于命题p，当x1时，x2，所以p为假命题；

x

对于命题q，解不等式x2x20，得1x2，所以q为真命题．

2．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知命题p:xR，x2x3≤x2，命题q:xN，x21，则（）

A．p是假命题，q是真命题B．p是真命题，q是假命题

C．p和q都是真命题D．p和q都是假命题

【答案】B

【分析】利用全称量词命题与特称量词命题的含义，结合反例判定命题的真假即可.

【详解】对于命题p，存在x1，x2x3x2，所以命题p是真命题；

对于命题q，当x0时，x20，所以命题q是假命题.

故选：B.

3．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（）

2

A．p1:xR，x2x30B．p2:xR，x0

2

C．p3:xZ，xND．p4:xR，x5x100

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可.

222

【详解】选项A：x22x3x12，因为x10恒成立，所以x1220，即x22x30

恒成立，故不存在实数x使原式小于0，p1为假命题，A错误；

选项B：当x0时，x0，不满足x0，p2为假命题，B错误；

选项C：Z是整数集，自然数集N是非负整数集，故p3为真命题，C正确；

2

选项D：一元二次方程的Δ54110150，方程无实数根，不存在实数x使方程成立，p4为假

命题，D错误.

故选：C.

4．（多选）（25-26高一上·广东汕尾·期末）（多选）下列命题中，是真命题的是（）

*ð3

A．xN,x必有算术平方根B．xRQ,x是无理数

2ð2

C．nZ,nn为奇数D．xRQ,x是无理数

【答案】AD

【分析】根据算术平方根定义、命题的真假判断AD；举例判断BD；

【详解】对于A，xN*,x必有算术平方根为x，命题是真命题，A正确；

3

对于B，取x32，x3322是有理数，命题是假命题，B错误；

对于C，因为n2nn(n1)，且nZ,n,n1是连续整数且其中必有一个是偶数，

所以n2n一定是偶数，不可能是奇数，命题是假命题，C错误；

2

对于D，取x42是无理数，x2422是无理数，故该命题是真命题，D正确；

故选：AD.

5．（多选）（25-26高一上·江西南昌·期末）（多选）下列命题为真命题的有（）

A．xR，ex0B．xR，x32x

C．xN，(x1)20D．xN，lg(x1)0

【答案】BCD

【分析】对于A，根据指数函数的值域进行判断；对于B，通过举例子说明；对于C，利用a20恒成立进

行判断；对于D，根据对数的性质进行判断.

【详解】对于A，因为ex0恒成立，所以A错误；

对于B，当x2时，x323222x，所以B正确；

对于C，(x1)20恒成立，所以C正确；

对于D，因为xN，所以x0，所以x11，所以lg(x1)0，故D正确.

故选：BCD

【考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定】

16

1．（2026·湖南长沙·三模）命题“x3,，x8”的否定为（）

x

1616

A．x3,，x8B．x3,，x8

xx

1616

C．x3,，x8D．x3,，x8

xx

【答案】B

【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定，

1616

因此命题“x3,，x8”的否定为命题“x3,，x8”.

xx

2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知命题p：x0，xx，命题q：xR，xx0，则（）

A．p和q都是真命题

B．p和q都是真命题

C．p和q都是真命题

D．p和q都是真命题

【答案】C

【详解】令x4，则xx显然成立，p是真命题，p是假命题，

当x0时，xx0，故命题q是假命题，q是真命题．

3．（25-26高一下·湖南株洲·期中）已知命题p:x0，lnx20，则p为（）

A．x0，lnx20B．x0，lnx20

C．x0，lnx20D．x0，lnx20

【答案】B

【分析】全称命题的否定为特称命题，否定时需将全称量词替换为存在量词，同时否定原命题的结论，

变量的取值范围保持不变.

【详解】原命题p为x0,ln(x2)0，则p为x0,ln(x2)0.

4．（25-26高一上·北京西城·期末）已知命题p:xR，x2x10，则（）

A．p:xR，x2x10，且p为真命题

B．p:xR，x2x10，且p为假命题

C．p:xR，x2x10，且p为真命题

D．p:xR，x2x10，且p为假命题

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定定义写出p，再配方判断命题的真假.

【详解】由题意可知，p:xR，x2x10，

2

213

因为xx1x0，所以p为真命题，p为假命题.

24

故选：D

5．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知p：x0，x33x0，则（）

A．p是真命题，且p：x0，x33x0B．p是真命题，且p：x0，x33x0

C．p是假命题，且p：x0，x33x0D．p是假命题，且p：x0，x33x0

【答案】D

【分析】举出反例得到p是假命题，且全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否

定.

