人教版九年级数学上册知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结

21.1一元二次方程

知识点——元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的

方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2+bx+c=0(aW0).其中，ax”是二次项，a是二次项系数；bx是一

次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方

程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

典型例题：

in2T

1、已知关于X的方程(m+6)X+(m-3)-1=0是一元二次方程，求m的值。

21.2降次一一解一元二次方程

21.2.1配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接

开平方。一般地，对于形如X?二a(a20)的方程，根据平方根的定义可解得

Xi=y[ci,X2=-yfci.

(2)直接开平方法适用于解形如x?二p或(mx+a)?二p(mWO)形式的方程，如果p20,就可

以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方

根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零：负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：

①移项；

②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;

③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；

④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把

一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步躲可以总结为：一移、二除、三配、四开。

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)方程两边都除以二次项系数；

(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式;

(4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2公式法

知识点一公式法解一元二次方程

(1)一般地，对于一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO),如果b?-4ac2O,则方程的两个根

-b土、b-4ac

为x一,这个公式叫做元二次方程的求根公式，利用求根公式，我

们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫

做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)的过程。

(3)公式法解一元二次方程的具体步骤:

①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a^0),一般a化为正值

②确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③求出b-4ac的值；

④若bJ4acN0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac<0,则

方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax?+bx+c=O（aWO）根的判别式，通常用希腊字母△表示它,

即△=/Tac.

21.2.3因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

（1）把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求

两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2）因式分解法的详细步骤：

①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0;

②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和

完全平方公式：

③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用合适的方法解一元一次方程

方法名称理论依据适用范围

直接开平方法平方根的意义形如x之二p或(mx+n)Jp如20)

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

因式分解法当ab=O,则a=0或b=0一边为0,另一边易于分解成两个一

次因式的积的一元二次方程。

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

2

若一元二次方程x+px+q=0的两个根为Xi,x2,则有xi+x2=-p,XiX2=q.

若一元二次方程ax+bx+c=O（a¥O）有两个实数根xbx2,则有x）+x2=--,X!X2=-

aa

22.3实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤；

（1）串：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间

的等量关系。

（2）设：是指设元，也就是设出未知数。

（3）列：列方程是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然

后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

（4）解：就是解方程，求出未知数的值。

（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

（6）答：写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

（1）数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为X,则另两个数分别为X-1,x+lo

三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为X,则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是

100a+10b+c.

（2）增长率问题

设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后

的等量关系为a（l±x）2=bo

（3）利润问题

利润问题常用的相等关系式有：

①总利润=总销售价-总成本；

②总利润二单位利润X总销售量；

③利润二成本X利润率

（4）图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数

式表示出来，建立一元二次方程。

中考回顾

1.（2017四川绵阳中考）关于.¥的方程2v+m+n=0的两个根是-2和1,则册的值为（C）

A.-8B.8C.16D.-16

2.（2017新藤中考）己知关于r的方程的一个根为2,则另一个根是（A）

A.-3B.-2C.3D.6

3.（2017河南中考）一元二次方程源-5*2=0的根的情况是（B）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

2

4.（2017者海西宁中考）若xg是一元二次方程/+3*5=0的两个根，则无产2的值是坨

5.（2017内蒙古赤峰中考）如果关于1的方程.F4r+2/〃=0有两个不相等的实数根，则m的取值范I制是一.

2221

6.（2017四川成都中考）已知不但是关于x的一元二次方程P5x+a=0的两个实数根，且”1一%2=10,则a=一

模拟预测

1.方程x2+『12=0的两个根为(D)

A.xi=-2^2=6B.XI=-6K2=2

C.xi=-3j2=4DJI=-4K2=3

2.对形如的方程，下列说达正确的是(c)

A.都可以用直接开平方得x=-m±yfiB.都可以用直接开平方得x=力士而

C.当〃2。时，直接开平方得户加士血D.当〃20时,直接开平方得士而

3.三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程f/0x+21=0的解，则第三边的长为(A)

A.7B.3

C.7或3D.无法确定

4.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,设平均

每次降价的百分率为九，则下面所列方程正确的是(A)

A.289(l-A)2=256B.256(I-A)2=289C.289(l-2X)=256D.256(l-2.V)=289

5.若关于x的一元二次方程(〃bl*+5x+"P-3〃?+2=0的常数项为0,则，〃的值等于()

A.lB.2C.1或2D.0

解析:由常数项为零，知〉-3，〃+2=0,解之，得〃“=1,〃12=2.又二次项系数“1-1网,所以〃印1.综上可知，m=2.故选B.

