85　第十章　第78课时　二项分布、超几何分布与正态分布

8/19第78课时二项分布、超几何分布与正态分布[考试要求]1．理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．知识点1n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(2)二项分布在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n-k，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p(3)二项分布的均值、方差若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．知识点2超几何分布(1)概念：假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，(2)特点：从含有M个特殊元素的N个元素中抽取n个元素，X表示其中的特殊元素的个数．(3)期望：E(X)＝nMN知识点3正态分布(1)正态曲线：f(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，称f((2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；②曲线在x＝μ处达到峰值1σ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．④曲线与x轴围成的面积总为1．⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示．σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，曲线越“胖”；σ越小，曲线越“瘦”，如图2所示．(3)正态分布的概念及表示①概念：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中，μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．(5)正态分布的均值与方差若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．[常用结论]1．两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布．2．若X～N(μ，σ2)，则P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．【教用·常用结论】超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝nMN1．(苏教版选择性必修第二册P146本章测试T8)如果随机变量X～B6，13，那么D(X)等于A．1 B．4C．2 D．6B[因为随机变量X～B6，所以D(X)＝6×13×1-132．(人教A版选择性必修第三册P74例1节选)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，则恰好出现5次正面朝上的概率是______________．

63256[设事件A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5．用X表示事件A发生的次数，则X~B(10，0.5)，恰好出现5次正面朝上等价于X＝5，于是P(X＝5)＝C105×0.510＝3．(人教A版选择性必修第三册P80练习T2)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率是______________．

56165[总共有C124种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名其他班同学的选法种数为C42C4．(北师大版选择性必修第一册P224习题6－5A组T2)若随机变量ξ～N(μ，σ2)，其正态密度函数为f(x)＝122πe-(x-1)28(A．1 B．2C．4 D．8B[与f(x)＝12πσe-(x-μ)5．(人教A版选择性必修第三册P87练习T1)设随机变量X~N(0，1)，则X的密度函数为______________，P(X≤0)＝______________，P(|X|≤1)＝______________，P(X>1)＝______________．(精确到0.0001)

f(x)＝12πe-x220.50[由题意知随机变量X~N(0，1)，则X的密度函数为f(x)＝12πe-x22．因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，根据正态密度曲线的对称性，可得P(X≤0)＝0.5，所以P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)≈0.6827，P(X>1)≈1-0.68272≈6．(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T3)若X~N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ]内的概率是______________．

