2027届湖北省孝感市楚天协作体高三月考阶段检测数学试题（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）高三数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若复数满足，则的虚部是（

）A． B． C． D．2．“向量与共线”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要3．已知等差数列（）满足，，则（

）A．4 B．7 C．8 D．20264．的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则其展开式中含的项的系数是（

）A． B． C． D．5．享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量，估计黄鹤楼的高度．无人机在距水平地面70米的同一高度上先后悬停于，两点．记楼顶为，在点测塔顶的俯角为．已知，两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中为楼顶在无人机所在水平面上的垂直投影点），则黄鹤楼的高度大概为（

）米A．45 B．51 C．52 D．556．若曲线关于直线对称，则（

）A． B． C． D．7．暑期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“Bewater，myfriend”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．现从中提取四个首字母，，，各取两次（即共8个字母：，，，，，，，）并排成一排．若恰有3对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（

）A．144 B．288 C．408 D．5048．设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．下列结论正确的是（

）A．一组数据的线性回归方程为，若，则B．若随机变量满足，则C．若随机变量服从正态分布，且，则D．若随机变量，若，则10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（

）A．B．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象C．若，且，则D．若函数在上恰有个零点，则实数的取值范围是11．若实数集中存在最大元素和最小元素，则定义集合的“极差”．下列说法正确的是（

）A．已知，则B．已知，，则存在实数使得C．若，则D．若，则三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知集合，，则的子集的个数为__________．13．已知函数在处的切线方程为，则的值为__________．14．在中，为边中点，是线段上的动点，，，，若，则_____（用，表示）；若，且，则的取值范围是__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．如图，在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．(1)求的值；(2)在边上取一点，使得，求的值．16．已知数列中，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)记，求数列的前项和．17．一个箱子里有个黑球和个白球（），从箱子中不放回地每次抽取一个球，直到取完，记为在整个取球过程中，取出来的黑球个数始终小于取出来的白球个数的概率．(1)求；(2)求的最大值．18．若定义在上的单调函数，满足对于任意的，都有．(1)求的解析式；(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围；(3)若，当时，试比较：与的大小．19．（1）证明积化和差公式：和；（2）求值：；（3）是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值组成的集合，若不存在，请说明理由．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．D【详解】由得，则.所以的虚部是.2．B【详解】对于平面向量与，根据平面向量共线的坐标判定规则：若两个向量与共线，则满足.代入坐标得：，整理得，解得或.①必要性：若，向量、，两向量共线，即由可以推出向量共线，故“向量共线”是“”的必要条件.②充分性：向量共线时，可取2或-2，无法由“向量共线”必然推出“”，故不满足充分性.综上，“向量与共线”是“”的必要不充分条件.3．C【详解】由等差数列的性质可知，，则，即.4．A【详解】二项式展开式的二项式系数呈中间大、两边对称分布，若只有第4项的二项式系数最大，说明展开式总共有7项，因此.二项式的第项为：，令的指数，解得，代入得该项系数为.5．C【分析】先在水平面中利用内角和、正弦定理求出，再利用俯角的几何含义得到竖直距离，结合无人机离地高度算出黄鹤楼的高度.【详解】无人机所在平面距地面高度为70米，在点测塔顶的俯角为，且垂直于无人机所在水平面，因此是直角三角形，由俯角定义可得.中：米，，，则.根据正弦定理，代入数值得米.由第一步得米，说明塔顶比无人机所在水平面低18米，因此黄鹤楼总高度为：米.6．C【分析】先求出函数的定义域，结合题设可得，设，进而由可得，进而求解即可.【详解】由，得，则，解得或，则函数的定义域为，要使函数关于直线对称，则，设，其图象关于对称，则，即则对于恒成立，故，则，所以.7．A【分析】先从4对字母中选3对，将其对应相同字母捆绑整体排列,再将剩余2个相同的字母插入空隙即可求解.【详解】恰好3对相邻：先从4对字母中选3对，将其对应相同字母捆绑，选法为种，将3对捆绑的整体排列，排列数是种，3个整体排列后形成4个空隙，将剩余2个相同的字母插入空隙，因为两个字母相同，所以插空方法共有种，所以总的排列数为种.8．A【分析】先得到函数的单调性，可转化问题为对于恒成立，设，，结合其单调性转化问题为对于恒成立，令，则对于恒成立，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可.【详解】由，得，则函数在上单调递增，而，则，即，则对于恒成立，而，设，，显然在上单调递增，且，则，即对于恒成立，令，则对于恒成立，令，，则，令，得，令，得，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即实数的取值范围为.9．ACD【详解】对于A，线性回归直线一定过样本中心点，若，则，故A正确；对于B，由，得，则，故B错误；对于C，由，得，因为，所以，故C正确；对于D，由，则，解得，则，故D正确.10．ACD【分析】对于A，利用图象的最值，周期，特殊值即可求出函数的解析式；对于B，利用函数的平移和三角转化进行求解；对于C，利用同角正余弦关系和倍角公式即可；对于D，利用列举函数的正零点进行求解.【详解】对于选项A，由图可知，，解得，将点代入得，即，则，所以.又，所以，则，故A正确；对于选项B，的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，故B错误；对于选项C，由，得.又，则，所以.所以，故C正确；对于选项D，令，得，则.所以正零点由小到大依次为、、、、.若函数在上恰有个零点，则，故D正确.11．BCD【分析】对于A，由，，得；对于B，利用，可判断；对于C，利用三角换元，可得的最值，即可求；对于D，由即可.【详解】对于选项A，由，得，又，所以，故A错误；对于选项B，，，则.因为，所以，所以.所以，故B正确；对于选项C，由，即，令，，则.所以.则，故C正确；对于选项D，由，所以.所以，故D正确.12．【详解】，，所以，元素有个，则的子集的个数为.13．6【详解】由，得，而，则，因为函数在处的切线方程为，所以，且，则，所以.14．【分析】空一：根据平面向量的线性运算求解即可；空二：过点作，垂足为，延长交于点，利用三角形相似可得，再根据平面向量数量积的定义得到，进而求解即可.【详解】空一：当时，因为为边中点，所以.空二：如图，过点作，垂足为，延长交于点，因为，所以，则，，因为为边中点，所以，则，又，则，所以，因为，所以.15．(1)(2)【分析】（1）由题设结合平方关系及正弦定理可得，再根据余弦定理可求得，，再利用正弦定理求解即可；（2）先根据题设及平方关系、两角和的正弦公式求得，可得，进而求解即可.【详解】（1）由，则，由正弦定理可得，即，由余弦定理得，因为，所以，因为，，所以，则，由正弦定理得，即.（2）由于，，所以，由于，所以，而，所以．

