《两角差的余弦公式》教学设计

《两角差的余弦公式》教学设计

一、教学任务分析：

本课时的中心任务是建立两角差的余弦公式，通过简单应用，使学生初步理

解公式的结构及其功能，并建立其和（差）角公式打好基础。从教科书编写来看,

本节需要突出建立公式过程的探索性。教科书努力避免直接呈现逻辑推理过程，

而是鼓励学生独立探索，这就要求教师在教学中要提出能引起学生思维的问题，

而不能把结果过早的告诉学生，又要组织学生探索，并对学生的探索活动作出适

当引导，把握其中的度是顺利完成教学任务的关键。

二、教学重点难点：

重点：通过探索得到两角差的余弦公式。

难点：探索过程的组织和适当引导。这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过

程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学的知识和方法的能力问题，等

等。

三、教学基本流程：

特例引课一明确探索目标及途径一组织学生自主探索一学生类比特殊情况

进行一般化的证明一教师引导反思再完善—通过例题和练习加强对公式的理解

一小结反思再学习一布置课后探究任务。

四、教学设计：

1、问题情境导课：

师提出问题：我们已知了一些特殊角的三角函数值，比如30。、45。、60。等，那

么他们和差的三角函数值与其有怎样的关系呢？特别地，cosl5。能否转化成特殊

角的三角函数值求解？

预设学生作答为：cos15°=cos（45°-30°）=cos45°-cos30°巫--

22

师提出问题：在学生发现cosl5o=cos（450-30。）*8s45。-cos30。的基础上，

让学生大胆猜想COS15。与那些值有关？

设计意图：明确研究的问题，尽量具体化，激发学生研究的兴趣，通过问题引导

学生的思考方向，为本节课的学习作铺垫。

2、创设特殊问题情境，自主探究：

师提出探究问题1：如何用30。、45。的正弦、余弦值求出cosl5。的值？

师点课题：更一般地，当a、是任意角时，能不能用。、〃的正弦、余弦值把

。土夕的余弦值表示出来？这就是本节课我们要研究的《两角和差的余弦公式》。

师设计问题串指明研究方法和方向:

问题1：如图1,已知角a,如何求的sina、cosa值?

问题2：如图2,三个角有怎样的关系，能否构造为。、0、a土。呢?如何将

15。、30。、45。画在同一直角坐标系中？

3：从这两个图出发，能用哪些几何量来表示cosl5。，并和3()。、45。的正弦、余弦

值建立联系呢？

设计意图：明确研究方法，一法构造直角三角形利用三角函数线表示角的正弦余

弦值；二法在单位画中角的正弦，余弦值与点的坐标可对应，这样就把代数计算

与几何直观建立了联系。引导学生用几何直观寻找cosl5。与30。、45。的正弦，余

弦值的关系。同时引导学生在同一图中做出15。、30。、45。，只要做出两个a、/?,

就有“现成”的角a/。这样做主要有两个作用：1、是加强新旧知识的联系性;

2、是学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识，

学生自主探究和成果展示：

预设作答1：三角函数线法：用三角函数线计算cos15。的值。

如图,过P作PM_LOM于M,Rijcosl5°=OM,1

_一

过P作PAJ.OQ于A,贝lJPA=sin30o=B，

OA=cos30°=y^,过A作ABJ_OM于B,

则0B二OAxcos45。=

过P作PC_LAB于C,则NPAC=45。，

BM=PC=APxsin45°=—,一

4

cosl50=OM=OB+BM=-—.

4

预设作答2：向量法：用向量夹角计算cosl5。的值。

如图，OA=(cos45°,sin45。),砺=(cos30°,sin30°)

/I

/.OA^OB=cos30°cos450+sin30°sin45°

且网囱=]1°X

1COOA.OBV6+V2

’8小=|可西一4

预设作答3：两点间距离公式：利用相等的角所对的弦相等

计算cos15。的值。

如图,、•A=(cos45°,sin45°),B=(cos300,

C=(cosl5°,sinl5°i,D(1,0)

