数据结构与算法实战教程指南

数据结构与算法实战教程指南

第1章算法概述与数学基础........................................................4

1.1算法与数据结构的关系.....................................................4

1.2时间复杂度与空间复杂度..................................................4

1.2.1时间复杂度.............................................................4

1.2.2空间复杂度.............................................................4

1.3数学基础：递归与分治....................................................4

1.3.1递归..................................................................4

1.3.2分治....................................................................5

第2章数组与字符串..............................................................5

2.1数组及其操作.............................................................5

2.1.1数组的定义.............................................................5

2.1.2数组的基本操作.........................................................5

2.1.3数组的应用实例.........................................................5

2.2字符串基础...............................................................6

2.2.1字符串的定义...........................................................6

2.2.2字符串的基本操作.......................................................6

2.2.3字符串的应用实例.......................................................6

2.3字符串匹配算法...........................................................6

2.3.1朴素的字符串匹配算法...................................................6

2.3.2KMP算法................................................................6

2.3.3BM算法................................................................6

2.3.4Sunday算法...........................................................7

第3章链表与递归.................................................................7

3.1单链表及其操作...........................................................7

3.1.1单链表的定义..........................................................7

3.1.2单链表的操作..........................................................7

3.2双链表与循环链表.........................................................7

3.2.1双链表...............................................................7

3.2.2循环链表.............................................................7

3.3递归实现链表操作.........................................................8

第4章栈与队列...................................................................8

4.1栈及其应用...............................................................8

4.1.1栈的定义与基本操作....................................................8

4.1.2栈的顺序存储实现......................................................8

4.1.3栈的链式存储实现......................................................8

4.1.4栈的应用实例.......................................................9

4.2队列及其应用.............................................................9

4.2.1队列的定义与基本操作.................................................9

4.2.2队列的顺序存储实现....................................................9

4.2.3队列的链式存储实现....................................................9

4.2.4队列的应用实例.........................................................9

4.3优先队列与堆............................................................9

4.3.1优先队列的定义与基本操作.............................................9

4.3.2堆的定义与操作.......................................................10

4.3.3堆的实现..............................................................10

4.3.4优先队列与堆的应用实例................................................10

第5章树与二叉树................................................................10

5.1树的基本概念与性质.....................................................10

5.1.1树的定义..............................................................10

5.1.2树的基本术语.........................................................10

5.1.3树的性质..............................................................11

5.2二叉树及其遍历..........................................................11

5.2.1二叉树的定义..........................................................11

5.2.2二叉树的性质..........................................................11

5.2.3二叉树的遍历..........................................................11

5.3线索二叉树与二叉树的应用................................................11

5.3.1线索二叉树............................................................11

5.3.2二叉树的应用..........................................................11

第6章图论基础..................................................................12

6.1图的基本概念与表示方法..................................................12

6.1.1图的定义与术语........................................................12

6.1.2图的表示方法..........................................................12

6.2图的遍历算法............................................................12

6.2.1深度优先搜索（DFS）...................................................12

6.2.2广度优先搜索（BFS）...................................................12

6.3最短路径算法...........................................................12

