三角形知识点总结4

第一章图形的初步认识

考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线

】•线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2•角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

考点二、平行线

1.平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或

平行。

4.平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等：（2）两直线平行，内错角相等：（3）两直线平行，同旁内角互补。

考点三、投影与视图

1.投影

投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。

平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。

中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

2.视图

当我们从某•角度观察•个实物时，所在到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯

视图、左视图。

主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。

俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图，

左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时

也叫做侧视图。

第二章三角形

1.三角形的概念

由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的

边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2.三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的用平

分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的干线。

<3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角.形的

高）.

3.三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形口勺这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用

很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4.二角形的特性与表示

三角形有卜而三个特性：

（I）三角形有三条线段]

（2）三条线段不在同一直线上卜三角形是封闭图形

（3）首尾顺次相接J

三角形用符号"”表示，顶点是ABC的三角形记作“ABC”，读车“三角形ABC”。

5.三角形的分类

三角形按边的关系分类如卜.：

「不等边三角形

三角形1r底和腰不相等的等腰三角形

I等腰三角形一

I等边三角形

三角形按角的关系分类如下：

r直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形J「锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

I斜三角形V

I钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们乂有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

6.三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当己知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的角关系

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。等角的补角相等，等角的余

角相等。

8、三角形的面积

三角形的面积='x底X高

2

应用：经常利用两个三角形面积关系求底、高的比例关系或值

考点二、全等三角形

I.全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相

重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做时应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中

有公共端点的两边所成的角。

2.三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：有三边对•应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

百角二角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对

应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

3.全等变换

只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：符图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形

1.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1:等腰三角形顶角平分线三分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、

底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都用等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则＜a

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为NB.NC,则NA=I8O°-2ZB,ZB=ZC=

2.等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定

定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形性质等腰三角形判定

1.等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角：1.两边上中线相等的三角形是等腰三角形；

2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平

中与底边两端点距离相等。分这个边的对角），那么这个三角形是等腰

线2.等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点三角形

与底边两端点距离相等。2.如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分

2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点这个边的对角），那么这个三角形是等腰三

与底边两端点距离相等。角形

2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平

分这个边的对角），那么这个三角形是等腰

三角形

1.如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对

1.等腰三角形顶角平分线垂直平分底边：边（平分对边），那么这个三角形是等腰三

2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点角形；

角

到底边两端点的距离相等。2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三

平

2.等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点角形是等腰三角形。

分

到底边两端点的距离相等。2.三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角

线

2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点形是等腰三角形。

到底边两端点的距离相等.2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三

角形是等腰三角形。

1.等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；

2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和1.如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分

底边两端点距离相等。这条边的对角），那么这个三角形是等腰三

高

2.等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和角形；

线

底边两端点距离相等。2.有两条高用等的三角形是等腰三角形。

2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。

底边两端点距离相等。

角等边对等角等角对等边

边底的一半〈腰长〈周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形

3.三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论I：三条中位线组成一个三用形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶

角相等。

第三章解直角三角形

考点一、直角三角形的性质

1.直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半。

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即

5.摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上

的摄影和斜边的比例中项

ZACB=90°]rCD2=AD*BD

k=>1AC2=AD»AB

CD±AB」IBd=BD・AB

6.常用关系式

由三角形面积公式可得：

AB»CD=AC*BC

考点二、锐角三角函数的概念（3〜8分）

1.如图,在AABC中，ZC=9O°

乙4的对边a

®sinA=

ZA的邻边b

②cosA=

c

NA的对边a

③tanA-

NA的邻边b

NA的邻边b

@COL4=

NA的对边a

2.一些特殊角的

三角函数值0°30°45°60°90°

三角函数

A/2后

sina01

2VT

出\_

cosa10

~T~T2

V3

不存在

tana0~Ti

cota不存在i0

T

3.各锐角三角函数之间的关系

(1)互余关系：sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—A),tanA=cot(90°—A),cotA=tan(90°—A)