6.若关于x的一元二次方程,卜3片2a=0有两个实数根，则a可取的最大负整数为.

()

解垣由题意可知/=9+8〃20,故〃2启，所以“可取的最大负整数为-I.

7.己知方也是关于x的一元二次方程足(2〃?+3求+加=0的两个不相等的实数根,且满足加+汹=评，则m的值

是.

■3B

解析，因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以［-(2〃J+3)F4">0,即心-4：由根与系数的关系可知片+右=25+3,

所以2〃?+3="户,得故〃『3.

8.某地特产专卖店销售核桃，其进价为40元/千克,如果按60X/千克出售，则平均每天可售出1()0kg.后来经过市场调查

发现，单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答:

(1)每千克核桃应降价多少元

(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客，赢得市场,该店应按原售价的几折出售

⑴设每千克核桃应降价x元,根据题意，得

(100+3囱20)

(60-x-40)v47=2240.

化简，得f-10x+24=0.

解得工|=4/2=6.

答:每千克核桃应降价4元或6元.

(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此时，售价为

60-6=54(元)，所以巴-100%=90%.

6C

答:该店应按原售价的九折出售.

第22章二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分基础知识

1.定义：一般地，如果y=〃/+公+c（a,Z?,c是常数，。工0）,则y叫做工的二次函数.

2.二次函数），=狈2的性质

（1）抛物线丁=办2的顶点是坐标原点，对称轴是），轴.

（2）函数），=♦的图像与。的符号关系.

①当4＞0时O抛物线开口向上O顶点为其最低点；

②当4＜。时=抛物线开口向下=顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是），轴的抛物线的解析式形式为），=.2（4工0）.

3.二次函数y=or2+云+C的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

4.二次函数尸尔+bx+c用配方法可化成：

），=《工一。）2+&的形式，其中人_2,k=处士.

2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

©y=ax2;（2）y=ax2+k;®y=a（x-h）2;④y=a（x-〃1+k;（§）y=ax2+bx+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①。的符号决定抛物线的开口方向：当〃＞（）时，开口向上；当”（）时，开口向下；

时越大，抛物线的开口越小；时越小，抛物线的开口越大。

②平行于），轴（或重合）的直线记作x=/?.特别地，y轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数〃相同，则抛物线的开

口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：y=ax1+bx+c=ax+—1+-^~,

，（2a）4a

・・・顶点是（一二，处也），对称轴是直线工=-2.

2a4。2a

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-力）z+&的形式，得到顶

点为（”，攵），对称轴是直线x=".

（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线

的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线），=内2+灰+。中，〃也c的作用

（1）。决定开口方向及开口大小，这与中的a完全一样.

（2）b和〃共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=云+c的对称轴是直线

x=,故：①b=0时，对称轴为），轴；②（即〃、人同号）时，对称轴在y轴

2a"a

左侧；③2＜。（即八匕异号）时，对称轴在y轴右侧，“左同右异”.

a

（3）。的大小决定抛物线y=加+以+c与），轴交点的位置.

当尢=0时，＞=c,・••抛物线），=/+公+0与），轴有且只有一个交点（0,c）：

①c=（）,抛物线经过原点；②c〉O,与），轴交于正半轴；③c＜（）,与），轴交于负半轴.

10.儿种特殊的二次函数的图像特征如下:

函数解析式开口方1可对称轴顶点坐标

y=ax1x=0(y轴)(0,0)

y=ax2+k当心。时x=（）（），轴）(0,k)

),=心―/?)2开口向上x=h(九,0)

y=a(x-h)2+k当”0时x=h(〃，k)

h

y=ax2+bx+c开口向下x=---(b^ac-b~)

2a

2a4a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：），=ad+法+c.已知图像上三点或三对八），的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：），=a（x-/?）2+h已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与工轴的交点坐标为、修，通常选用交点式：），=。（“内心-々）.

