山东科技大学概率论卓相来岳嵘第一章习题解析

习题一

1.写出下列随机试验的样本空间：

(1)生产产品直到有1C件正品为止，记录生产产品的总件数.

(2)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

(3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连

覆查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果.

1.(1)□(2)口，

(3).其中0表不次品，1表不正品.

2.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.

(1)掷一颗骰子，出现奇数点.

(2)掷二颗骰子，

A二”出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点

B二”出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点

(3)将一枚硬币抛两次，

A二”第一次出现正面

B="至少有一次出现正面

C=“两次出现同一面

2.【解】(D={1,2,34,5,6},A={1,3,5}；

3.设为三事件，用的运算关系表示下列各事件：

..(1)发生，与不发生.

(2)与都发生，而不发生.

..(3)中至少有一个发生.

(4)AB,C都发生.

(5)-都不发生.

(6)中不多于一个发生.

(7)A&C中不多于两个发生.

(8)A,3,C中至少有两个发生.

3.【解】(1)ABC(2)ABC(3)AUBUC(4)ABC

(5)~ABC(6)ABuACuBC

(7)ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC=AUBUC

CUABCUABC=ABUBCUCA.

4.在某系的学生中任选一名学生.令事件A表示“被选出者是男生”；事件8表示“被

选出者是三年级学生”；事件C表示“被选出者是运动员”.

(1)说出事件ABe的含义；

(2)什么时候有恒等式408门。=。；

(3)什么时候关系式正确；

(4)什么时候等式入=4成立.

4.(1)该生是三年级男生但不是运动员;(2)当某系的运动员全是三年级男生时；⑶当

某系除三年级外其它年级的学生都不是运动员时；(4)当某系三年级的学生都是女生，而其

它年级都没有女生时.

5.盒中有10只晶体管.令表示“10只晶体管口恰有只次品”.表示“10只晶体

管中不多于3只次品”.表示“10只晶体管中次品不少于4只”.问事件，，之间

哪些有包含关系？哪些互不相容？哪些互逆？

5.；两两互不相容，与互不相容；与互逆。

6.是任意两个事件，化简下列式子

(1)(A⑵ABABuABu'AB-AB

6.(1).(2).

7.若，，，试求

(1)P(AB)；(2)P(A-8)；(3)P(AuB)；(4)P(AB).

7.(1)因为，故

P(AB)=P(B)—P(AB)=0.4-0.2=0.2；

(2)P(A-B)=P(A)-P(AB)=\-P(A)-P(AB)=0.3；

(3)P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7；

(4)P(AB)=P(AuB)=1-P(AuB)=0.3.

8.观察某地区未来5天的天气情况，记为事件“有天不下雨”，已知，求下列

事件的概率.

(1)5天均不下雨；

(2)至少有一天不下雨；

(3)至多三天不下雨.

8.易知两两互不相容且，所以

I=P(S)=P(4D45.DA)=P(4)+P(A)++P(A)

=P(4)+P(4)+2P(4)++5P(4)=16P(4)

于是得，.

记(1),(2),(3)所表示的事件分别为，则

(1)P(A)=P(A)=1/16；

(2)P(B)=1-P(4)=15/16

)

(3)P(C)=1-P(4)-/(A5)=1-4/16-5/16=7/16.

9.设是两事件，且，，问

(1)在什么条件下取到最大值，最大值是多少？

(2)在什么条件下取到最小值，最小值是多少？

9.(1)时，取到最大值0...(2)时，取到最小值0.3。

10.某城市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一

种，求同时订这两种报纸的住户的百分比.

10.().3

11.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心,3张方块,2张梅花的概

率是多少？

11.p=

12.将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率.

12.设分别表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件，则

4-3-23

P(A)=

^4^8

13.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数

中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2,…，9).

13.这是重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同，是排

列问题.用10个数去排4个位置，有种排法，故所求概率为.

14.对一个五人学习小组考虑生日问题，求下列事件的概率：

(1)五个人的生日都在星期日；

(2)五个人的生日都不在星期日；

(3)五个人的生日不都在星期日.

14.(1)设Al=｛五个人的生日都在星期日｝,基本事件总数为75,有利事件仅1个，故

P(Ai)=-^=(-)5

757

(2)设A2二｛五个人生日都不在星期日｝，有利事件数为

65,故

,、66v

p(①)=-^-=(-y

T7

(3)设4=｛五个人的生日不都在星期日｝

P(4)=l-P(Ai)=l-(-)5.

7

15.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有

标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆

的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？

15.与次序无关,是组合问题.从17桶油漆中取9桶，有种取法.由乘法原理,取4桶白

漆、3桶黑漆和2桶红漆的取法为种，所以所求概率为.

