平面向量数乘运算

平面向量的数乘运算

一、知识精讲

1•向量的数乘运算

(I)向量的数乘运算的概念：

实数X与向量a的枳是•个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作?a,其长

度与方向规定如下：

①匚皿；

'当___时，与a方向相同；

②Xa(a和)的方向

［当—时,与a方向相反.

特别地，当不。或a=0时，。2=0或20=0.

(2)向量数乘的运算律：

①XPa=(X)a；

@(X+A)a=.XaRa

③Xa+b)=XaXb

(3)向量的线性运算：

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,

以及任意实数XR、R,恒有XRa±p2b)=Xa±Xb.

2•共线向量定理

向量a(aM0与b共线，当且仅当有唯一一个实数人使trXa

［小问题•大思维

1.若X=0,贝UX0对吗?

提示：不对.当入a0时，。或a=0.

2•共线向量定理中a若为0如何？

提示：当a二0时、贝U入不存在(bAO时)或者不唯一(b二0时).

3.已知向量a,b不共线，则m=a—3b与n=-2a+6b共线吗？

提示：n=-2m,故m与n共线.

4.与非零向量a共线的单位向量是什么？

向量应为

±1.

二、典例精析

提示：由于单位向量的长度总等于1,所以与非零向量a共线的单位

11

［例1］3［2(2a+8b)-(4a—2b)］的结果是()

A.2a—bB.2b—a

C.b—aD.a-b

［答案］B

变式练习:

1.若a=b+c,化简3(a+2b)—2(3b+c)—2(a+b)=()

A.—aB.—b

C-cD.以上都不对解析：3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)

=3a+6b-6b-2c-2a-2b

=a—2(b+c).

又a=b+c,故原式二一a.

答案：A

［例2］如图所示，四边形OADB是以向量0A二a,0B二b为邻边的平行四边形.

又BM=1BGCN=3CD,试用a,b表示OM.ON

AOM=OB+BM=h+L+7&

666

--OD+-01)=-OD2o

2—►

^(OA+OB)=+ft).

MN=ON-OM=2151

3(口“)-严-XE

P

变式练习:

1、在本例条件中，试用a.b表示CM

—1511

CM=歹十言平_㊁口一。方=~2"

2、设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC

二2BD,CE二2EA,AF二2FB,则AD+BF+CF与

BC()

A.反B•同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直

答案：A

［例3］设两非零向量a和b不共线，如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC

=2a+8b.求证：A、B、D三点共线.

［证明］:=+CD=(2n+8Z＞)+3((j-b)=5a+5b,

AB=a*by

AAB=£而，•:丽11而，

又AB.丽有公共点：4次D三点共线.

变式练习：

已知ei,e2是两个不共线的向量，a=2ei-e2,b=kei+e2.若a与b是共线向量，求

实数k的值.

解:与〃是共线向量,％=向人

乂=2,k=-2,

二2t?i~ez=A&ei+勺）=以力+屁2,

解题高手：

如图所示，已知平行四边形ABCD的边BC、CD的中点分别为》＜1_,且八1＜丁

TT

ei,AL=e2,试用ei,e表示BC,CDuL

4R

［解］法——iSLBC=x，刖BK=*工:

AB=^i-|x,DL=~jv»

x+rei-jx=更•解方程,5圾

即人

2

得)=)+।

3

5c.4B=x,由/D+OL=占工得

法二：=XtCD人弘MIBK=JAJ,DL=尹由五十BK=AK,AD+DI.

-j+JX=A17©

X-AJ=s②

-2X②+①霉$-2x=ei~2F；•解痔

即召（？一=9命42

6）一声-护

47

同诲痔$=J（-2内+吵，即CD=-§务+§纭

法三；如图所示，好V?与肛的延

悦线相复于点E.n^DLA旦KCLE.

从而F£'=2J位TEE~z!2?1

・|BC.由KE3EAK.捋

人3。〜2A2・e〃即就十寸曲—的）=兹满•

242

同理可得0=#"2fi+勺）=-萨I*尹*

三、课后检测

一、选择题

1已知两不共线的向量a,b,若对非零实数m,n有ma+nb与a—2b共线，则（"=（)

B212

D•1«+

解析：••matnb=la—2b),

m1n

n=—2人2

答案：C

2.如图,向城OA,的终点在同一宜线匕且AC

CB,设OAOB=q,OC=r,则下列等式中成立的是(()

P，13

A.厂一£ph?qBr="P12q

31D,r=—q+2p

C.r=£p—Aq

解析：VAC=-3CB

•••AB=-2Cc

UB2BC

TTTT

•r=OC=OA+AB+BC

=~%+|q-

答案：A

3.在？ABCD中，AC与BD交于点O.E是线段OD的中点,AE的延长线交CD于点

TTT

F.若AC=a,BD=b,则AF=(

11A21

a32a2b3a3b

答案：B

4已知平面内有一点P及一个△ABC.

若TA+PB+PC=AB,则()B

A.点P在Z、ABC外部B.点P在线

段AB上

D.点P在线段

C.点P在线段BC上解AC上

得

析：由PA+PB+PC=AB,

AB-PB=

即A=PA+PC,

PA+PC,

/-2AP=PC.

答案：D

二、填空题

D是AB边上一点，若TD=2穗,CD

gcA+入CB,贝V入

5.在△ABC中.己知

等于

解析：由AD=2DB.

TT=2(CB-CD)?CD-3CA+3CB,

得CD—CA

2

答案:234

22

­AF=AC+CE=a+§CD=a+?(C0+OD)

312

6.在？ABCD中，E,F分别在DC和AB上，且DE=I3DC,AF=石AB,则AE与CF

的关系是

解析：设AD=a,AB=b.

答案：CF=-AE

7.在？ABCD中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点，贝UMN=

.(用a.b表示)

TTTT

解析：由AN=3NC,得4AN=3AC=3(a+b),

卜，所以1\/^=玄2

+b)—(a+2b)=-4a+4b.

BC=b,AD为BC边的中

&义能郅舐？％合B£襄示向量AG=_______________.

线’4

解析：'.D是BC的中点，G是重心，B°

答案：_”+化

•苗=2AD-3(TB+BD户|(TB+2BC)

2121

=3a+§b.答案：§a卜

三、解答题

9.己知a,b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，则实数t为何值时，a.

1

tb,3(a+b)三向量的终点共线？

解：由已知，存在唯一实数入

使a—tb=兀a—3(a+b)|,

2入

化简得(3—1)a-(3-t)b.

3入一1=°

由于a,b不共线，故、