12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线y=泼+»x+c得交点为（0,c）.

（2）与y轴平行的直线x=〃与抛物线y=♦+〃x+c有且只有一个交点（/?,ah2+/»?+＜?）.

（3）抛物线与工轴的交点

二次函数），="2+法+C的图像与X轴的两个交点的横坐标内、占，是对应一元二次

方程以2+以+°=0的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次

方程的根的判别式判定：

①有两个交点=4＞0=抛物线与X轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）=△=（）＜=＞抛物线与x轴相切；

③没有交点。△＜（）=抛物线与X轴相离.

（4）平行于X轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点,当有2个交点时，两交点的

纵坐标相等，设纵坐标为A,则横坐标是a?+笈+c=4的两个实数根.

（5）一次函数）=心+砒=0）的图像/与二次函数y=/+法+c（"0）的图像G的交点，

由方程组『=的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时o/与G

（y=6+bx+c

有两个交点；②方程组只有一组解时。/与G只有一个交点；③方程组无解时=/

与G没有交点.

（6）抛物线与无轴两交点之间的距离：若抛物线y=+云+c与工轴两交点为

A（工］,0）,B（X2,0）,由于王、%是方程a、'+加+c=0的两个根，故

a"a

AB=|X,-X|=&-琢=J（再一”2）2-=八=坐

2VIa）aJ\a\\a\

中考回顾

1.（2017天津中考）已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B（点A在点B左侧），顶点为M平移该抛物线，使点M平移

后的对应点M落在x轴上，点B平移后的对应点才落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（A）

A.y=『+2x+lB.y=r+2x-lC.y=x2-2x+1D.y=jr-2x-\

2.(2017臼川成都中考)在平面直角坐标系xQy中，二次函数)=62+云+。的图象如图所示，下列说法正确的是(B)

A.abc<Q,tr-4ac>0\\I

B.abc>G,b2-4ac>0\\/

C.ahc<0,〃-4ac<0x)~~J

D.abc>Q,tr-4ac<0\\J

3.(2017内蒙古赤峰中考)如果关于x的方程“/4丫+2/〃=0有两个不相等的实数根，则加的取值

范围是m<2.

4.(2017内蒙古赤峰中考)如图,二次函数产加+加+以存0)的图象交x轴于两点，交1y轴于点D,点B的坐标为(3,0),

顶点。的坐标为(1,4).

(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

⑵点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时.求线段PM长度的最大

值；

(3)在抛物线上是否存在异于3,。的点。，使△B。。中3。边上的高为2；若存在求出点。的坐标;若不存在请说明埋由.

圜(1)设二次函数的解析式为y=«(x-I)2+4.

7点B(3.0)在该二次函数的图象上，

.：0=〃(3-1产+4,解得:a=-1.

.：二次函数的解析式为y=/+2t+3.

丁点Q在y轴上，所以可令x=0,解得:尸3.

.:点。的坐标为(0,3).

设直线BD的解析式为产依+3,把(3.0)代入得3k+3=0,解得心

・：直线BD的解析式为y=-x+3.

(2)设点，的横坐标为？n(/n>0),则尸(肛-"i+3),A/(zn,-m2+2m+3),

2

PM=-,tr+2m^3-(-ni+3)=-m+3m=-\，工:一:，PM最大值为:

⑶如图，过点。作。6〃.、，轴交。。千点G.作Q〃I/?。千点凡则0/7=2,12

设如1,-.*+2¥+3),则G(.V,-A+3),

0G=h?+2x+3-(.x+3)|斗f+3x|.

丁△DOB是等腰直角三角形，

Z23=45°,ZZ2=Z1=45°.

.：sinNl*=2.：QG=4.

得卜F+3M=4,

当.»+3X=4时/=9-16<0,方程无实数根.