(2)平方关系:

(3)倒数关系:tanAtan(90°—A)=l

（4）弦切关系：tanA=

第四章图形的相似

考点一、比例线段

1.比例的性质

（1）基本性质

®a:b=c:dad=bc

②a:b=b:c

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）

「I（交换内项）

-=-=>J-=-（交换外项）

bdba

^-=-（同时交换内项和外项）

ca

（3）反比性质（交换比的前项、后项）：

acbd

一=——y—=—

bdac

(4)合比性质：

aca±bc±d

~b='d^~iT=~d~

(5)等比性质：

acein「八、a+c+e+…+〃？a

—=—=—=…=—(b+d+f+…+〃工0)=---------------=—

bdfn'/?++/+•••+«b

3.黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分

割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB

考点二、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

考点三、相似三角形

I.相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“一”来表示

2.相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形的等价关系:

(1)反身性：对于任一△ABC,都有△ABCsaABC：

(2)对称性：若△ABCS/XA'B'C',则AA'B'C'^AABC

(3)传递性：若△ABCS/\A'B'C',并且4A'B'C'心'，B''C’’,则△ABCSAA‘‘B''

3.三角形相似的判定

<1）三角形相似的判定方法

①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

②平行法：平行于三角形•边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形

相似

③判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似,

可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个二角形的两条边和另一个二角形的两条边对应成比例，并月夹角相等，那么这

两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果•个三角形的三条边与另•个三角形的三条龙对应成比例，那么这两个三角形相似,

可简述为三边对应成比例，两三角形相似

<2）直角三角形相似的判定方法

①以上各种判定方法均适用

②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比

例，那么这两个直角三角形相似

4.相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比、对成中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

（3）相似三角形周长的比等于相似比

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似多边形

（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相

似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）

（2）相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等，对应边成比例

②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比

③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比

④相似多边形面积的比等于相似比的平方

6.位似图形

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫散位

似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。

性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

第五章三角形的五心

三角形中有许多重要的特殊点，埼别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别洽予

介绍.

三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心.

1.三角形的外心

三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心（外接圆圆心）.

三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.都等于三角形的外接圆半径.

锐角三角形的外心在三角形内：直角三角形的外心在斜边中点；

钝角三角形的外心在三角形外.

2.三角形的内心

三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心(内切澳网心).

三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径.

内切圆半径r的计嵬：

设三角形而积为S,并记p=(a+b+c),则r=.

特别的，在直角三角形中，有r=(a+b-c).

3.三角形的重心

三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.

上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1：2.

4.二角形的垂心

三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心.

斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点..所以把这样的

四个点称为一个“垂心组”.

5.三角形的旁心

三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点，称为三角形的旁心(旁切圆圆心).每个三角形

都有三个旁切圆.

A类例题

例1证明重心定理。

证法1如图，D.E、F为三边中点，设BE、CF交于G,连接EF,显然EFBC,由三角形相似可得GB=

2GE,GC=2GF.

又设AD.BE交于G',同理可证G'B=2G'E,G'A=2G'D,即G、G'都是BE上从B到E的三分之二处的点：故

G'、G重合.

即三条中线AD.BE、CF相交于一点G

证法2设BE、CF交于G,BG、CG中点为H、I.连EF、FIkIlkIE,

因为EFBC,HIBC,

所以EFHI为平行四边形.

所以HG=GE、IG=GF,GB=2GE,GC=2GF.

同证法1可知AG=2GD,AD.BE、CF共点./-----

即定理证毕.(

链接证明外心、内心定理是很容易的。I//\\

外心定理的证明：如图，设AB.BC的中垂线交于点0,则有0A=0B=0C,故I\J

0也在AC的中垂线上，因为0到三顶点的距离相等，故点0是4~

ABC外接圆的圆心.因而称为外心.一J

A

内心定理的证明：如图，设NA.NC的平分线相交于I、过I作1D_L

BC,IE±AC,IF±AB,则有IE=IF=ID.因此I也在NC的平分线上，即尸欠

三角形三内角平分线交于一点.

