数字信号处理及应用数字滤波器的格型结构

附录C数字滤波器的格型结构

第五章中分别介绍了HR和FIR数字滤波器系统的几种网络结构，它们各具有特点。本

节将介绍一类对有限字长效应不太敏感，且适合于递推算法的格型(Lallice)网络结构，它

在数字语音处理、自适应滤波、线性预测及谱估计等领域得到了广泛的应用。本节分别介绍

全零点(FIR)格型滤波器和全极点(IIR)格型滤波器。

C.1全零点格型漉波器

一个长度为M+1(或阶数为M)的FIR滤波器的系统函数为

MM

“⑶==1+B⑶(C-1)

r=0

其M级格型结构如图C-1所示，它可以看成是由图C-2所示的全零点格型结构的基本单元

级联而成。

图C-2全零点格型结构的基本单元

在图C-2所示的基本单元中，其输入、输出关系为

(C-2a)

〃?=1,2,…,M(C-2b)

式中，格型滤波器系数"[6=1,2,…,M)也称为其反射系数。实际上，确定FIR系统的M级

全零点格型结构的过程，主要就是根据系统函数或差分方程求格型滤波器系数鼠的过程。

由图(C-1)可见，绘(〃)和石(〃)与滤波器输入信号x(〃)相同，M级格型滤波器的输出

为为5),即

X(〃)=/(〃)=%(〃)(C-2c)

y(〃)=eM(/:)(C-2d)

式(C-2c)说明输入信号x(〃)同时为第一级单元的两个输入，且整个网络的输出由最后一级的

一个输出所决定。将式(C2a卜式(C-2d)分别进行Z变换，可得

(z)+V/?„,_,(£),6=1,2,…,M(C-3a)

R,”(z)=%,£i(z)+z"e(z)，加=1,2,…,M(C-3b)

X(z)=4(z)=K)(z)(C-3c)

(C-3d)

r(z)=Ew(z)

将式(C-3a)、式(C-3b)写成矩阵形式，得

玛⑵]=1k/尸产T(Z)、

(C-4)

-z"1

g⑶厂限m人&1T(Z),

由于整个格型滤波器由M级单元格型级联而成，每个网络单元的两个输出为下一级网

络单元的输入，同时考虑式(C-2a)和(C-2b),故可得

/与(“1®产⑶、

J收

4(z)1

(C-5)

=n[；/八%⑵J

以⑶1=o°)ri1J/fn

y⑶=(io)X(z)(C-6)

)m--.WWV/

由式(C-6)可求出全零点格型网络的系统函数为

,-1\

H⑶湍o°)riL1k4

z-'

比如，当/=2时，有

'G(z)1

Y(z)=[\0]=[1°]X(z)

、&⑶k.\M

将其展开可得

2

y(z)=[l+a,+k\k?)z-'+k2z']x(z)

则

2

”(z)=l+(K+&]&)zT+k2z

与式(C-1)比较得

b2=k2

这样就可以求出二阶FIR滤波器的格型网络的系数人和心，从而实现对滤波器的求解，得

仁=1,k、=b、

\+b2

设M阶FIR滤波器系统函数为

H(z)=Z"'

/=n

格型滤波器系数心(〃2=1.2,M)。

b,=Z>；W)(C-7a)

b，=k,"(C-7b)

b；m-n=b*：k3,i=(C-7c)

1-幻

上面式中，=-Jo上式中下标表示系数序号；上标表示递推序号，从(M)开

始由大向小递推。注意式(C-7b)中，”丁=幺表示当递推到上标圆弧中的数字与下标相同时，

格型结构的系数"刚好与〃丁相等。

从上面的矩阵表示式和递推公式可看出只要任一个|3|=1,则算法就失效了。如果FIR

谑波器为对称滤波器，归一化后应有〃俨=1,根据上述递推公式一定有|七|=扇。=1,此

时递推算法失效。

用递推公式求解系数也十分繁琐，所幸的是MATLAB信号处理工具箱提供了专门的函

数可非常容易地求出反射系数。

下面给出重要的全零点格型滤波器MATLAB实现函数及调用格式：

K=tf21atcS)：已知FIR数字滤波器的直接型系数向量上返回反射系数向量K这里要

求d=1,若4产1则必须进行归一化处理。

6latc2tf(K)：已知格里滤波器的反射系数向最K,返回FIR滤波器的系数向最从

月atcflMK,x)：已知反射系数向量K和输入信号x,求得系统输出户

【例C-1]已知系统函数为H(Z)=0.96+2.0ZT+2.8Z-2+L5Z”,利用MATLAB求该系统

的格型结构。

解直接调用MATLAB函数结果为

»b=[0.96,2,2.8,1.5]./0.96=[1.00002.08332.91671.5625];