0.34135[由题意知随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，根据正态密度曲线的对称性，可得P(μ≤X≤μ＋σ)＝12P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈12×0.6827＝0.34135考点一二项分布[典例1](2026·济南模拟)某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位主编进行初审．若两位主编的初审都通过，则予以录用；若两位主编的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位主编的初审，则再由另外的两位主编进行复审，若两位主编的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位主编初审的概率均为13，(1)求投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率；(2)记X表示投到该杂志社的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．[解](1)由题意可得投到该杂志社的1篇稿件初审直接被录用的概率P1＝13投到该杂志社的1篇稿件初审没有被录用，复审被录用的概率P2＝C2故投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率P＝P1＋P2＝19(2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B3，P(X＝0)＝C3P(X＝1)＝C3P(X＝2)＝C3P(X＝3)＝C3则X的分布列为X0123P34398288故E(X)＝0×343729＋1×98243＋2×28243＋通性通法：二项分布问题的解题关键(1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同．②各次试验中的事件是相互独立的．③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．[多维变迁]1．(2026·晋中模拟)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于A．13 B．C．59 D．B[质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次，记向左移动的次数为X，则P(X＝1)＝C3即经过3次移动后，该质点位于1处的概率为49故选B．]2．(多选)(2025·乌鲁木齐期末)已知随机变量X，Y满足2X＋Y＝8，且X～B6，13，则下列说法正确的A．P(X＝2)<P(X＝4)B．E(Y)＝4C．D(Y)＝16D．E(X2)＝16BCD[由X~B6，13，得P(X＝k)＝C6k13k·23E(X)＝6×13＝2，D(X)＝6×1对于A，P(X＝2)＝C62132234>C对于B，由2X＋Y＝8，得Y＝8－2X，则E(Y)＝8－2E(X)＝4，选项B正确；对于C，D(Y)＝D(8－2X)＝4D(X)＝4×43＝16对于D，E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝43+22＝故选BCD．]考点二超几何分布[典例2]乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味乡愁的美好追求．某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：民宿点甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品质型民宿6164101110912(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和均值．[解](1)由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家．记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件A，“这3家的品质型民宿的房间均不低于10间”为事件B，则P(A)＝C63C83＝514所以P(B|A)＝P((2)这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家，故X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C3P(X＝1)＝C3P(X＝2)＝C3P(X＝3)＝C3所以X的分布列为X0123P1331所以E(X)＝0×114＋1×37＋2×37＋3通性通法：1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．[多维变迁]幸福农场生产的某批次20件产品中含有n(3≤n≤13)件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件．(1)若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率；(2)记f(n)＝P(X＝3)，则当n为何值时，f(n)取得最大值？[解](1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，则P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C3即取出的产品中次品不超过1件的概率是12(2)∵f(n)＝P(X＝3)＝C3∴f(n－1)＝Cn若f(n)则n(14－n)>(n－3)(21－n)，解得n<6.3；故当n<6.3时，f(n)>f(n－1)；当n>6.3时，f(n)<f(n－1)．故当n＝6时，f(n)取得最大值．考点三正态分布正态分布的性质[典例3]某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是()A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大B．该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C．该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D．该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等D[对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D．]正态分布下的概率计算[典例4](多选)(2024·新高考Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x，s2)，则((若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.8413)A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8BC[因为X~N(1.8，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)．因为P(X<1.8＋0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.8413＝0.1587<0.2，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)<P(X>1.8＋0.1)<0.2，B正确，A错误．依题可知，x＝2.1，s2＝0.01，所以Y~N(2.1，0.12)，故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.8413>0.5，C正确，D错误．故选BC．]正态分布的应用[典例5]某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径(单位：cm)的数据如下：8787889295979899103104设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ．(1)求μ与σ．(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)．①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求D(2X＋1)(精确到0.01)；②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为76，85，93，99，108，以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，请说明理由．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．[解](1)μ＝110×(87＋87＋88＋92＋95＋97＋98＋99＋103＋104)＝95，σ2＝110×(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ＝(2)①因为Z～N(95，62)，所以P(Z>107)＝P(Z>μ＋2σ)≈0.5－0.95452＝0.02275故X～B(10，0.02275)，所以D(X)＝10×0.02275×(1－0.02275)≈0.2223．所以D(2X＋1)＝4D(X)≈0.89．②因为Z～N(95，62)，所以P(77≤Z≤113)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973．所以5个零件的内径中恰有一个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内发生的概率小于0.3%，为小概率事件．因为76∉[77，113]，所以根据3σ原则，需要进一步调试．通性通法：解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x＝μ．(2)标准差为σ．(3)分布区间．由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0．二项分布与超几何分布的区别与联系类型超几何分布二项分布区别描述的是不放回抽样问题(总体在变化)，一次性取描述的是有放回抽样问题(总体不改变)，一个一个的取考察对象分为两类每一次试验是伯努利试验已知各类对象的个数联系(当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布[典例6](2025·莱阳市月考)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图(如图)．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的20件产品中任取3件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取5件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的数学期望和方差．[解](1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为20×0.3＝6(件)．(2)质量超过505的产品数量为6件，则质量未超过505克的产品数量为14件，X的取值可能为0，1，2，3，X服从超几何分布，P(X＝0)＝C14P(X＝1)＝C6P(X＝2)＝C6P(X＝3)＝C6故X的分布列为X0123P919171(3)由质量超过505克的产品的频率为0.3，故可估计从该流水线上任取1件产品质量超过505克的产品的概率为0.3，从流水线上任取5件产品互不影响，该问题可看成5次独立重复试验，即Y~B(5，0.3)，则E(Y)＝5×0.3＝1.5，D(Y)＝5×0.3×(1－0.3)＝1.05．通性通法：抓住超几何分布与二项分布的各自特征，明确两者间的区别与联系是破解此类问题的关键所在．【教用·备选题】(2025·菏泽二模)某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立、互不影响的(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？[解](1)记“甲、乙两家公司共答对2道题目”的事件为A，它是“甲、乙公司各答对1道题目”与“甲公司答对2题乙公司没答对题”的和事件，它们互斥，则P(A)＝C4所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是115(2)设甲公司答对的题数为X，则X的取值可能为1，2，3，P(X＝1)＝C41C22C63＝15，P(X＝2)＝则X的分布列为X123P131∴E(X)＝1×15＋2×35＋3×15D(X)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×(3)设乙公司答对的题数为Y，则Y的取值可能为0，1，2，3，P(Y＝0)＝1-2P(Y＝1)＝C3P(Y＝2)＝C3P(Y＝3)＝23则Y的分布列为Y0123P1248∴E(Y)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2，D(Y)＝(0－2)2×127＋(1－2)2×29＋(2－2)2×49＋(3－2)2×827＝∴E(Y)＝3×23＝2，D(Y)＝3×2由E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)可得，甲公司竞标成功的可能性更大．1．(链接考向2)(2026·西安模拟)已知随机变量X~N(90，102)，则P(X≥80)＝()参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973．A．0.97723 B．0.84135C．0.77865 D．0.34151B[由随机变量X~N(90，102)，可得P(X≥80)＝P(80≤X<90)＋P(X≥90)≈12×0.6827＋0.5＝0.84135故选B．]2．(链接考点一)一袋中有除颜色外其余完全相同的5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)＝()A．CB．CC．CD．CD[由题意知，第12次取到红球，前11次中恰有9次取到红球，2次取到白球，由每次取到红球的概率为38，取到白球的概率为58，得P(X＝故选D．]3．(链接考点二)(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝()A．23 B．C．310 D．C[由题意，X服从超几何分布，故P(X＝2)＝C3故选C．]4．(链接考向1)(多选)若X~N(μ，σ2)，则下列说法正确的是()A．P(X<μ＋σ)＝P(X>μ－σ)B．P(μ－2σ<X<μ＋σ)<P(μ－σ<X<μ＋2σ)C．P(X<μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化D．P(μ－2σ<X<μ＋σ)随μ，σ的变化而变化AC[由题意知P(X<μ＋σ)＝P(X>μ－σ)，故A正确；P(μ－2σ<X<μ＋σ)＝P(μ－σ<X<μ＋2σ)，故B错误；P(X<μ＋σ)为定值，不随μ，σ的变化而变化，故C正确；P(μ－2σ<X<μ＋σ)为定值，也不随μ，σ的变化而变化，故D错误．故选AC．]5．(链接考向3)(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T4)袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为______________．