由AB=CD得

J(cos450-cos3O0)2+(sin450-sin300)2

=V(COS15°-1)2+(sinl50-0)23D"

cos15°=cos300cos450+sin30°sin45°

设计意图:对比向量法既简单又具有一般性，为一般性证明作铺垫。同时由特殊

到一般进行推广，类比特殊情形下两个角的正弦、余弦值与其差角的余弦值的关

系进行大胆猜想，并类比其推导过程对一般性的结论进行证明。

3、类比猜想，推理论证：

师提出探究问题2：类比特殊情形，当万是任意角时，如何用的/正

弦，余弦值来表示cos(a/)?并类比特殊情形证明你的猜想。

学生自主探究和成果展示：

预设作答：

如图,丁0A=(cosa,sina)tOB=(cos/7,sin0),

且画.画=1

/o\OA»OB„.q

cos(a-p)=Y[=cosacosp+smtzsinp

师提出问题串并完善作答：

问题1：图中有现成的角a/,。力是向量次,彷所成夹角夕(〈赤，赤〉=，)吗？

,:a-0=9+2k兀、keZ:.cos(a-j3)=cos0

问题2：角a、夕的位置关系一定如此吗？还有其他情况吗？

上述推导还成立吗？为什么？—

如右图,此时•./-a=6+2仁万,)eZ且cos(夕-cr)=cos(a/)

/.上述但正仍成立。

设计意图：对探索过程进一步严格化，让学生通过经历用向量知识解决数学问题

的过程体会向量方法的优越性。同时通过学生自主展示和教师及时引导，有意训

练学生思维的有序性和表述的准确性。

4、知识生成，深度剖析：

师点明知识点+多媒体展示+板书：

对于任意角a、P,有cos(a-0=cosacosA+sinasin/此公式给出了任意

角的正弦、余弦值与其差角a/的余弦值之间的关系，称为两角差的余弦公式。

简记为：C(f

师提出探究问题3：利用两角差的余弦公式C-m，尝试推导cos(o+〃)=?

预设学生作答:

cos(a+/?)=cos(a-(/))，

一法:

再带入两角差的余弦公式即可;

二法：用/代换两角差的余弦公式中的夕可得。

师呈现知识点+多媒体展示:

对于任意角a、夕，有

两角和差的C<a+m:cos(a+尸)=cosacos^-sinasin/?,

正余弦公式：C(ar)：cos(a-〃)=cosacos/y+sinorsin/?

师提出问题：两角和差的余弦公式有怎样的结构特征？可以从角和函数名两

个方面思考。如何记忆？

学生作答+教师板书

公式特征：①任意角：②同名积；③符号反。

记忆方法：CCSS,符号反；或余余正正，符号反。

练习：用两角和差的余弦公式求值：(Deos15°：(2)cos75°；

并思考：sin15°=?

设计意图：1、简单练习熟悉公式；2、初步感受利用诱导公式进行正余弦的转换。

公式正用基础例题：

例1：已知sina=g,aw冷乃),85万二一卷，尸是第三象限角，求cos(a“)的值。

思考：去掉条件是第三象限角，计算过程还一样吗？

设计意图：通过本例使学生掌握两角和差余弦公式的正用，体会数学表述的规范

和严谨。引导学生注意①使用公式前作出的必要准备，两个角的正弦、余弦共四

个值；②利用平方关系计算角的正弦余弦值时，需注意先确定角所在象限，从而

判断角的正弦余弦值的正奂。

公式逆向使用基础例题：

例2：化简计算：

(1)cos20°cos70°-sin20°sin700；

(2)cos80°cos20°+sinl00°sin380°；

(3)cos40°cos700+cos20°cos50°；

(4)8s(0+21o)cos(0-24°)+sin(0+21°)sin(〃-24°).

设计意图：通过本例使学生初步认识三角变换的核心统一角，统一函数名及整体

的思想。

知识迁移，用两角和差的余弦公式证明诱导公式：

例3：用两角和差的余弦公式证明下列诱导公式：

(1)cos(4-a)=-cosa；(2)cos(]+a)=-sintz

学生口头作答+多媒体展示：

证明：(1)左边二cos/rcosa+sin乃sina=-cosa=右边;

(2)左边二cos工cosa-sin巳sina二-sina=右边；

22

设计意图：初步感受，由两角和差余弦公式中角a、夕的任意性，可对其任意赋

值，为接下来的学习做铺垫。

师提出探究4：由两弟和差余弦公式出发，对a、夕合理赋值，请你试一试

还能得到些什么？

设计意图：进一步强调角的任意性和换元思想。同时培养学生发散思维，为接下

来两角和差的正弦公式以及二倍角公式的推导作铺垫。

5、课堂小结：谈一谈这节课你有什么收获？

在学生小结的基础上，老师补充今天由特殊到一般的发现之旅是许多数学定

理发现过程的缩影。正如数学家G・波利亚所说：“在你证明一个数学定理之前,

你必须猜想到这个定理，在你搞清楚证明的细节之前，你必须猜想证明的主导思

想。”

