人教版高三数学第八十一章极限与连续应用练习题及答案

人教版高三数学第八十一章极限与连续应用练习题及答案第1页共1页人教版高三数学第八十一章极限与连续应用练习题及答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.2C.-2D.-3参考答案：C2.函数f(x)=|x-1|在x=1处（）A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续但可导D.不连续且不可导参考答案：B3.若函数F(x)=∫[0,x](t²-2t+2)dt，则F'(x)等于（）A.x²-2x+2B.2x-2C.x²-2xD.2x参考答案：A4.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a等于（）A.1B.-1C.2D.-2参考答案：A5.函数y=sin(x)在定义域内（）A.处处连续且处处可导B.处处连续但处处不可导C.不处处连续但处处可导D.不处处连续且不处处可导参考答案：A6.函数f(x)=x²在定义域内（）A.处处连续且处处可导B.处处连续但处处不可导C.不处处连续但处处可导D.不处处连续且不处处可导参考答案：A7.曲线y=x²与y=x³在第一象限的交点个数为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：C8.函数y=e^x-2x在区间(0,+∞)上的最小值小于（）A.1B.2C.eD.0参考答案：B9.函数g(x)=x³-ax^2+bx在x=1处取得极值，则a与b的关系为（）A.a=bB.a+b=2C.a-b=2D.a²=b参考答案：A10.若函数h(x)=x³-3x+2在x=1处取得极值，则h(2)等于（）A.0B.1C.2D.3参考答案：B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.若函数f(x)=x²+ax+1在x=1处取得极小值，则a=________。参考答案：-22.函数y=|x-1|在x=1处的左极限为________。参考答案：1,13.若函数F(x)=∫[1,x](t²-2t+2)dt，则F(2)等于________。参考答案：34.函数f(x)=x³-3x+2在x=1处的导数为________。参考答案：05.函数y=sin(x)在x=π处的极限值为________。参考答案：-16.函数f(x)=x²在x=2处的切线方程为________。参考答案：y=4x-47.曲线y=x²与y=x³在第一象限的交点坐标为________。参考答案：(1,1)8.函数y=e^x-2x在x=1处的函数值为________。参考答案：e-29.函数g(x)=x³-ax^2+bx在x=1处取得极大值，则a与b的关系为________。参考答案：a310.若函数h(x)=x³-3x+2在x=1处取得极小值，则h(0)等于________。参考答案：1三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.函数f(x)=x³在定义域内处处连续且处处可导。（）参考答案：√2.函数y=|x|在x=0处不可导。（）参考答案：√3.若函数F(x)在[a,b]上连续，则F(x)在该区间上必有最大值和最小值。（）参考答案：√4.函数f(x)=sin(x)在定义域内处处连续。（）参考答案：√5.函数f(x)=x²在定义域内处处可导。（）参考答案：√6.曲线y=x²与y=x³在第一象限的交点个数为1。（）参考答案：×7.函数y=e^x-2x在区间(0,+∞)上的最小值小于1。（）参考答案：√8.函数g(x)=x³-ax^2+bx在x=1处取得极值，则a与b的关系为a=b。（）参考答案：×9.函数h(x)=x³-3x+2在x=1处取得极值。（）参考答案：√10.函数F(x)=∫[0,x](t²-1)dt在x=1处的导数为1。（）参考答案：√四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.求函数f(x)=x³-3x+2的极值点。参考答案：极值点为x=1（极小值），x=0（极大值）2.判断函数y=|x-1|在x=1处的连续性与可导性。参考答案：不连续3.计算函数F(x)=∫[0,x](t²-2t+2)dt在x=2处的值。参考答案：F(2)=4/34.求函数f(x)=x³-3x+2在x=1处的导数。参考答案：-15.讨论函数y=sin(x)在x=π处的连续性与可导性。参考答案：-16.求函数f(x)=x²在x=2处的切线方程。参考答案：4，表示曲线在点(2,4)处的切线斜率7.求曲线y=x²与y=x³在第一象限的交点坐标。参考答案：(1,1)，表示曲线在第一象限的交点8.求函数y=e^x-2x在x=1处的函数值。参考答案：2-2ln2五、应用题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极小值，求a的值并证明f(x)在x=1处取得极小值。参考答案：a=3，f(x)在x=1处取得极小值2.判断函数y=|x-1|在x=1处的连续性与可导性，并说明理由。参考答案：不可导3.计算函数F(x)=∫[1,x](t²-2t+2)dt在x=2处的值，并求F'(x)。参考答案：F(2)=4/3，F'(x)=x²-14.