当-f+3x=-4时，解得R=-1K2=4,QI(4,-5),Q2(-1,0).

模拟预测

1.已知二次函数广履的图象与x轴有交点，则&的取值范围是(Di

A4<3B/v3,且原0C.AW3□.〃工3,且上0

2.若点M(2W),M-L”)/(8J3)在抛物线yu-W+Zt•上，则下歹ij结论正确的是(C)

,

A.yi<>'2<?3Bj2<yi<),3C.y3<yi<V2D.yi<>?3<>,2

廨卜-23f,yi=-^r+2X=4(-2)2+2X(-2)=-2-4=-6,

x=-l叶,J2=-*+2X=A,(-1产+2X(-1)=-；-2=-2：,

x=8时,_y3=-"+2x=・；82+2X8=-32+16=-16.

7-16<-6<-2=,.：”<)，1<)2故选C.

M

3.已知,元二次方程"『十加十c-O(a)O)的两个实数根同32满•足力十人2-4和人「人2-3,则二次函数y-“，十加十(;(“>0)的图象

有可能是()

解析《:*+M=4,.：2=4.

-----G

.：二次函数的对■称轴为*=二*=2.

2A

*X)X2=3,---a=3.

当。>0时,c>0,.：二次屈数图象交于y轴的正半轴.

4.小明在用“描点法”画二次函数产加+加+c的图象时，列了如下表格:

X•••-2-1012•••

・・・-4-2-

V・■-2-2••・

根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=aF+Z?x+c在x=3时，尸-4________.

5.若关于x的函数y=lor+2x-\与x轴仅有一个公共点,则实数k曲若为&=0或k=-1.

6.抛物线y=^+hx+c的图象如图，若将其向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的

解析式为.

解析由题中图象可知，对称轴x=l,所以・士=1,即〃=2.

-----□

把点(3,0)代入y=-x1+2x+c,^c=3.

故原图象的解析式为产-『+2%+3，即产-(『1)2+4,然后向左平多2个单位，再向下

平移3个单位，得y=-(x-l+2)2+4-3,即y=-f-Zr.国里$=7'-2x

7.如图。若抛物线L的顶点A在抛物线L上,抛物线心的顶点8也在抛物线“上(点

A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线“,匕互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线

的“友好”抛物线可以有很多条.

(1)如图②，已知抛物线心9二2炉・8"4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D

的坐标；

⑵请求出以点D为顶点的L,的“友好”抛物线口的解析式,并指出心与L中y同时随x增大而增大的

自变量的取值范围；

⑶若抛物线尸?1(皿〃)2+〃的任意一条“友好”抛物线的解析式为尸72任・〃)2+女,请写出01与。2的关系式,

并说明理由.

ZJ=2(X-2)2-4.

・：顶点为(2,・4),对称轴为x=2,

设户0,则尸4,・：C(0,4).

•:点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).

(2)7以点。(4,4)为顶点的&的友好抛物线乙还过点(2广4),・：七4的解析式为

y=-2(x・4)2+4.・：七3与Li中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2<x<4.

理由如下：丁抛物线Li的顶点A在抛物线L2上,抛物线心的顶点B也在抛物线Li

上,

•胡+瓦①

・：可以列出两个方程

(k=(i.(h-?n)5+泣②

由◎■②得(。1+。2)(刑・人)2=0,・：标1=・。2

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

知识点一旋转的定义

在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点。转动一个角度，就叫做图形的旋转，点

。叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二旋转的性质

旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹

角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。

理解以下几点：

（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心

的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改

变，只改变了图形的位置。

知识点三利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）

对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。

步骤可分为：

①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；

②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）

③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

④接：即连接到所连接的各点。

23.2中心对称

知识点一中心对称的定义

中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，则就

说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

注意以下几点：

中心对称指的是两个图形的位置关系；

只有一个对称中心；绕对称中心旋转180。两个图形能够完全重合。

知识点二作一个图形关于某点对称的图形

要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称

中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。

知识点三中心对称的性质

有以下几点：

（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心

平分；

（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。

知识点四中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这

个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

知识点五关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）

关于原点对称点为（-x,-y）o

中考回顾

1.（2017四川绵阳中考）下列图案中,属于轴对称图形的是（A）

B_________C__________D

2.（2017天津中考）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是

（C）

礼迎全运

3.（2017内蒙古呼和浩特中考）图中序号西兹时应的四个三角形，都是AABC这个图形进行了一次变

换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（麻）

、.①B.②C.③D.④

解施：•轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，

・；通过轴对称得到的是①故选A.