上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自口完成.

上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成.

上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成.

例2证明垂心定理

分析我们可以利用构造外心来进行证明。

证明如图，AD.BE、CF为AABC三条高，过点A.B.C分别

作对边的平行线相交成△A'B'C',显然AD为BC

的中垂线；同理BE、CF也分别为於C'、的中

垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证.

链接（I）对于三线共点问题还可以利用Ccva定理进行证明，同学们可以参考第十八讲的内容。

（Ccva定王里）设X、Y、Z分另IJ为AADC的边DC.CA.AB上的一点，贝ljAX、DY、CZ所在直线交

于一点的充要条件是••=1.

（2）对于三角形的五心，还可以推广到n边形，例如、如果我们称n（23）边形某顶点同除该点

以外的n-1个顶点所决定的n-1边彩的重心的连线，为n边形的中线、（当n-l=2时.n-1边形退化

成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n边形的各条中线（若有重合，只

算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）：1的两条线段,这点叫n边形的重心.请同学

们自己研究一下其他几个“心”的推广。

精片善热

1.设G为AABC的重心，M、N分别为AB.CA的中点，求证：四边形

GMAN和AGBC的面积相等.

2.三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍.

B类例题

例3过等腰△A8C底边上一点。引〃。交八8于M；小PN〃BA交AC于N.

作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在△ABC外接圆上.（杭州大学《中学数学

竞赛习题》）

分析分析点M和N的性质，即能得到解题思路。

证明由已知可得MP=MP=MB,NP=NP=NC,

故点M是△1>'BP的外心，点N是PC的外心.于是有

NBP'P=ZBMP=ZBAC,

NPP'C=/PNC=NBAC

:.NBI〉C=NB。P+NP'PC=NBAC.

从而，P'点与A.B.C共圆,即P'在△ABC外接圆上.

缝接本题可以引出更多结论，例如P'P平分/BPC、PB:PC=BP:PC等等.

例4AD,BE,CF是4ABC的三条中线,P是任意一点.

证明：在△PAD,APBE,APCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.（第26届莫斯科数学奥林匹克）

证明设G为4ABC重心，直线PG与AB,BC相交.从A.C,D,E.F分别作该直线的垂线，垂足为A\C,D'.

E',F'.

易证AA'=2DD',CC'=2FF',2EE'=AA'+CC',

:・EE=DD"FF.

有S^PGE=S^PCD+S^PGE.

两边各扩大3倍，有SAPBE=SAPAI）+SAPCE.

例5设A1A2A3A4为。0内接四边形，Hl,H2,H3,H4依次为4A2A3A4,AA3A4A1,AA4A1A2,AA1A2A3

的垂心.求证：Hl,H2,H3,H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.（1992,全国高中联赛）

证明连接A2Hl.A1H2.H1H2,记圆半徉为R.由AA2A3A4知

——匕%——=2RnA必=2RCOS/A/Z/U;

sinZAM.H,//\\

由△AAM4得4"2=2RCOSNAMIA事\7^-22XAy

但NA3A2A4=NA3A1A4,故A2H1=A1H2.力弋^-----~^A4

易证A2H1〃A1A2,于是，A2H1A1H2,、/

故得H1H2A2Al.设H1A1与H242的交点为M,故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.

同理，I⑵13与A2A3,113H4与A3A4,114Hl与A4Al都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4

与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，Hl,H2,H3,H4在同一个

圆上.后者的圆心设为Q,Q与0也关于M成中心对称.由0,11两点，Q点就不难确定了.

链接三角形的五心有许多重要性质.它们之间也有很密切的联系.如：

（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；

（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；

（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；

（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等：

（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心：或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心：

（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.

情看春现

3.在aABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,S.

证明以△APS,ABQP,△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.

（8•波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）

九叩果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.