95.45%[设误差为X，则X~N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，故合格率约为95.45%．]课时作业(七十八)二项分布、超几何分布与正态分布一、单项选择题1．(2026·北京市西城区模拟)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球．则下列结论中不正确的是()A．取出的最大号码X不服从超几何分布B．取出的黑球个数Y服从超几何分布C．取出2个白球的概率为1D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为1C[超几何分布是在N个对象(包含M个特定对象)中随机不放回取出n个对象，含有特定对象数ξ的概率分布，被取出的n个对象中特定对象数ξ是变化的，任意取出的4个号码，最大号码都只有1个，个数保持不变，X不服从超几何分布，故A正确；取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；取出2个白球的概率为P＝C62C根据已知可得取出四个黑球的总得分最大，概率为P'＝C64C10故选C．]2．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977C[∵μ＝0，∴P(ξ>2)＝P(ξ<－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954．]3．若随机变量X～B4，23，则P(X＝3)＝A．3281 B．C．881 D．A[若随机变量X～B4，P(X＝3)＝C4故选A．]4．(北师大版选择性必修第一册P229复习题六A组T3改编)已知随机变量X～B(4，p)，若E(X)＋D(X)＝209，则P(X≥1)＝(A．1681 B．C．89 D．B[因为E(X)＋D(X)＝209所以4p＋4p(1－p)＝209即(p－1)2＝49因为0<p<1，所以p＝13故P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－1-13二、多项选择题5．(苏教版选择性必修第二册P145复习题T14改编)袋子中有2个黑球、1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分、黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则()A．X～B4，23 C．E(X)＝83 D．AC[从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又每次取一个球，取到白球记0分，取到黑球记1分，4次取球的总分数相当于取到黑球的总个数，又每次取到黑球的概率为23，由有放回地取4次球，得X～B4，2P(X＝2)＝C422由二项分布期望公式得E(X)＝4×23＝8由二项分布方差公式得D(X)＝4×23×13故选AC．]6．(2025·重庆月考)自动流水线包装的任一袋食盐，它的质量与标准质量之间的误差(实际质量减去标准质量)是一个连续型随机变量，且服从正态分布．某食盐加工企业有A，B两条自动包装流水线，其中A流水线包装的食盐质量随机误差X～N(500.01，σ12)，B流水线包装的食盐质量随机误差Y的正态概率分布密度函数为A．σ1<σ2B．P(X≥500)<P(Y≥500)C．P(X≥σ1)>P(X≥σ2)D．P(Y≥σ1)<P(Y≥σ2)AC[对于A，因为X的正态密度曲线比Y的正态密度曲线瘦高，说明X的方差更小，则σ1<σ2，故A正确；对于B，因为流水线的误差X~N(500.01，σ12)，均值为500.01，因此P(X≥500)>0.B流水线的误差Y的均值为500，则P(Y≥500)＝0.5，因此P(X≥500)>P(Y≥500)，故B错误；因为σ1<σ2，所以P(X≥σ1)>P(X≥σ2)，P(Y≥σ