6.3.1Dijkstra算法.........................................................12

6.3.2BellmanFord凫法.....................................................13

6.3.3FloydWarshall算法...................................................13

第7章排序与查找................................................................13

7.1排序算法概述............................................................13

7.2常见排序算法实现........................................................13

7.2.1冒泡排序.............................................................13

7.2.2选择排序.............................................................13

7.2.3插入排序.............................................................13

7.2.4快速排序.............................................................13

7.2.5归并排序.............................................................14

7.2.6堆排序................................................................14

7.3查找算法概述...........................................................14

7.4哈希表与哈希杳找......................................................14

第8章动态规划..................................................................14

8.1动态规划基础...........................................................14

8.1.1动态规划原理.........................................................14

8.1.2动态规划的应用场景..................................................15

8.2背包问题.................................................................15

8.2.101背包问题............................................................15

8.2.2完全背包问题..........................................................15

8.3最长公共子序列与最长公共子串...........................................15

8.3.1最长公共子序列........................................................15

8.3.2最长公共子串..........................................................15

8.4动态规划与其他凫法结合的应用...........................................15

8.4.1动态规划与贪心算法....................................................16

8.4.2动态规划与分治算法....................................................16

8.4.3动态规划与深度学习....................................................16

第9章字符串算法进阶...........................................................16

9.1KMP算法.................................................................16

9.1.1KMP算法基础...........................................................16

9.1.2部分匹配表............................................................16

9.1.3KMP搜索过程...........................................................16

9.2Trie树与AC自动机......................................................16

9.2.1Trie树基础............................................................16

9.2.2Trie树的性质..........................................................17

9.2.3AC自动机..............................................................17

9.3后缀数组与后缀树........................................................17

9.3.1后缀数组..............................................................17

9.3.2后缀数组的性质与应用..................................................17

9.3.3后缀树.................................................................17

9.3.4后缀树的应用..........................................................17

第10章完法实战与优化..........................................................17

10.1算法实战案例分析.......................................................17

10.1.1案例一：最长公其子序列问题..........................................17

10.1.2案例二：01背包句题..................................................17

10.1.3案例三：Dijkstra算法求解最短路径问题...............................17

10.1.4案例四：KMP算法字符串匹配问题......................................17

10.2嵬法优化技巧...........................................................17

10.2.1时间复杂度优化.......................................................17

10.2.2空间复杂度优化.......................................................18

10.2.3动态规划优化.........................................................18

10.2.4分治算法优化.........................................................18

10.2.5贪心算法优化.........................................................18

10.3算法竞赛与面试技巧.....................................................18

10.3.1算法竞赛解题策略.....................................................18

10.3.2面试中常见算法问题及解答技巧........................................18

10.3.3克法面试题分析：排序与杳找..........................................18

10.3.4算法面试题分析：动态规划与贪心算法..................................18

10.4算法实战项目练习与总结.................................................18

10.4.1项目一：图像压缩与解压缩............................................18

10.4.2项目二：搜索引擎关键词提示功能......................................18

10.4.3项目三：社交网络好友推荐系统........................................18

10.4.4项目四：大数据处理与分析18

第1章算法概述与数学基础

1.1算法与数据结构的关系

算法与数据结构是计算机科学中的两个核心概念，二者相辅相成，共同构成

了程序设计的基础。数据结构是指计算机存储和组织数据的方式，而算法则是解

决特定问题的步骤或方法。在实际应用中，选择合适的数据结构可以显著提高算

法的效率，反之，高效的算法也需要依托于合理的数据结构来实现。

在本章中，我们将探讨算法与数据结构之间的关系，分析各种常见的数据结

构及其适用场景，并讨论如何根据实际问题选择合适的算法和数据结构。

1.2时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度和空间复杂度是衡量算法功能的两个重要指标。时间复杂度描述