【详解】当x1时，x33x1320，不满足x0，x33x0，故p是假命题，

且p：x0，x33x0.

故选：D

【考点5：根据命题的真假求参】

1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设aR，使“x[1,2],xa0”为真命题的一个充分不必要条件是

（）

A．a1B．a3C．a2D．a2

【答案】B

【分析】结合充分不必要条件的定义即可求解.

【详解】由x[1,2],xa0，可得a2，

因为3,2,，

⫋

故使“x[1,2],xa0”为真命题的一个充分不必要条件可以是a3，

故选：B.

2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“x1,2，使得2x2mxm80”是假命题，则m的取值范

围为_____.

【答案】3,0

【分析】根据题意，转化为2x2mxm80在1,2上恒成立，结合二次函数的图像与性质，列出不等

式组，即可求解.

【详解】由命题“x1,2，使得2x2mxm80”是假命题，

可得命题的否定：“x1,2，使得2x2mxm80”是真命题，

设fx2x2mxm8，则fx0在1,2上恒成立，

f102mm80

所以，即，解得3m0，

f2082mm80

所以实数m的取值范围为3,0.

故答案为：3,0.

3．（2026高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“xR，x22xa0”是假命题，命题q：x0，ax2

是真命题，则实数a的取值范围是__________．

【答案】1,2

【分析】根据命题真假判断方程解求a的范围，再结合不等式求a的范围，最终取交集即可.

【详解】因为命题p：“xR，x22xa0”是假命题，

所以命题p的否定“xR，x22xa0”是真命题，

则方程x22xa0无解，即44a<0，解得a1；

又因为命题q：x0，ax2是真命题，所以ax2，

对任意x0恒成立，故a应小于等于x2在0,的最小值，

当x0时x2最小值为2，即a2

综上所述，实数a的取值范围是1,2.

故答案为：1,2.

22

4．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“cR，使得a,bR，均有ab2ab2bc0”是假命

题，则的取值范围是___________．

【答案】,1

【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于b的方程，利用判别式得到关于

a的不等式，最后分10和10两种情况分析，确定的取值范围.

【详解】由题意可知，原命题的否命题：“cR,a,bR，使得a2b22ab2bc0”是真命题．

所以对任意实数c，方程b22a1ba2c0都有实数解a,b．

22

故而Δb4a14a4c0对任意固定的实数c都有解．

即关于a的不等式1a22a1c0对任意固定的实数c都有解．

对不等式1a22a1c0分情况讨论：

①.若10,即1.当1时,不等式为2a1c0,对任意c显然有解.

当1时,关于a的二次函数fa1a22a1c开口向上,

其值域包含正数,故对任意c,总存在a使得fa0.所以1符合题意.

2

②.若10,即1.关于a的二次函数ga1a2a1c开口向下,

1

其最大值为gmaxgc.

11

要使不等式ga0对任意c都有解,则需要其最大值对任意c都非负,

即c0对任意c恒成立,这显然是不可能的.故1不符合题意.

1

因此，的取值范围是,1．

故答案为：,1

5．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知mR，集合A{x|x12}，集合B{x|m3xm2}.

(1)若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求m的取值范围；

(2)若命题“xA，xB”是真命题，求m的取值范围.

【答案】(1)m|1m2

(2)m|3m6

【分析】（1）将先求出集合A，将题设问题转化为集合A是集合B的真子集，进而根据包含关系求解即可；

（2）将题设问题转化为AB，先求出AB时m的取值范围，进而得到AB时m的取值范

围.

【详解】（1）由A{x|x12}x|1x3，B{x|m3xm2}.

若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集.

m31

所以，解得1m2，

m23

当m1时，Bx|2x3，符合题意，

故m的取值范围是m|1m2.

（2）因为“xA，xB”是真命题，所以AB.

当AB时，因为B，所以m21或m33，解得m3或m6.

所以当AB时，m的取值范围是m|3m6.

【考点6：充分、必要、充要条件与集合之间的关系】

1．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合Ax3x6，集合Bxx2m1或xm1,mR．

(1)若AB，求实数m的取值范围；

(2)设p:xA，q:xB，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

7

mm4

2

(2)

mm2或m7

【分析】（1）根据交集的运算可得出关于m的不等式组，即可解得实数m的取值范围；

（2）分析可知AB，可得出关于实数m的不等式，解之即可.