C类例题

例6H为△ABC的垂心，D,E,F分别是△,CA,AB的中心.一个以H为圆心的OH交直线EF,FD,DE于A1,

A2,Bl,B2,Cl,C2.

求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=>3C2.（1989,加拿大数学奥林匹克训练题）

分析只须证明AA\=BB\=CC\即可.

证明设BC=a,CA=b,AB=c,ZiABC外接圆半径为R,OH的半径为r.

连HAI,AH交EF于M.A=AM2+AlM2=AM2+r2-MH2

"2XA3M2),Q)

22

=AH•AHrAH=AH2・AB-AH

而---------------=2R=>4”2=4欣OS2A,

sin乙48〃

-------=2R^>a2=4R2sin2A.

sinA

.-.AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2.

由①、②、③有

22,

AA：=3+———------•be-'AR1-a2-)

2bc

—(cr+b^+c2)-4^+r2.

同理，=(a2+b2+c2)-4R2<-r2,

CC；=1(a2+b2+c2)-4R2+r.

故有AAI=8BI=CG.

例7已知。0内接△ABC,OQ切AB,AC于E,F且与（DO内切.试证：EF中点P是aABC之内心.（B•波拉索

洛夫《中学数学奥林匹克》）

证明如图，显然EF中点P、圆心Q中点K都在NBAC平分线上易知AQ=.

VQK・AQ=MQ・QN,

・•。MQQN

=（2R-r）-r=§山0（2Ar）.

r/sina

由RtAEPQ知PQ=sinar.

，PK=PQ+QK=sinar+sina•（2R-r）=sina•2R.

:.PK=BK.

利用内心等量关系之逆定理，即知P是AABC这内心.

说明在第20届IM0中.美国提供的一道题实际上是例7的一种特例，但它增加了条件AB二AC.

例8在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r,ra,rb,re分别表示内切圆半径及与a,b,c相切

的旁切圆半径，P表示半周.（杭州大学《中学数学竞赛习距》）

证明设RtZ\ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：

p(p-c)-(p-a)(p~h).

,:p(p-c)=3(a+b+c)•T(a+%-c)

=1[(a+8)2-c2]

巧

(p-a)(p-b)=3(-a+b+c)•5(«-0+e)

=1[?-(a-b)2]=3ab.

.,.p(p-c)=(p-a)(p-b).①

观察图形，可得

ra=AF-AC=p-b,

rh=BG-BC=p-a,

=

rcCK-p.

而T(a+〃-c)=p-c

r+，%+%=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p

=4p-(a+b+c)=2p.

由①及图形易证.

例9M是AABC边AB上的任意一点.rl,r2,r分别是△/"(,△BMC,△ABC内切圆的半径，ql,q2,q分

别是上述三角形在/ACB内部的旁切圆半径.证明•=.(【M0T2)

证明对任意△A'B'C：由正弦定理可知

A

OD=OA'•sin—

2

B'

sin——

.A'

=A'B'•--------2-•sin一

sinNAO'82

=A'B'・,

A'B'

cos—cos—

O'E=A'B'・22

.A'+B'

sin

2

.ODAB'

=tg—fg~-

O'E

亦即有

ANCMAZCNBB

A丁勺丁小了吆耳

ABr

例10锐角AABC中，O,G.H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距

离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.

求证：1,d垂+2•d外=3,d重.

证明设4ABC外接圆半径为1,三个内角记为A,B,

C.易知d外=001+002+003

=cos?\+cosB+cosC,

，2d外=2(cosA+cosB+cosC).①

VAHl=sinB•AB=sinB・(2sinC)=2sinB・sinC,

同样可得BHt-CHs.

・t3小产/XABC三条高的和

=2,(sinB,sinC+sinC•sinA+sinA•sinB)②

=2,

////i=cosC,BH=2•cosB•cosC.

同样可得HH2,HH3.