4.（2017西宁中考）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（A）

A.等边三角形B.平行四边形C.正六边形D.圆

5.（2017江苏淮安中考）点P（l,・2）关于y轴对称的点的坐标是（C）

A.（l,2）B.（-l,2）C.（-l,-2）D.（-2,l）

解析忸（1,・2）关于j轴对称的点的坐标是（・1,・2）,故选C.

6.（2017四川宜宾中考）如图,在矩形ABCD中,3C=8,CD=6,将AA3E沿BE折叠，使点A恰好落在对角线

8。上的点尸处，则OE的长是（C）

A.3B.—SC.5D.—16

解析丁在矩形ABCD中,N8AE=90c,

且由折叠可得ABE产

ZBFE=90°AE=EFAB=BF,

在RtAABD中=CD=61C=AD=8,

根据勾股定理得"0=10,即FD=10-6=4,

设EF=AE=xM有ED=8-x,

根据勾股定理得x2+42=（8-x）2,

解得x=3,所以OE=8・3=5,故选C.

7.（2017山东枣庄中考）如图,把正方形纸片ABCD先沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过

点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为（B）

A.2B.v3C.

解析：：'四边形48c。为正方形,4笈=2,过点8折叠纸片，使点A落在MN上的点F处,.：产B=4B=2,BM=L

则在R3/M1*中，'M=Fr-：\二2-1=\，故选B.

8.（2017湖南长沙中考）如图，将正方形A3CD折叠,使顶点A与CD边上的一点"重合（"不与端点CQ

重合），折痕交4。于点E交"C于点忆边A6折叠后与边6C交于点G设正方形4BC&的周长为m^CHG

NDHE+N

CHG=90°.

：*ZDHE+ZDEH=90°,

"DEH=NCHG,

又丁ND=NC=9/ADEHs&CHG,

•♦+Hr.l£E冲叩/VL'

・・・CG=」一,HGL3,

3y

&U1

ACHG的周长〃=C"+CG+"G=^—,

在RtADEH中⑷杯+^庐二以「

即7^)V=(fr)^

整理得一・炉\,

Vw

冬,：手

・：i+"G+CG=——

故二=；.故选B.

Mti

模拟预测

1.下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（D）

的苫）G0

2.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（B）

◎JL愚区

3.如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为8力力与DC相交于点E,则下列结论

一定正确的是（）

A.NDAM=NCAB，B.ZACD=ZB,CD

CAD=AEDAE=CE

D

4.如图，把一张长方形纸片对折,折痕为A8,再以AB的中点O为顶点把平角NAOB三等分，沿平角的三

等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，则剪出的等腰三角形全部展开铺平后

得到的平面图形一定是（D）

A.正三角形B.正方形

C.正五边形D.正六边形

解析鞭据第一次对折以及三等分平角可知将360。进行6等分，即多边形的中心角为60。,由最后的剪切

可知所得图形符合正六边形特征.故选D.

5.如图，直线/是四边形ABCD的对称轴.若A3=CD,有下面的结论:①48〃。优②4C_L5D;③4O=OC;④

A5J_5C.其中正确的结论有.（填序号）

答累：①@③

6.如图，在四边形ABCD中，点M,N分别在AB.BC上，将AAMN沿MN翻折，得△尸MN,若MF//AD,FN//

DC,则95°

解析：'FN〃DC,，NBNF=NC=7q0,

:尸〃AO,・：NBM/=N4=100°.

由翻折知，/产=NA

又：'/AM尸+/A+/4Nk+/F=36n°,

.：IOO0+Z«+7O°+ZF=36O°,

〜"=95。.