【详解】（1）已知，或，若AB，

�={�|3≤�≤6}�={�|�≤�−1�≥2�−1}

则A的所有元素都不在B中，可得不等式组：，

�−1<3

77

解得m4，即m的取值范围为,4；2�−1>6

22

（2）若p是q的充分条件，则AB，即A的所有元素都属于B，

因此有两种情况：①，此时m16，解得m7；

�⊆{�|�≤�−1}

②Ax|x2m1，此时2m13，解得m2，

综上，m的取值范围是m2或m7.

2．（25-26高一上·上海·期末）已知集合Ax|2x4，Bx|2mx1m,mR.

(1)若AB，求实数m的取值范围；

1

(2)已知m，记命题p:xA,q:xB，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

3

【答案】(1)mm1

(2)mm3

1

【详解】（1）若B，则2m³1-m，得m；

3

1

若B，则m，

3

1

因为AB，所以1m2或2m4，得m1或m≥2，则1m，

3

综上，实数m的取值范围为mm1；

1

（2）因为m，所以B，

3

因为q是p的必要不充分条件，所以A是B的真子集，

2m2

则，且等号不同时成立，得m3，

1m4

故实数m的取值范围为mm3.

3．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合Axa1x32a，Bxx22x80．

(1)若a0，求AB；

(2)若xB是xA的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1){x|1x3}

1

(2),

2

【分析】（1）利用交集运算即可；

（2）把必要不充分条件转化为真子集关系，利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可.

【详解】（1）当a0时，Ax1x3，Bxx22x80x2x4，

则AB{x|1x3}；

（2）因为Axa1x32a，Bx2x4，

由xB是xA的必要不充分条件，得AB，

⫋

4

①当A时，a132a，解得a，满足题意；

3

a132a

14

②当A时，则a12，解得a，

23

32a4

11

综上，a，故实数a的取值范围为，.

22

4．（25-26高一上·天津河北·期中）已知全集UR，集合Ax1x3，Bx1mx1m，m0.

ð

(1)当m1时，求AB，AUB；

(2)若xA是xB的充分条件，求实数m的取值范围.

ð

【答案】(1)ABx1x3；AUB{x1x0或2x3}．

(2)2,

【分析】（1）利用集合的运算求解；

（2）根据充分条件得到集合的包含关系，进而列出不等式组求解.

【详解】（1）当m1时，Bx0x2.

因为Ax1x3，

所以ABx1x3；

ð

因为UB{xx0或x2}，

ð

所以AUB{x1x0或2x3}．

（2）因为xA是xB的充分条件，

所以AB，

m0

所以1m1，解得m≥2，

1m3

所以实数m的取值范围是2,．

5．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）设集合

xm1

Px∣0，Qx∣x22x30．

xm3

(1)若m0，求PQ；

(2)若“xP”是“xQ”的必要不充分条件，求实数m的值．

【答案】(1)PQx3x1；

(2)m2．

【分析】（1）先分别求解集合P和集合Q，再根据交集的定义求出PQ；

（2）先分别求解集合P和集合Q，再根据逻辑关系得到不等式组，解出即可PQ.

x1

【详解】（1）当m0时，集合Px∣0，

x3

x1x30

分式不等式等价于：，

x30

解得：3x1，即P3,1，

因为集合Qx∣x22x30，

由x22x3x3x10，

解得：x1或x3，即Q,13,，

因此：PQ3,1,13,3,1.

xm1xm1xm30

（2）因为Px∣0，则，

xm3xm30

解得：m3xm1，即Pm3,m1，

ð∣2

则RQ{xx2x30}1,3，

由题意，“xP”是“xQ”的必要不充分条件，

¿ð

即xQxP，且xPxQ，则RQP，

m31

因此：，

m13

m2

解得：，所以m2.

m2

一、单选题

1．（25-26高一上·云南曲靖·期末）命题“x1,x33x4”的否定为（）

A．x1,x33x4B．x1,x33x4

C．x1,x33x4D．x1,x33x4

【答案】C

【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解．

【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，知原命题的否定为：x1,x33x4.

故选：C

2．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，均为锐角，则“sinsin”是“sin2sin2”的（）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】因为sinsin，且,均是锐角，所以，所以22，所以sin2sin2，

所以,均为锐角，sinsin能推出sin2sin2，

反之，sin2sin2，且,均为锐角，则22或22π，

π

所以或，所以sinsin或sincos，

2

所以,均是锐角，sin2sin2推不出sinsin，

因此,均为锐角，sinsin是sin2sin2的充分不必要条件.