：.d

=2(cosfi,cosC+cosC•cosA+cosA•cosB)③

欲证结论，观察①、②、③，

须证(cosB,cosC+cosC•cosA+8sA,cosB)+(cosA+cosB+cosC)=sinB,sinC+sinC•sinA+siM,sin/?.即可.

说明本题用了三角法。

滑/再现

5.设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC,CD=DE,EF=FA.试证：（1）AD,BE,CF三条对角线交于一点；

（2）AB+BC+CD+DE+EF+FA3AK+BE+CF.

（1991,国家教委数学试验班招生试题）

6.dABC的外心为0,AB=AC,D是AB中点，E是AACD的重心.证明CE_LCD.

（加拿大数学奥林匹克训练题）

7.△ABC中NC=30°,0是外心,I是内心,边AC上的D点与逅BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：01

±DE,OI=DE.（1988,中国数学奥林匹克集训题）

习题17

1.在4ABC中，ZA是钝角，H是垂心，且AH=BC,则cosZBHC=()

A.-B.C.D.

2.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的()

A.内心B.外心C.重心D.垂心(1996年全国初中联赛)

3.(1997年安徽省初中数学竞赛)若。<(<90n,那么，以sin(,cos(,tan(cot(为三边的三角形有内切圆、外接

圆的半径之和是()

A.B.C.2sin(cos(D.

4.AABC中，ZA=45(,BC=a,高BE、CF交于点H,则AH=()

A.aR.aC.aD.a

5.下面三个命题中：

⑴设H为AABC的高AD上一点，ZBHC+ZBAC=180(,则点H是△ABC的乖心；

⑵设G为△ABC的中线AD上一点，且SAAGB=SABGC,则点G是AABC的重心：

(3)设E是△ABC的外角NBAK的角平分线与△ABC的外接圆。O的交点，ED是。O的直径，I在线

段AD上,且DI=DB,则I是△ABC的内心.

正确命题的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.设AABC的NA=60(,求证：AABC的外心0、内心I、垂心H及点B.C五点在同一个圆上.

7.已知P是DABCD内的一点,。为AC与BD的交点,M、N分别为PB.PC中点,Q为AN与DM的交点.求证:

⑴P、。、。三点在一条直线上：

(2)PQ=20Q.

8.1为△ABC之内心,射线AI,Bl,CI交△ABC外接圆于A',

B',C'.则AA'+BB'+CC'>AABC^.(1982,澳大利亚数学集林匹克)

9.乙厂的三边分别等于4T的三条中线，且两个三角形有•组角相等.求证这两个三角形相似.(1989：捷

克数学奥林匹克)

10.I为4ABC的内心.取△IBC,AICA,AIAB的外心01,02,03.求证:△010203与ZkABC有公共为外

心.(1988,美国数学奥林匹克)

U.AD为△ARC内角平分线.取△ABC,AABD,Z\ADC的外心0,01,02.则△00102是等腰三角形.

12.dABC中NCV90°,从AB上M点作CA,CB的垂线MP,MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时,求H

的轨迹.(IM0-7)

本节“情景再现”解答

1.证明如图，连GA,因为M、N分别为AB.CA的中点，所以AAMG的面积:ZiGBM的面积，4GAN的面积二

△GNC的面积，

即四边形GMAN和4GBC的面枳相等.

2.证明如图,0为AABC的外心,H为垂心，连C0交AABC外接圆于D.连DA.DB,则DA_LAC,BD_LBC.

XAHXBC.BH1AC.所以DA〃BH,BD〃AH,从而四边形DAHB为平行四边形。又显然DB=20M,

所以AH=2OM.

同理可证BH=2ON.CH=2OK.i正毕.

3.提示：设01,02.03是AAPS.ABQP,/\CSQ的外心，作出六边形01P02Q03s后再由外心件质可知/

P01S=2ZA,NQO2P=2NB,ZS03Q=2ZC.