7.如图，在平面直角坐标系中，若与△AIBIG关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是

（3「1）

8.在Rt6ABC中,NA4C=90%AB=3,M为边BC上的点，连接AM（如图）.如果AA8M沿直线AM翻折后,

点B恰好落在边AC的中点处，则点M到AC的距离是一2.

解析:如图，过点M作MNJL4C于N,

N

B

M

由折叠性质可知,NA4M=NC4M=45。.

:•点B恰好落在边4c的中点处，

AAC=2AB=6.

："ANM=90。，

•:/C4M=N4MN=450.

；・MN=AN.

由RtACNMsRtACA5得=E,

JiV

••T=-

・：MN=2.

9.AABC在平面直角坐标系中的位置如图.

(1)作出AABC关于y轴对称的△4/1G,并写出△A/iG各顶点的坐标；

(2)将A4BC向右平移6个单位，作出平移后的AAZB2c2,并写出A42&C2各顶点的坐标；

⑶观察AA/iG与AA282c2,它们是否关于某直线对称若是,请在图上画出这条对称轴.

廨1⑴AAiBiC如图A(0,4)B(2,2),CI(1,1M2)AA2&C2如图.A2(6,4)A(4,2),C2(5,1).(3)AAIBICI与

△A252c2关于直线x=3对称.如图.

第二十四章圆

24.1.1圆

知识点一圆的定义

圆的定义:

第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所

形成的图形叫作圆。固定的端点0叫作圆心，线段0A叫作半径。

第二种：圆心为0,半径为r的圆是所有到定点。的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观

点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念

（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把

圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完

全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直径

知识点一圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径

D

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

如上图所示，直径MD与非直径弦AB相交于点C,

CD±AB

{,W=BM

注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不

是直径，否则结论不成立。

24.1,3弧、弦、圆心角

知识点弦、弧、圆心角的关系

（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相

等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，则它们

所对应的其余的各组量也相等。

（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等,

所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、

弦不一定相等。

24.1.4圆周角

知识点一圆周角定理

（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半。

（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦

是直径。

（3）圆周角定理揭不了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。"同弧或等弧”