6、知识迁移，提出课后探究：

从下面两个图出发，类比特殊情形尝试直接推导cos(a±0和sin(a±〃),

特别地，cos(a+0任意性的证明，课本138课B组第四题给出了图形提示。

五、课后反思：

《两角和差的余弦公式》本节课的主要任务是，两用和差的余弦公式的推导

和简单应用。这节课是本单元的开篇公式，它是后续公式推导的基础，地位十分

重要。推导的过程综合运用了解析几何、平面几何、三角函数、代数的恒等变形

的知识，体现了数学中数形结合、构造、转化与化归的数学思想和方法，我觉得

是培养学生数学素养的良好题材。这节课是一节以公式推导为主，无论是从公式

的来历，还是从公式的推导都有些难以把握。教材中一开始以实际问题情景导课,

公式推导先用三角函数线证明两角为锐角的情形，课本证明过程采用夹叙夹议的

形式呈现，针对学情，我主要作了特殊化处理，在特殊情况的基础上猜想再用向

量知识进行一般性的证明。以此降低难度，使学生能够在教师适当的引导下完成

自主探究。我就这节课教学中的基于教学理念的教学设计和教学预设与课程生成

这两方面做以下儿点反思：

1、反思基于教学理念的教学设计：新课程理念的灵魂是三个教学目标的整

合，关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。态度和

情感价值观需要学生参与获得。因此课堂教学中要重视学生的参与、体验过程，

但老师的指导作用也不可忽视，没有老师的引导，学生的行动、思维就很难达到

一个较高的程度。教师通过创设激发学生学习欲望的数学情境，营造积极的活跃

的学习氛围，才能使学生参与我们的教学中来。为了实现三维目标，本节课我设

计本节课以四个探究为主线，以多个问题串为导引，由特殊到一般推理论证，再

到剖析知识，应用提升，知识迁移，课堂小节，课后探究任务层层深入，可以说

坚持以切实落实“以学生为主体，教师为主导”的教学理念。但实际教学中却存

在一些不完美，具体说明如下：

(1)探究1设置太过具体，使学生思维受困，扼杀了更多可能性，比如学生

计算过程中事实上也很自然地算了sinl5。，只是在作答过程中被我制止了；

(2)知识回顾以两个问题为导引，问题意图让学生明确研究方法，将角的正

弦，余弦值的代数计算与几何直观建立了联系，此目标达成很顺利。再用几何直

观寻找cosl5。与3()。、45。的正弦，余弦值的关系，这就需要引导学生合理构图。

因此设置了问题2：如图2,三个角有怎样的关系，能否构造为a、0、a±力呢？

这样的设计无疑是“诱导”学生只要做出两个a、0,就有“现成”的角a/。

这样扼杀了学生其它的可能性，于是在探究1的生成过程中学生只是呈现了两种

预设，第三种情况就没有出现，这其实是很遗憾的。

在实际教学过程中，教学三维目标实施的有效度与教师的引导过程中度的把

握和创设的问题情景与学情的契合度密不可分，甚至可以说起着决定性作用。问

题设计太过灵活，怕偏离主线，但问题设计太过刻板，乂怕“扼杀”的学生思维

的更多可能性，错失教育的契机。在以后的教学中我再接再厉，更多的关注三维

目标的实施与落实。

2、反思教学预设与课程生成：创设问题情境：针对这节课的课题，从课题

分析中提出问题，教师鼓励学生大胆猜想，并验证。学生学习的积极性得到了

充分的调动，思维活跃。俗话说，擒贼先擒王，两角差的余弦公式就是他们中的

“王”！我们从两角差的余弦公式研究起。这样，才能变本节知识纳入本单元的

知识结构中。两角差的余弦公式的探究过程：分成两部分完成，一是公式的准备

工作，有两项：三角函数的几何表示和向量相关知识；二是公式的推导步骤由两

个特殊角的正余弦值与其差的余弦值，推广到任意两角的正余弦值与其差角的