：.ZPOiS+ZQO2P+^SOyQ=360°.从而又知/。］/>。2+/。2。。3+/。350产360°

将△O2QO3绕着03点旋转到△KS03,易判断△KS01gZX()2l)01,

同时可得△。|。2。3名△。/。3./彷0|。3=/k)。3=1/。2。便

g：NO2O|S+NSO|K)=!(/。2。£+/尸0。2)=；NPO|S=NA；

同理有/。|。2。3=/8.故△。1。2。3sAABC.

4.提示：将AABC简记为△,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△'.G为重心,连DE到H：使

EH=DE,连HC,HF,则△'就是△HCF.(I)a2,b2,c2成等差数列Z\s△;若△ABC为正三角形，易证△

s△:不妨设a2bNc,有

CF=,BE=,AI)=.

将a2+c2=2b2,分别代入以上三式，得CF=,BE=,AD=.

.\CF:BE:AD=::=a:b:c.故有As/V.

(2)Z\s△/a2,b2,c2成等差数列.当△中a/b2c时,

△'中CF2BE2AD.,.・.=()2.

据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的“，有二.

CF23

.・.工=>3a2=4C产=2/+后片=/+/=2尻

4

5.证明连接AC,CE,EA,由已知可证AD,CF,EB是AACE的三条内角平分线，I为AACE的内心.从而有

ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.

再由易证BP.DQ.FS是它的三条高,I是它的垂心，利用不等式有：

BI+DI+FI22・(IP+IQ+IS).不难证明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS.

ABI+DI+FI^IA+IE+IC..\AB+BC+CD+DE+EF+F/\=2(BI+DI+FI)

2(M+/E+/C)+(BI+DHFI)=AD+BE+CF.

/就是一点两心.

6.提示：设AM为高亦为中线，取AC中点

F.E必在DF上且DE:EF=2:1，设

CD交4M干GG必为A48C重心.

连GE,MF,MF交DC于K.易证：

DG:GK——DC\(-------)DC=2*1.

323

:.DG:GK=DE:EF=>GE//MF.

VOD1.AB,MF〃AB,

:.ODJLMFnOD1GE但OG1DEnG又是△ODE之垂心.

易证。EJLCD

7.提示：辅助线如图所示，作/DAO平分线交BC于K.

易证4AID且△AIBgAEIB,

ZAID=ZAIB=ZEIB.

利用内心张角公式，有

ZAIB=90°+ZC=105°,

AZDIE=360°-105°X3=45°.VZAKB=30°+ZDA0=30°+(ZBAC-ZBAO)=30°+(Z

BAC-600)=ZBAC=ZBAI=ZBEI.

.•・AK〃IE.由等腰AAOD可知D】_LAK,・9()JLIE,即DF是△口E的一条高.

同理EO是ADIE之垂心，01_LDE.由NDIE=NID0,易却OI=DE.

习题17解答

I.B；2.A：3.A：4.C；5.选B,只有（3）是对的；

6.略;7.略:8.略;9.略；10.略：II.略：12.H的轨迹是一条线段

补充:

第五讲三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.

一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.

例1.过等腰△ABC底边BC上一点P引PM〃CA交AB于此引PN〃BA交AC于N.作点P

关于MN的对称点P'.试证:P'点在AABC外接圆上.

（杭州大学《中学数学竞赛习题》）

分析：由已知可得MP'=MP=MB,NP'=NP人

=NC,故点M是AP'BP的外心，点

N是PC的外心.有

/

ZBPP=ZBMP=ZBAC,V_Ac

1ip

/PP'C--ZPNC--ZBAC.

：.ZBP'C=/BP'P+/P'PC=/BAC.

从而，P'点与A,B,C共圆、即P'在△ABC外接圆上.

由于P'P平分NBP'C,显然还有

P'B:P'C=BP:PC.

例2.在ZXABC的边AB,BC,例上分别取点P,Q,S.证明以ZxAPS,ABQP,ZXCSQ的外心为顶

点的三角形与aABC相似.

（8•波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）

分析：设01,02,03