»K=tf21atc(b)

K=1.3899

0.2349

1.5625

画出如图C-4所示的直接型(见图C-4(a))和格型(见图C-4(b))结构。

Z-'z-1z-'

M”)•・1~；一~~i一~——►~>

0.96-'22.8-1.5

1~»一《匚一一~~»一__Iy(n)

(a)直接型

0.96

x(n)y(n)

1.3899’0.23491.5625

1.3899L23491.5625

\z

(b)格型

图C-4例C-1的滤波器结构

C.2全极点格型滤波器

一个全极点型的HR滤波器也可用格型网络表示，它可根据FIR格型网络变换而来。设

一个M阶全极点滤波器系统函数为

H(z)=-心——…=—⑶(C-8)

/=1

与式(C-1)比较看出，如果把FIR系统的8(z)求逆，则形式与全极点形式完全相同。所以全

极点的HR为M阶FIR格型网络的逆系统，其格型网络可利用FIR系统得来。图C-5所示

为一个M阶全极点格型网络，其网络单元如图C-6所示⑵。

图C-5全极点格型滤波器

图C-6全极点格型结构的基本单兀

在图C-6所示的基本单元中，其输入、输出关系为

55)=e,n_1(〃)+k,n*(〃-1)"2=1,2,…,M(c-9a)

Q(〃)=kmem_x(〃)+*(//-I)〃?=1,2,…,M(C-9b)

)，(〃)=%(〃)=%(〃)(C-9c)

x(〃)=(n)(C-9d)

对式(C-9)求Z变换得

E,n(z)=E吁］(z)+kmz''(z)"?=1,2,…,M(C-10a)

R式Z)=幺及I(z)+z-'⑶m=1,2,...,A/(C-1Ob)

y(z)=E°(z)=9(z)(C-IOc)

X(z)=&(z)(C-lOd)

将式(C-10a)、式(C-lOb)写成矩阵形式为

'E叫/132T(Z)、

S(z)z“人("z),

式(C-11)表明了格型网络输出与前一级输出的递推关系。按照格型网络的级联结构，若最后

一级的输出为£“(Z)o将(Z)代入式(C-1Od)可得

X⑵=(1。倒小=(1°)[nDY：T|(%(z)(C-12)

\z)J\_m-MZJJV7

将式(C-12)与式(C-6)比较，两者只有输入X(z)和y(z)在公式中互换了位置.，由此证明全零

点格型网络与全极点格型网络的系统函数互为倒数。所以可以按照系统求逆准则从M级全

零点网络系统,(z)得至ijM级全极点网络系统1/人”⑶。

系统求逆具体步骤如下。

(1)交换输入和输出的位置；

(2)改变输入至输出的全部无延时支路的信号流向，井把该支路的增前取倒数；

(3)把指向该支路的各节点的其他支路增益乘-1。

既然与FIR格型滤波器相同，IIR滤波器的系数求法应相同，矩阵法和递推公式也相同。

故仍可用MATLAB信号处理工具箱的delate函数。

调用格式为K=tf21ate①)；该函数在已知全极点【IR滤波器直接型系数向最，则返回格型

谑波器反射系数向量。

【例C-2]全极点HR滤波器由下式给出，利用MATLAB求它的格型网络。

13"-2-

1+—z+-z+-Z

2483

解MATLAB程序如下:

»a=[l,13/24,5/8,1/3];

»K=tf21alc(a)

K0.2500

0.5000

0.3333

将所得系数填入图C-5相应的位置即可。

对于一般的IIR数字滤波器系统函数既含有零点，又有极点，这种滤波器的格型网络可

以全极点格型作为基本框架来实现。由于对一个含有零极点的格型网络的分析十分复杂，下

面只作简单介绍。

一个一般的IIR系统函数可表示为

H(z)=,N2M(C-13)

l+»k

1-1

首先根据式(C-13)的分母多项式，实现以系数却为系数的全极点格型网络。然后在该图上增

加一个梯形部分，将乙,(〃)进行线性加权组合以得到系统的输出，即,

y(〃)=Zg/(〃)

(=0

式中，号为梯形系数，8的选取取决于“⑶的分子部分。系统的格型结构如图C-7所示,

图C-7具有零极点的