则，由于，所以，则．16．(1)由题意证明如下，，在数列中，，，，即，.是以为首项，为公比的等比数列；(2)【分析】（1）将题设条件转化为即可证明；（2）由已知可得，利用错位相减法即可求和.【详解】（1）略.（2）由题意及（1）得，，，又，得，，两式作差，得．所以．17．(1)(2)【分析】（1）由题意，共有2个黑球，5个白球，只需前面取出3个白球，后面自由排序即可，而第一次和第二次取出的必须为白球，进而分析求解即可；（2）只需前面取出3个白球，后面自由排序即可，而第一次和第二次取出的必须为白球，进而分析得到，再结合对勾函数的性质求解即可.【详解】（1）由题意，共有2个黑球，5个白球，只需前面取出3个白球，后面自由排序即可．由题意可知，第一次和第二次取出的必须为白球，分为以下两类：①当第三次取出的是黑球时，第四次必须取白球，这时前面已取出三个白球，后面共有种取法；②当第三次取出的是白球时，这时前面已取出三个白球，后面共有种取法故.（2）只需前面取出3个白球出来，后面自由排序即可．由题意可知，第一次和第二次取出的必须为白球，分为以下两类：①当第三次取出的是黑球时，第四次必须取白球，这时前面已取出三个白球，后面共有种取法；②当第三次取出的是白球时，这时前面已取出三个白球，后面共有种取法．故

考虑函数在上单调递减，在上单调递增．又因为为正整数，故的最大值在或3时取到，而，故的最大值为.18．(1)(2)(3)【分析】（1）由在上单调，可得存在唯一的实数，使得，进而结合题设求解即可；（2）由题设可得对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可；（3）方法一：结合（2）可得对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而得到，可得，进而得解；方法二：设，，利用导数分析可得在上单调递增，设，，利用导数分析其单调性可得，进而得到，进而得解.【详解】（1）在上单调，∴存在唯一的实数，使得，则为定值对于任意的恒成立．故，而，取，在上单调递增，且，则，故．（2）由（1）知，，由，得，则对于恒成立，设，，则，而，，设，，则，而在上单调递增，且，①当时，，则在上单调递增，则，则在上单调递增，此时有成立，满足题意．

②当时，，由于在上单调递增，且，故当时，，在上单调递减，则，故在上单调递减，则，故有当时，，不符合题意．

综上所述，的取值范围为．（3）方法一：由（2）知：当时，对于恒成立，则对于恒成立，设，，则，故在上单调递增，故，则有，变形得，即，则，即，则.方法二：设，，则，设，，则，所以在上单调递增，故，即，则在上单调递增，设，，则，故在上单调递减，