了算法执行过程中所需要的时间资源，空间复杂度则描述了算法执行过程中所需

的存储资源。

1.2.1时间复杂度

时间复杂度通常用大0符号表示，它描述了算法执行时间与输入规模之间的

关系。例如，线性搜索算法的时间复杂度为0(n),表示搜索时间与输入数据规

模呈线性关系；而二分搜索算法的时间复杂度为0(logn),表示搜索时间与输

入数据规模呈对数关系。

1.2.2空间复杂度

空间复杂度同样用大0符号表示，它描述了算法执行过程中所需的存储空间

与输入规模之间的关系。例如，递归算法在执行过程中会占用额外的栈空间，其

空间复杂度通常为0(n)。

在本节中，我们将分析常见算法的时间复杂度和空间复杂度，并探讨如何优

化算法以提高功能。

1.3数学基础：递归与分治

递归与分治是算法设计中两种常用的数学思想，它们在解决复杂数学问题中

具有重要作用。

1.3.1递归

递归是一种自我调用的算法结构，一个递归算法包含两个基本部分：基线条

件（递归终止条件）和递归步骤。递归算法在解决具有重复子问题的问题时具有

简洁、易于理解的优点。

1.3.2分治

分治（DivideandConquer）是一种将复杂问题分解成若干个规模较小的子

问题，分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并为原问题的解的算法设计方

法。分治算法通常遵循以下三个步骤：

（1）分解：将原问题分解成若干个规模较小的子问题。

（2）解决：递归地解决这些子问题。

（3）合并：将子问题的解合并为原问题的解。

在本节中，我们将通过实例介绍递归与分治算法的设计方法，并分析它们在

解决实际问题中的应用。

第2章数组与字符串

2.1数组及其操作

数组是线性表的一种，其特点是元素类型相同，且按照一定顺序排列。数组

在程序设计中应用广泛，本章将详细介绍数组的定义、操作及其应用。

2.1.1数组的定义

数组是有限个相同类型数据的集合，其长度在定义时确定，不可更改。在大

多数编程语言中，数组通过指定元素类型和数组长度来定义。

2.1.2数组的基本操作

（1）访问元素：通过索引（下标）访问数组中的元素。

（2）遍历数组：按顺序访问数组中的每个元素。

（3）添加元素：在数组末尾添加新元素，若数组已满，则需要扩容。

（4）删除元素：删除数组中的某个元素，并将后续元素向前移动。

（5）查找元素：在数组中查找特定元素，返回其索引。

（6）排序：对数组中的元素进行排序。

2.1.3数组的应用实例

（1）求最大子数组和。

（2）二维数组中的查找。

（3）旋转数组的最小数字。

2.2字符串基础

字符串是由零个或多个字符组成的有限序列。在编程语言中，字符串通常被

视为字符数组。木节将介绍字符串的基本概念及其相关操作。

2.2.1字符串的定义

字符串是由单个字符组成的序列，可以是字母、数字、符号等。在大多数编

程语言中，字符串以'\0'（空字符）作为结束标志。

2.2.2字符串的基本操作

（1）字符串连接：将两个字符串连接成一个新的字符串。

（2）字符串截取：从字符串中提取一部分。

（3）字符串查找：在字符串中查找子串或字符。

（4）字符串替换：将字符串中的某个子串替换为另一个子串。

（5）字符串反转：将字符串中的字符顺序颠倒。

2.2.3字符串的应用实例

（1）字符串的逆序输出。

（2）字符串的左旋。

（3）判断字符串是否为回文。

2.3字符串匹配算法

字符串匹配算法是在一个字符串中查找另一个字符串的过程。本节将介绍几

种常用的字符串匹配算法。

2.3.1朴素的字符串匹配算法

朴素的字符串匹配算法是一种简单的逐个比较的方法。它将待匹配的字符串

（模式串）与主串从左至右逐个字符进行比较。

2.3.2KMP算法

KMP（KnuthMorrisPratt）算法是一种改进的字符串匹配算法，通过预处理

模式串，避免了朴素的字符串匹配算法中的重复比较。

2.3.3BM算法

BM（BoyerMoore）算法是一种高效的字符串匹配算法，它从模式串的末尾开

始比较，采用坏字符规则和好后缀规则进行跳过。

2.3.4Sunday算法

Sunday算法是一种简单而高效的字符串匹配算法，通过在模式串中查找与

主串不匹配的字符，并跳过尽可能多的字符，提高了匹配效率。

第3章链表与递归

3.1单链表及其操作

3.1.1单链表的定义

单链表是一种线性数据结构，它由一系列节点组成，每个节点包含数据域和

一个指向下一个节点的指针。单链表中的节点通常包含两个部分：数据域和指针

域。

3.1.2单链表的操作

以卜为单链表的基本操作：

（1）初始化链表：创建一个空链表，即头节点为空。

（2）创建链表：通过插入节点的方式，将数据元素依次加入链表中。

（3）插入节点：在链表的指定位置插入一个新节点。

（4）删除节点：删除链表中的指定节点。

（5）查找节点：在链表中查找具有特定数据的节点。

（6）遍历链表：从链表的第一个节点开始，逐个访问链表中的所有节点。

（7）销毁链表：释放链表占用的内存空间。

3.2双链表与循环链表

3.2.1双链表

双链表是一种特殊的链表，它的每个节点包含两个指针：一个指向前一个节

点，另一个指向下一个节点。双链表具有以下特点：

（1）双向性：双链表的节点具有指向前一个节点和后一个节点的指针，可

以实现双向遍历。

（2）对称性：双链表的插入和删除操作在时间和空间复杂度上相对较高，

但具有对称性。

3.2.2循环链表

循环链表是一种特殊的单链表，其尾节点的指针指向头节点，形成一个环状

结构。循环链表的特点如下:

（1）循环性：尾节点的指针指向头节点，形成一个环状结构。

（2）遍历方式：循环链表可以使用头节点进行遍历，也可以使用尾节点进

行遍历。

3.3递归实现链表操作

递归是一种强大的编程技术，可以用于实现链表的相关操作。以卜为递归实

现链表操作的部分示例：

（1）递归插入节点：在链表的指定位置插入一个新节点。

（2）递归删除节点：删除链表中的指定节点。

（3）递归查找节点：在链表中查找具有特定数据的节点。

（4）递归逆序链表：使用递归实现链表的逆序。

通过递归实现链表操作，可以使代码更加简洁，提高程序的可读性。但同时

需要注意递归调用的深度，避免栈溢出等问题。

第4章栈与队列

4.1栈及其应用

4.1.1栈的定义与基本操作

栈是一种特殊的线性表，其插入和删除操作都只在表的一端进行。这一端被

称为栈顶，另一端为栈底。栈遵循“后进先出"（LastInFirstOut,LIFO）的

原则。

基本操作包括：

初始化：创建一个空栈。

入栈（Push）：将元素插入栈顶。

出栈（Pop）：从栈顶移除元素。

获取栈顶元素：获取栈顶元素但不移除。

判空：判断栈是否为空。

4.1.2栈的顺序存储实现

栈的顺序存储结构通常使用数组实现。设置一个top变量来指示栈顶位置。

4.1.3栈的链式存储实现

栈的链式存储结构使用链表实现，称为链栈。链栈的每个节点包含数据和指

向下一个节点的指针。

4.1.4栈的应用实例

数制转换：利用栈实现十进制到其他进制的转换C

括号匹配：使用栈检查括号是否正确配对。

后缀表达式求值：利用栈计算后缀表达式的值。

4.2队列及其应用

4.2.1队列的定义与基本操作

队列是另一种特殊的线性表，其插入操作在一端进行，而删除操作在另一端

进行。遵循“先进先出"(FirstInFirstOut,FIFO)原则。

基本操作包括：

初始化：创建一个空队列。

入队(Enqueue)：在队列的尾部插入元素。

出队(Dequeue)：从队列的头部移除元索。

获取队首元素：获取队列头部元素但不移除。

判空：判断队列是否为空。

4.2.2队列的顺序存储实现

队列的顺序存储结构通常使用数组实现，设置头指针和尾指针来指示队列的

头部和尾部。

4.2.3队列的链式存储实现

队列的链式存储结构使用链表实现，称为链队列。链队列的每个节点包含数

据和指向下一个节点的指针。

4.2.4队列的应用实例

斐波那契数列：使用队列实现斐波那契数列的计算。

广度优先搜索(BFS)：在图论中，使用队列进行广度优先遍历。

4.3优先队列与堆

4.3.1优先队列的定义与基本操作

优先队列是一种抽象数据类型，元素的插入操作和删除操作都基于元素的优

先级进行。

基本操作包括：

插入：将元素按照优先级插入优先队列。

删除：删除具有最高优先级的元素。

获取最高优先级元素：获取最高优先级的元索但不移除。

4.3.2堆的定义与操作

堆是一种特殊的树形数据结构，具有以卜特性：堆的每个父节点的值都大于

或等于（最大堆）或小于或等于（最小堆）其子节点的值。

基本操作包括：

初始化：创建一个空堆。

插入：将元素插入堆中并调整堆结构。

删除：删除堆顶元素并调整堆结构。

获取堆顶元索：获取堆顶元素但不移除。

4.3.3堆的实现

堆通常使用数组来实现，通过调整堆中的元索位置来维护堆的特性。

4.3.4优先队列与堆的应用实例

资源分配：利用优先队列实现资源的优先级分配C

数据排序：使用堆排序算法对数据进行排序。

第5章树与二叉树

5.1树的基本概念与性质

5.1.1树的定义