3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线m，n与平面，，，则的一个充分条件是（）

A．m，mB．，

C．m，mD．n，m，mn

【答案】C

【详解】对于选项A：当m，m时，//，所以本选项不符合题意；

对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意；

对于选项C：当m，m时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意；

对于选项D：当n，m，mn时，根据线面垂直的判定定理，由mn不一定能推出m，

所以本选项不符合题意.

4．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球Ω从B，C，D三个口中的一个口滚动进入

后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球Ω从B口滚动进入”是“小球Ω从D口滚动出来”

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系

【详解】由迷宫图形可知，若小球Ω从B口滚动进入，

根据通道走向，小球最终只能从D口滚动出来，

所以“小球Ω从B口滚动进入”能推出“小球Ω从D口滚动出来”，充分性成立；

若小球Ω从D口滚动出来，小球可能是从B口滚动进入，也可能是从C口滚动进入（由图可知从C口进入最

终也会从D口出来），

所以“小球Ω从D口滚动出来”不能推出“小球Ω从B口滚动进入”，必要性不成立．

综上所述，“小球Ω从B口滚动进入”是“小球Ω从D口滚动出来”的充分不必要条件．

1sinA1sinB

5．（2026·浙江宁波·三模）在ABC中，角A,B,C为三个内角，则“”是“AB”的（）

cosAcosB

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

1sinxx

【分析】将其转化为函数fxtan，结合图像即可求解

cosx24

1sinx

【详解】考虑fx为(cosx,sinx)到0,1的斜率，

cosx

2

xxxxx

sincossincostan1

22x

因为fx222tan，

xxxxxxx24

cossincossincossin1tan

2222222

x

因为函数fxtan在0,与,上均递增，f(0)1,f()1得大致图象，如图所示，

2422

1sinA1sinB

若，则fAfB，而fA,fB同号，由图及单调性可得AB；

cosAcosB

若AB，则fAfB必定成立，故为充要条件．

6．（2026·河南·一模）已知数列an，设bnan1an，cnan1an.若bn为等差数列，设p：“cn为等

差数列”，q：“bn为常数列”，则p是q的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由已知结合等差数列的性质检验充分必要性即可判断．

【详解】已知bnan1an，cnan1an，且bn为等差数列，设其公差为d.

若bn为常数列，则bnb1（常数），即an1anb1.

此时：cn1cnan2an1an1anan2anan2an1an1anbn1bnb1b12b1，

2b1为常数，故cn是公差为2b1的等差数列，即qp.

若cn为等差数列，则cn1cn为常数，设为k.

cn1cnan2an1an1anan2ank，

又bnan1an，则bn1an2an1，

因此：bn1bnan2an1an1anan2ank，

由于bn是等差数列，设其公差为d，则bn1bnd，代入上式：，

kd(��+�)+��=� ⇒ 2��+�=�

对任意n成立，说明b为常数（b），故d0，即b为常数列.因此pq.

nn2n

综上，p是q的充分必要条件.

二、多选题

7．（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列命题说法错误的是（）

x0

A．x0R,e0

B．xR,2xx2

a

C．ab0的充要条件是1

b

D．若x,yR，且xy2，则x,y中至少有一个大于1

【答案】ABC

【详解】对于A：根据指数函数的性质可知ex00恒成立，故A错误；

2

对于B：当x1时，211，故B错误；

a

对于C：当ab0时，无意义，所以必要性不成立，故C错误；

b

对于D：假设x1,y1，则xy2与xy2矛盾，所以假设不成立，故D正确.

8．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数，则下列条件中是“fx为奇

��=�sin��+��>0, �>0

函数”的充要条件的有（）

A．kπkZB．fx的图象关于原点对称

C．xR，使得fxfxD．f00

【答案】ABD

【详解】fx为奇函数，则xR，都有fxfx，所以C错误；

即AsinxAsinx，化简得2sincosx0对xR恒成立，

所以sin0，即kπ,kZ，

反之，当kπ,kZ时，fxAsinxkπ,kZ，

当k是偶数时，fxAsinx为奇函数，

当k是奇数时，fxAsinx为奇函数，

所以kπ,kZfx为奇函数，A正确；

奇函数的图像关于原点对称，B正确；

因为f0AsinAsinkπ0，所以fx为奇函数f00，

若f00，则Asin0sin0kπ,kZ，由A选项可知，则kπ,kZfx为奇函数，D

正确.

三、填空题

9．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“xR，mx2mx50”为真命题，则实数m的取值范

围是__________．

【答案】0,20

【详解】当m0时，不等式化为50，对任意xR恒成立，符合题意；

当m0时，mx2mx50对任意xR恒成立，需满足：

m0

2，解得0m20，

Δm20m0

综上可得m0,20．