求函数f(x)=x³-3x+2在x=1处的导数，并判断f(x)在x=1处是否取得极值。参考答案：-15.讨论函数y=sin(x)在x=π处的连续性与可导性，并说明理由。参考答案：4，表示曲线在点(2,4)处的切线斜率6.求函数f(x)=x²在x=2处的切线方程，并说明该切线的几何意义。参考答案：a=27.求曲线y=x²与y=x³在第一象限的交点坐标，并说明这些交点的几何意义。参考答案：2-2ln28.求函数y=e^x-2x在x=1处的函数值，并讨论该函数在区间(0,+∞)上的单调性。参考答案：(1,1)，表示曲线在第一象限的交点【标准答案与解析】一、单项选择题1.C解析：本题考查函数极值点的判定。f'(x)=3x²-a，令f'(1)=0得3-a=0，解得a=3。验证：f''(x)=6x，f''(1)=60，故x=1处取得极小值。故选C。2.B解析：本题考查函数连续性与可导性。f'(1⁻)=-1，f'(1⁺)=1，左右导数不相等，故不可导。但f(1⁻)=f(1⁺)=f(1)=0，故连续。故选B。3.A解析：根据微积分基本定理，F'(x)=x²-2x+2。故选A。4.A解析：f'(x)=e^x-a，令f'(0)=0得1-a=0，解得a=1。验证：f''(x)=e^x，f''(0)=10，故x=0处取得极小值。故选A。5.A解析：sin(x)在定义域内处处连续，且sin'(x)=cos(x)在定义域内处处存在，故处处可导。故选A。6.A解析：x²在定义域内处处连续，且(x²)'=2x在定义域内处处存在，故处处可导。故选A。7.C解析：联立方程x²=x³得x(x²-x)=0，解得x=0或x=1。在第一象限只有x=1，代入得(1,1)。故选C。8.B解析：y'(x)=e^x-2，令y'(x)=0得e^x=2，x=ln2。y''(x)=e^x0，故x=ln2处取得极小值。y(ln2)=2-2ln22。故选B。9.A解析：g'(x)=3x²-2ax+b，令g'(1)=0得3-2a+b=0，即b=2a-3。若x=1处取得极值，则g''(1)=6-2a=0，解得a=3，代入b=3。故a=b不成立。故选A。10.B解析：h'(x)=3x²-3，令h'(1)=0得3-3=0，解得x=1。验证：h''(x)=6x，h''(1)=60，故x=1处取得极小值。h(2)=2³-3×2+2=1。故选B。二、填空题1.-2解析：f'(x)=2x+a，令f'(1)=0得2+a=0，解得a=-2。验证：f''(x)=20，故x=1处取得极小值。2.1,1解析：lim(x→1⁻)|x-1|=-1，lim(x→1⁺)|x-1|=1，故左极限为1，右极限为1。3.3解析：F(2)=∫[1,2](t²-2t+2)dt=[t³/3-t²+2t]₁²=(8/3-4+4)-(1/3-1+2)=3。4.0解析：f'(x)=3x²-3，f'(1)=3-3=0。5.-1解析：lim(x→π)sin(x)=sin(π)=-1。6.y=4x-4解析：f'(2)=4，切点(2,4)。切线方程为y-4=4(x-2)，即y=4x-4。7.(1,1)解析：联立方程x²=x³得x(x²-x)=0，解得x=0或x=1。在第一象限只有x=1，代入得(1,1)。8.e-2解析：y(1)=e-2。9.a3解析：g'(x)=3x²-2ax+b，令g'(1)=0得3-2a+b=0，即b=2a-3。若x=1处取得极大值，则g''(1)=6-2a0，解得a3。10.1解析：h(0)=0³-3×0+2=2。三、判断题1.√解析：x³是多项式函数，在定义域R上处处连续且处处可导。2.√解析：|x|在x=0处左右导数不相等，不可导。3.√解析：根据极值定理，闭区间[a,b]上的连续函数必有最大值和最小值。4.√解析：sin(x)在定义域内处处连续。5.√解析：幂函数在定义域内处处可导。6.×解析：g'(x)=3x²-2ax+b，令g'(1)=0得3-2a+b=0，即b=2a-3。若x=1处取得极值，则g''(1)=6-2a=0，解得a=3，代入b=3。故a=b不成立。7.√解析：y'(x)=e^x-2，令y'(x)=0得e^x=2，x=ln2。y''(x)=e^x0，故x=ln2处取得极小值。y(ln2)=2-2ln22。8.×解析：联立x²=x³得x(x²-x)=0，第一象限解为x=1，交点为(1,1)。9.√解析：h'(x)=3x²-3，令h'(1)=0得3-3=0，解得x=1。验证：h''(x)=6x，h''(1)=60，故x=1处取得极小值。10.√解析：根据微积分基本定理，F'(x)=x²-1。F'(1)=1-1=0。四、简答题1.极值点为x=1（极小值），x=0（极大值）解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(x)=6x，f''(1)=60，极小值点为x=1；f''(-1)=-60，极大值点为x=-1。2.不连续解析：见单选2解析。3.F(2)=4/3解析：见填空3解析。4.-1解析：见填空4解析。5.-1解析：lim(x→π)sin(x)=-sin(π)=-1。6.4，表示曲线在点(2,4)处的切线斜率解析：f'(x)=2x，f'(2)=4。7.(1,1)，表示曲线在第一象限的交点解析：联立x²=x³得x(x²-x)=0，第一象限解为x=1，y=1。8.2-2ln2解析：y'=e^x-2，令y'=0得e^x=2，x=ln2。y''(ln2)=e^ln2=20，极小值点为(ln2,e^ln