树（Tree）是一种非常重要的数据结构，用于模拟具有层次关系的数据集合。

树是由n（n^O）个有限节点组成的一个具有层次关系的集合。当n=0时，称为

空树；当n〉0时，树由一个根节点和若干颗子树组成。

5.1.2树的基本术语

（1）根节点：树的最顶层节点，没有父节点。

（2）子节点：某个节点的直接后继节点。

（3）父节点：某个节点的直接前驱节点。

（4）兄弟节点：具有相同父节点的节点。

（5）路径：从根节点到某个节点所经过的节点序列。

（6）节点的层次：从根节点开始，根节点为第1层，它的子节点为第2

层，以此类推。

（7）树的深度（高度）：树中最大层次数。

（8）森林：由m520）棵互不相交的树组成的集合。

5.1.3树的性质

（1）树中的节点数等于所有节点的度数加1。

（2）树的深度至少为log2（nl）。

（3）树的度数最大为nl（完全二叉树）。

5.2二叉树及其遍历

5.2.1二叉树的定义

二叉树（BinaryTree）是树的一种特殊形式，每个节点最多有两个子节点，

通常称为左子节点和右子节点。

5.2.2二叉树的性质

（1）在二叉树的第i层上，最多有2c（il）个节点。

（2）深度为k的二叉树最多有2工1个节点。

（3）对任何非空二叉树，若终端节点（叶子节点）数为n0,度为2的节

点数为n2,则有n0=n21。

5.2.3二叉树的遍历

（1）前序遍历：先访问根节点，然后前序遍历左子树，最后前序遍历右子

树。

（2）中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根节点，最后中序遍历右子

树。

（3）后序遍历：先后序遍历左子树，然后后序遍历右子树，最后访问根节

点。

5.3线索二叉树与二叉树的应用

5.3.1线索二叉树

线索一叉树（ThreadedBinaryTree）是对一叉树的一种改进，通过线索化

的方法将二叉树的空指针域利用起来，存储某种遍历方式下的前驱或后继节点。

5.3.2二叉树的应用

（1）二叉搜索树（BinarSearchTree,BST）：左子树的所有节点小于根

节点，右子树的所有节点大于根节点。可用于有序数据的插入、删除和查找操作。

(2)哈夫曼树(HuffmanTree)：用于数据压缩，通过构建哈夫蛀树和哈

夫曼编码，实现最优编码.

(3)平衡二叉树(AVLTree)：在二叉搜索树的基础上，通过旋转操作保

持树的平衡，避免查找功能卜降。

第6章图论基础

6.1图的基本概念与表示方法

6.1.1图的定义与术语

图是一种由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。在图论中，点通

常被称为顶点，边则是连接任意两个顶点的线段。本章将介绍图的几种基本概念

和术语，包括有向图与无向图、连通图与强连通图、简单图与多重图等。

6.1.2图的表示方法

图的表示方法主要有邻接矩阵、邻接表和邻接多重表。邻接矩阵是一种二维

数组，其中的元素表示顶点之间的连接关系。邻接表由一个数组构成，数组的每

个元素对应一个顶点，每人元素包含一个链表，链表中包含与该顶点直接相连的

所有顶点的信息。邻接多重表是邻接表的扩展，可以表示带权的图和无向图。

6.2图的遍历算法

6.2.1深度优先搜索(DFS)

深度优先搜索算法是一种用于遍历或搜索树或图的算法。从图的某个顶点开

始，深度优先搜索沿着路径深入直到该路径的最后一个顶点被访问，然后回溯至

之前的顶点，继续寻找下一条路径。该算法使用递归或栈实现。

6.2.2广度优先搜索(BFS)

