数列通项公式经典例题解析

求数列通项公式

一、公式法

类型14川=4+/(〃)

解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等

差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数

列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公

式。

练习题：

L已知数列满足，求数列的通项公式。

2.已知数列满足，，求

例2已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得贝1|

a

n=⑷一一4,L2)+…十(〃3一)+(〃2.4)+Cl\

=12(/?-1)+1J+12(>?-2)+1]+--.+(2X2+1)+(2X1+1)+1

=2[(〃-1)+(〃-2)+・・.+2+1]+(〃-1)+1

=2空至+("1)+1

2

=(/?-1)(//+1)+1

所以数列仅〃｝的通项公式为4="o

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数

列的通项公式。

二、累乘法

类型2区川=/(〃)〃”

解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例3已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以，则，故

n(n-l)

所以数列伍〃｝的通项公式为%=3x2"Tx5kx山.

评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列

的通项公式。

例4已知数列满足，求的通项公式。

解：因为①

所以%=4+2a2+3/+・・・+(〃-1)%+nan②

用②式一①式得%+i-an=呵.

则%+i=(九+1)凡(〃之2)

故%±=〃+1(〃22)

%

所以勺=-…一-=[n(n-l)3・•4X3]Q,=TW.

%an-2a22

由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可

得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。

练习题：

L已知数列满足，，求

已知，，求

三、待定系数法

类型3（其中p,q均为常数，）o

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换

元法转化为等比数列求解。

例5已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设

将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④

式得⑤

由与⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列,

则，故。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等

比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

练习题1已知数列满足，求数列的通项公式。

练习题2已知数列满足，求数列的通项公式。

过关练习：

1已知数列中，，，求

2在数列中，若,则该数列的通项

四、数学归纳法

例6已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由与，得

_8(1+1)_88x2_24

%~%(2xl+l)2(2xl+3)2—99x25-25

8(2+1)248x348

3-(2X2+1>(2X2+3)22525x4949

8(3+1)488x480

4-3(2x3+l)2(2x3+3)2—4949x81-81

由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。

(1)当时，，所以等式成立。

(2)假设当时等式成立，即，则当时，

8(4+1)

川人(2k+1尸(2女+3尸

_(2左+11-18(4+1)

-(2k+1y(2攵+1直2,+3)

_[(2"+1)2—1](22+3)2+8伏+1)

(2%+l)2(2k+3)2

_(2"+1)2(2%+3)2—(2女+3)2+8伏+1)

(2k+1产(21+3尸

_(2k+1)2(2"+3)2-(2女+lf

(2-+l>(2k+3)?

J2k+3)2-1

一(22+3)2

」2(%+1)+1]2-1

―[2(A+l)+lf

由此可知，当时等式也成立。

根据(1),(2)可知，等式对任何都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进

而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

其他类型

类型4(其中p,q均为常数，)o(或，其中p,q,r均为常

数)。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列

(其中)，得：再待定系数法解决。

课后练习题已知数列中，，，求。

类型5递推公式为S〃与句的关系式。(或S”=/(%))

解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解.

课后练习题已知数列匕J前n项和S〃=4-%-白.

(1)求明讨与知的关系