16.在1500个产品中有400个次品、1100个正品.任取200个.

(1)求恰有10个次品的概率；

(2)求至少有2个次砧的概率.

「100190「200,「Ipiw

^1100^400^1100

16.(1)嗔。。；(2)

「200

C15OO^1500

17.50只抑钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个抑钉强度太弱.每个部件用3

只钾钉.若将3只强度太弱的钾钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.问发生一个

部件强度太弱的概率是多少？

17.将部件从1到10编号，表示“号部件强度太弱”，故

P(a)=4=—=

“C；o19600

因两两互不相容，因此10个部件中有一个部件强度太弱的概率是

++*/)=蒜=焉・

18.从1至9这九个数中有放回地取3次,每次任取1个,求所取的三个数之积能被10

整除的概率.

18.解设“所取的3个数中含有数字5”为事件4,

“所取的3个数字中含有偶数”为事件Az,

“所取的3个数之积能被10整除”为事件A,则A=4-2,故

P(A)=P(44)=1-P(4)=1-P(A以)

=1-尸(％)-尸内+P(市)

=1-(-)3-(-)3+(-)3=0.214.

999

19.两人约定上午9：00〜10：00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

19.记9点为计算时刻的0时­，以分钟为单位.设甲、乙两人到达指定地的时刻分别为X、

y,则样本空间S是.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于.如图阴影部分所示.

30/

_________

O3060

题19图

3021

r=-7=—

6024

2().从(0,1)中随机地取两个数，求：

(1)两个数之和小于9的概率；

5

(2)两个数之积小于L的概率.

4

20..设两数为，则.

(1)<,.

⑵v,.

21.设一个质点一定落在面内由轴、轴及直线所围成的三角形生，而落在这

三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成

比例.计算这质点落在直线的左边的概率.

21..

22.甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，又这段时间内有四班公

共汽车，它们的开车时刻分别为.如果他们约定(1)见车就乘；(2)最多等一辆车.求甲、

乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时

的任何时刻到达车站是等可能的.

22.⑴士」⑵❷°

164168

23.已知P(A)=0.3,P(B)=().4,P(AB)=().5,求尸(@AU司.

23.□.

24.某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品

中任取一件是一等品的概率.

24.0.72

25.一批零件共100个，次品率为10%.每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回

去，求第三次才取得正品的概率.

25.0.0083.

26.据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：

求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.

26.□.

27.假设n张体育彩票中只有一张“中奖”，n个人依次排队摸彩(不放回)，试求

(1)已知前个人都未“中奖”，求第k个人"中奖”的概率；

(2)求第2(2«〃)个人摸彩时“中奖”的概率.

27.(1)在缩小的样本空间考虑，口；(2)积事件的概率，口.

28.两台车床加工同样的零件。第一台加工后的废品率为0.03,第二台加工后的废品率

为0.02.加工出来的零件放在一起，已知这批加工后的零件中由第一台车床加工的占，

由第二台车床加工的占.求从这批零件中任取一件得到合格品的概率.

28.□.

29.第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从

第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球.求取到白球的概

率.

29.□

30.有两箱同种类的零件.第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18

只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回

抽样.求(1)第一次取到的零件是一等品的概率；(2)第一次取到的零件是一等品的条件

下，第二次取到的也是一等品的概率.

30.(1)0.4；(2)0.4856.

31.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中

随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

31.□.

32.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的

概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品时，产

品确是合格品的概率是多少.

32.设A=｛产品确为合格品｝,B二｛产品被认为是合格品｝

由贝叶斯公式得

P(A|0—0⑷0(相)

1P(B)P(4)P(同4)+P(A)P(同A)

0.96x0.98

=0.998

0.96x0.98+0.04x0.05

33.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的"，“一般的"，“冒失的”.统计资料表明,

上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占

20%,“一般的”占5()%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故，则他是

“谨慎的”的概率是多少？

33.设A=｛该客户是“谨慎的”｝,B=｛该客户是“一般的"｝,C=｛该客户是“冒失的”｝,

D=｛该客户在一年内出了事故｝，则由贝叶斯公式得

P⑷鬻P(A)P(D\A)

P(A)尸(。|A)+P(B)P(Q|B)+P(C)P(Q|C)

0.2x0.05

=0.057.

0.2x0.05+0.5x0.15+0.3x0.3

34.张三欲与李四通话：李的机子为分机电话，假设张接通总机的概率为80%,李的分

机占线的概率为10%,求张三与李四通话的概率.

34.□.

35.加工某一零件需要经过四道工序，只要一道工序出次品，就认为该零件是次品.设

第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05003,假定各道工序是相互独立的，求

加工出来的零件的次品率.