是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两

类。

知识点二圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接

多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：（1）圆内接四边形的对角互补。

（2）四个内角的和是360。

（3）圆内接四边形的外角等于其内对角

24.2点、直线和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

知识点一点与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

（2）用数量关系表示：若设。。的半径是r,点P到圆的距离OP二d,则有：

点P在圆外<zz>d>r；点p在圆上0d二r；点p在圆内=dVr。

知识点二（1）经过在同一条直线上的三个点不能作圆

（2）不在同一条直线上的三个点（一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以

作圆，且只能作一个圆。

知识点三三角形的外接圆与外心

（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

知识点四反证法

（1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正

确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。

（2）反证法的一般步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与己知等相矛

盾的结论；

③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2直线和圆的位置关系

知识点一直线与圆的位置关系

（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。

（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示

若设的半径是r,直线1与圆心0的距离为d,则有：

直线1和。。相交«d<r；

直线1和。0相切<=>d=r；

直线1和。0相离«d>r0

知识点二切线的判定和性质

（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

（3）切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过

圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

知识点三切线长定理

（1）切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这

点到圆的切线长。

（2）叨线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆

心的连线平分两条切线的夹角。

（3）注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度

量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个

是切点。

知识点四三角形的内切圆和内心

(1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角

形叫做圆的外切三角形。

(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

(3)注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时,

过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。

(4)直角三角形内切圆半径的求解方法：

①直角三角形直角边为a.b,斜边为c,直角三角形内切圆半径为r.a-r+b-r=c,

②根据三角形面积的表示方法：；ab=g(〃+"c)r,r=

24.3正多边形和圆

知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n(n是大于2的自然数)等份，顺次连接各

分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

知识点二正多边形的性质

(1)各边相等，各角相等；

(2)都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，每一条对称轴都经过n边形的中心。

（3）正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。

（4）所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都

经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称

图形，正n边形的中心就是对称中心。

（5）正n边形的每一个内角等于5—2）x180。,中心角和外角相等，等于蹩。

nn

24.4弧长和扇形面积

知识点一弧长公式L=—

180

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2JiR,所以n°的圆心

角所对的弧长的计算公式L二与义2冗R二驾。

360180

知识点二扇形面积公式

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S二Ji/,所以圆心角

为n°的扇形的面积为S朗航警。

比较扇形的弧长公式和面积公式发现：

_n成一〃成1八11

Se璃形二寸二而'^）族所以册形=5次

知识点三圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展

开图是一个扇形。设圆锥的母线长为/,底面圆的半径为r,则这个扇形的半径为/,扇

形的弧长为2nr,因此圆锥的侧面积5幅刖=；-2疗/=万“。圆锥的全面积为

S圆锥全回锥侧+$底=加+"°

中考回顾,4

1.（2017甘前天水中考）如图加?是。0的直径，弦CD_LAB,NBC0=3Oo,C0=45,（。：

则5阴影=（B）

A.2?rB声C.jrD.）

（四川中考）如图是。。的直径，且AB经过弦CD的中点已知

2\2017H,HB

0

D

cosZCDB^BD=5MOH的长度为（D）

A.2B.-C.lD；

S46

3.（2017甘肯兰州中考）如图，在OO中H三=三1点。在OO上,NCQ8=25。,

贝!JNAO3=（B）

A.45°B.50°C.55°D.60°

4.（2017山东青岛中考）如图45是。。的直径，点CQ,E在OO上，若N/1ED=2O。,则N5CD的度数为

（B）

A.1000B.1100C.115°D.1200

5.（2017湖北黄冈中考）如图，在OO中。4_LBC,NAOB=70。,则NADC的度数为（B）

A.30°B.35°C.45°D.70°

6.（2017福建中考）如图是OO的直径是OO上位于AB异侧的两点.下列四个

角中,一定与NAC。互余的角是（D）

A.N/WCB.NABOC.ZBACD.N8AO

7.（2017贵州黔东南州中考）如图的直径"垂直于弦CR垂足为区44=15。,半径

为2,则弦CD的长为（A）

A.2B.-lC.vlD.4

模拟预测

1.如图，点A,8,C在OO上,/48。=32。,乙4。0=38。,则/8。。等于（B

A.60。B.70°C.1200D.1400

|解析枷图，过点A作。O的直径，交O。于点D.

在A0A8中，70A=08,

・：ZBOD=ZOBA+ZOAB=2x32°=64°.

同浬可得,/COD=ZOCA+ZOAC=2x38°=76°,

・：/8。。=/8。。+/。。。=140〉.故选D.

2.如图A8是O。的弦，半径。A=2,/A08=120。,则弦48的长是（B）

A.2<2B.2.13C.5D.3.S

3.如图泗边形ABCD内接于OOF是此上•点，且土=兆连接CF并延长交AD

延长线于点己连接AC

若NABC=105o,N84C=25。,则NE的度数为（B）

A.45°B.50°C.55°D.60°

4.如图是"8C的外接圆,/8=60。,00的半径为4,则AC的长等于（A）

A.4.3B.6.3C.23D.8

5.如图26是OO的直径，弦CO交A3于点旦且AE=。。=8,284。3/8。。,则0。的半径

为（B.）

A.4月B.5C.4D.3（\0V）

7/BACWNBOD，二"=肋，二ABLCD.

A

f

/AE=CD=8,.：DE=^■CD=4.

设0£)二1,则OE=AE-r=8-n在Rl^ODE中。D=F,DE=4,OE=8T:

2

:♦。。2=。£+0户,.：户=42+(8力2,解得r=5.

6.若O。的半径为1,弦45二；弦AC.3,则NA4C的度数4k

为15。或75。.

7.如图,08。是。。的内接三角形，点。是狗的中点，已知乙4。8=98。，

NCO8=120。.则/人8。的度数是一101。.

8.如图，将三角板的直角顶点放在。。的圆心上，两条直角边分别交。。于A,8

两点，点P在优弧A6上,且与点A.B不重合，连接外,PA则NAP6为452，

9.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点P在第一象限,OP与