广度优先搜索算法是一种先访问最近的顶点，再逐渐向外扩展的遍历方法。

从图的某个顶点开始，广度优先搜索首先访问该顶点的所有邻接顶点，然后再对

这些邻接顶点进行同样的操作。该算法通常使用队列实现。

6.3最短路径算法

6.3.1Dijkstra算法

Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的一种贪心算法。它从源点开始，

逐步找到与源点相连的最短路径，更新源点到所有顶点的最短距离。该算法适用

于带有非负权重的图。

6.3.2BellmanFord算法

BellmanFord算法是求解带有负权边的单源最短路径问题的算法。该算法通

过松弛操作逐步找到从源点到所有顶点的最短路径。与Dijkstra算法相比，

BellmanFord算法可以处理带有负权边的图，但计算效率较低。

6.3.3FloydWarshall算法

FloydWarshall算法是求解所有顶点对之间的最短路径的动态规划算法。它

通过迭代更新一个二维数组，逐步找到任意两个顶点之间的最短路径。该算法适

用于求解带有负权重的图，但不能处理包含负权回路的情况。

第7章排序与查找

7.1排序算法概述

排序算法是计算机科学中非常基础旦重要的内容，它的主要目的是将一组无

序的数据按照某种规则进行排列，以便快速地查找和访问。排序算法的好坏直接

影响到程序的功能。本章将介绍几种常见的排序算法，并分析它们的时间复杂度

和空间复杂度。

7.2常见排序算法实现

7.2.1冒泡排序

冒泡排序(BubbleSort)是一种简单的排序算法，通过相邻元素的比较和

交换，使得每一趟循环后最大(或最小)的元素被交换到数组的末尾(或开头),

从而逐步得到有序数组。

7.2.2选择排序

选择排序(SelectionSort)也是一种简单的排序算法，它每次循环找到未

排序部分的最小(或最大)值，将其放到已排序部分的末尾(或开头)，直到整

个数组有序。

7.2.3插入排序

插入排序(InsertionSort)通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排

序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，通常采用

inplace排序(即只需用到0(1)的额外空间的排序)。

7.2.4快速排序

快速排序(QuickSort)是一种高效的排序算法，采用分治策略，通过一趟

排序将待排记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的

关键字小，则可以分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。

7.2,5归并排序

归并排序(MergeSort)是采用分治法的一个非常典型的应用。它将已有序

的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间

有序。

7.2.6堆排序

堆排序(HeapSort)是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆

积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子节点的键值或索

引总是小于(或者大于)它的父节点。

7.3查找算法概述

查找算法是计算机科学中的另一个重要领域，主要目的是从一个数据集合中

找出某个特定的元素，或者验证一个元素是否存在于该集合中。查找算法的效率

同样关系到程序的功能。

7.4哈希表与哈希查找

哈希表(HashTable)是一种数据结构，它通过哈希函数来计算数据的存储

位置，以支持快速的数据查找。哈希查找是通过关键字通过哈希函数计算出的哈

希值来确定数据存储的位置，从而直接访问数据，提高了查找的效率。

哈希表的关键技术包括：哈希函数的设计、冲突解决方法以及哈希表的动态

调整。常见的冲突解决方法有开放定址法和链地址法。通过这些技术，哈希查找

的平均时间复杂度可以达到0(1)O

第8章动态规划

8.1动态规划基础

动态规划(DynamicProgramming,简称DP)是一种用于求解最优化问题的

算法思想。它将复杂问题分解为多个子问题，通过求解子问题并将子问题的解存

储起来以供后续使用，从而避免了重复计算。本节将介绍动态规划的基本概念、

原理和应用。

8.1.1动态规划原理

动态规划的核心思想是将问题分解为相互重叠的子问题，并通过递归的方式

来求解这些子问题。动态规划主要包括以下几个步骤:

(1)定义状态：将问题中的关键信息抽象成状态，并定义状态之间的关系。

(2)确定状态转移方程：根据状态之间的关系，推导出状态转移方程。

(3)确定边界条件：确定初始状态和递归终止条件。

(4)计算最优解：从边界条件开始，按照状态转移方程递推求解，最终得

到最优解。

8.1.2动态规划的应用场景

动态规划适用于具有以卜特点的问题：

(1)最优化问题：要求解的问题具有最优解。

(2)子问题重叠：问题的解可以通过组合子问题的解得到。

(3)无后效性：子问题的解一旦确定，就不会受到后续计算的影响。

8.2背包问题

背包问题(KnapsackProblem)是一种典型的动态规划问题。给定一组物品，

每个物品都有一定的价值和重量，现要选择若干个物品放入一个容量有限的背包

中，使得背包中的物品价值最大。

8.2.101背包问题

01背包问题是背包问题的一种特殊情况，即每个物品只能选择0个或1个。

8.2.2完全背包问题

完全背包问题是背包问题的另一种特殊情况，即每个物品可以选择任意数

量。

8.3最长公共子序列与最长公共子串

最长公共子序列(LongestCommonSubsequence,简称LCS