35.设Ai=｛第i道工序出次品｝(i=l,2,3,4).

P(：4)=1-P(无无A否

/=1

=I-P(W)P(H)P(A)PW)

=1-0.98x0.97x0.95x0.97=().124.

36.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至

少有一人能将此密码译出的概率是多少？

36.设Ai=｛第i人能破译｝(i=l,2,3),则

P(JAi)=\-p(AAA)=1-P(4)PW)P(A)

37.一工人看管三台机床，在一小时内甲乙丙三台机床需工人照看的概率分别是0.9,

0.8和0.85,试求在一小时中

(1)没有一台机床需要照看的概率？

(2)至少有一台机床不需要照看的概率？

(3)至多只有一台机床需要照看的概率？

37.(1)0.003.(2)0.388(3)0.059

，♦•

38.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标

被击中，求它是甲射中的概率.

38.□.

39.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.405,().7,若只有

一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人

都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率.

39.设A=｛飞机被击落｝,8仁｛恰有i人击中飞机｝,i=0,l,2,3

由全概率公式，得

3

/=o

=(0.4X().5X0.3+0.6X().5X0.3+0.6X().5X0.7)().2+

(0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7)0.6+04X0.5X0.7

=0.458.

*****

40.设A,B为随机事件，且P(B)>0,P(A|B)=l,试比较P(AUB)与P(A)的大小.

40.因.

P(A3)=P(A)+P(8)-P(A3)

P(AB)=P(B)P(A\B)=P(B)

所以P(AUB)=尸(A)+P(B)-P(B)=P(A).

41.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的

号码.(1)求最小号码为£的概率；(2)求最大号码为5的概率.

C21C21

41.(1)看=一；(2)2=—.

党12金20

42.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

42....

43.在11张卡片上分别写上probability这11个字母,从中任意连抽7张，求其排列

结果为ability的概率.

43..

44.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次而

接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

44.(1)□；(2)□.

45.某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回

后仍为“MAXAM”的概率.

45.□.

45.解字母脱落2个有5种：脱落MX,AX,MA,AA,MM,分别记为口，放回后仍为

“MAXAM”记为□.脱落的总数口，

P(B/A)=1u=l,2,3,尸(B/A)=l,i=4,5

由全概率公式

52

尸(8)=ZP(4)P(B/A)=E

i=\o

46.设一个口袋中有6个球，令依次表示这6个球分别为4红，2白；3红，3白；

2红，4白.设验前概率为.现从这口袋中任取一球，得到白球，求相应的睑后概率.

46.□,

46.解，，，

由全概率公式

317

尸⑷2P⑻尸⑷昨正

P(B)P(A/B)3

「如上黑产陪尸(0)=22

P(A)17,

P(B3)P(A/BJ=8

P(员")=

P(4)~17,

47.随机地向半圆0<y<(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面

积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于n/4的概率为多少？

47.利用几何概率来求，图中半圆面积为na2.阴影部分面积为

兀212

—a+—矿

42

故所求概率为

7T212

Cl~H--CI[[

n_42

P--\----------—彳十一•

1_22兀

一兀。

2

48.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习

的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：

(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？

(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

48.设A=｛被调查学生是努力学习的｝,则=｛被调查学生是不努力学习的｝.由题意知

P(A)=0.8,PC)=0.2,

又设B二｛被调查学生考试及格｝.由题意知P(B|A)=0.9,P(|)=0.9,故由贝叶斯公式知

⑴总网=*一—尸(%「

P(B)P⑷P(同A)+P(A)P(同A)

02x0.1

--=0.02702

0.8x0.94-0.2x0.137

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%

尸(AB)=如幽=:4)P(剧f)__

⑵

P(B)P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)

0.8x0.14

—=0.3077

0.8x0.1+0.2x0.913

即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

49.将两信息分别编码为和传递出去，接收站收到时，被误收作的暇率为0.02,

而被误收作的概率为0.01.信息与信息传送的频繁程度为.若接收站收到的信息

是，问原发信息是的概率是多少？

49.□.

49.【解】设A二｛原发信息是A｝,则二｛原发信息是B｝

C=｛收到信息是A｝,则=｛收到信息是B）

由贝叶斯公式，得

P(4)P(C|A)

P（川。）=

P(4)P(qA)+P(N)P(cR)

2/3x0.98196八“小一

=__________________=___=099492

2/3x0.98+1/3x0.01197一

50.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试

求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）

50.设Ai=｛箱中原有i个白球｝（i=0,l,2）,由题设条件知P（Ai）=，仁0,1,2.又设B=｛抽出

一球为白球｝.由贝叶斯公式知

p（AB）_P（8|4）P（A）

尸（4网=

?⑻网a）产⑷