70　第八章　第64课时　双曲线

1/24第64课时双曲线[考试要求]1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3．了解双曲线的简单应用．知识点1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0．①若a<c，则集合P为双曲线；②若a＝c，则集合P为两条射线；③若a>c，则集合P为空集．知识点2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2-y2b2＝1(y2a2-x2b2＝1(图形范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bay＝±ab离心率e＝ca，e∈(1，＋∞实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b21．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)设P是双曲线x216-y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF217[根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17．又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17．]2．(苏教版选择性必修第一册P106练习T3)若双曲线经过点(－3，6)，且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则双曲线的方程是______________．

y29－x2＝1[由题设，可设双曲线方程为x2－y29＝m且m≠0，又(－3所以m＝3－369＝－1故双曲线的方程是y29－x2＝13．(北师大版选择性必修第一册P68习题2－2A组T3改编)点(3，0)到双曲线x216-y2995[双曲线x216-y29＝1的渐近线方程是x4±y3＝0由点到直线的距离公式，得所求距离为|3×[常用结论]1．双曲线x2a2-y2b2＝1(a(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为abc(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ(5)若P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|≥2c．2．与双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为x考点一双曲线的定义及应用[典例1](1)(多选)下列各选项正确的是()A．已知动点M(x，y)满足(x+2)2+B．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28C．如果双曲线x24-y212＝1上一点P到它的右焦点的距离是8D．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为23(2)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝______________．

(1)CD(2)34[(1)对于A，设F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|．故动点M的轨迹是射线，故选项A对于B，设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1．又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)，故选项对于C，设双曲线x24-y212＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝2，则|PF2|＝8>6，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝4，即||PF1|－8|＝4，所以|PF1|＝4或|PF1|＝12，由于c－a＝2，故点P到它的左焦点的距离是4或12，故选项C正确；对于D，不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝PF所以|PF1|·|PF2|＝8，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin(2)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，c2＝a2＋b2＝4，所以cos∠F1PF2＝P＝(4＝34．[母题探究](综合变式)将本例(2)条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1·PF2＝0”，则[解]不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，∵PF1·∴PF1⊥∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴S△F1PF2＝12|PF1通性通法：(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．(2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．(3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑应用定义求解．【教用·备选题】如图，F1，F2是双曲线x29-y(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．[解]双曲线的标准方程为x29-y216＝1，故a＝3，b＝4，(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22．又c－a＝2，故点M到另一个焦点的距离为10或22．(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝P＝100-1002PF∴∠F1PF2＝90°，△F1PF2为直角三角形，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF考点二双曲线的标准方程[典例2](2025·景德镇昌江区校级期末)若双曲线C1与双曲线C2：x24-y23＝1有相同渐近线，且C1过点(2，3)，则双曲线A．x2－y23B．y26C．x26D．x2－y23B[因为C1和C2有相同的渐近线，所以设双曲线C1的方程为x24λ-y23λ＝1(λ≠0)，将(2，3)代入得44λ-93λ＝1⇒λ通性通法：求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2．(2)待定系数法：“先定型，再定量”，当双曲线焦点位置不确定时，可分类讨论；也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，求出m，n的值，即可得出双曲线方程．[多维变迁]1．(2025·保山一模)双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A．x28-y24C．x24-y22D[根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为y＝bax则过F2(c，0)且垂直于渐近线y＝bax的直线方程为y＝－ab(x－c联立y＝bax∴|PF2|＝a2c-c2+a2b2c2＝b∴kPF1＝∴a2＋2＝22a，∴a＝2，又b＝2，∴双曲线的方程为x22-y24＝2．经过点P(3，27)，Q(-62，7y225-x275＝1[设双曲线方程为mx2－ny2＝1∴9m-28n＝1，72【教用·备选题】已知双曲线的离心率e＝52，且该双曲线经过点(2，y24－x2＝1[由题意，知e＝ca＝1+b当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2＝1(a∵点(2，25)在该双曲线上，∴4a2-即44b2当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2＝1(a∵点(2，25)在该双曲线上，∴20a2-即204b2-4b2＝1，解得b＝∴该双曲线的标准方程为y24－x2＝1考点三双曲线的几何性质离心率[典例3](1)(2025·内江三模)已知双曲线x2a2-A．6 B．5C．29519 D(2)(2025·南昌月考)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，若△A．2 B．3C．2 D．5(1)D(2)B[(1)因为双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的焦距为25，即2c＝所以c＝5，又b＝1，所以a＝c2-b所以双曲线的离心率为e＝ca故选D．(2)法一：设C的半焦距为c，则直线l的方程为x＝－c，代入x2a2-y2b2∴|AF1|＝b2∵△ABF2为等边三角形，∴tan∠AF2F1＝AF1||F1F2∴c2∴c2即e2-12e＝13法二：设C的半焦距为c，则直线l的方程为x＝－c，代入x2a2-y2b2∴|AF1|＝b2a，|AB|＝∵△ABF2为等边三角形，∴|AF2|＝|AB|＝2b由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|＝2a，即b2a＝2a，∴b2∴C的离心率e＝ca故选B．]通性通法：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程，利用c2＝a2＋b2和e＝ca转化为关于e的方程，通过解方程求得离心率的值[多维变迁](2025·上海月考)已知双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A(0，－a)，若双曲线的左支上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝7，则双曲线C的离心率的取值范围是A．1，52 BC．52，+∞ D．[C[A(0，－a)，设双曲线的左焦点为F'，则|FP|－|PF'|＝2a，故而|PA|＋|PF|＝2a＋|PF'|＋|PA|≥2a＋|F'A|，∴|PA|＋|PF|的最小值为2a＋|F'A|＝2a＋a2∵C的左支上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝7，∴2a＋a2+c2≤7，即a2+∴c2＋a2≤4a2－28a＋49，又c2＝a2＋1，可得a2－14a＋24≥0⇒a≥12(舍)或a≤2，∴a2≤4＝4(c2－a2)，可得e≥52∴离心率的取值范围是52故选C．]渐近线[典例4](1)(2026·杭州模拟)已知双曲线x2m+yA．y＝±22x B．y＝±3C．y＝±52x D．y＝±6(2)(2025·南昌期末)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，且∠F1PF2＝π3，|PF2|＝3|A．y＝±233x B．y＝±C．y＝±3x D．y＝±32(1)B(2)D[(1)双曲线x2m+y2则3-m3＝213故a＝3，b＝2，则渐近线方程为y＝±abx＝±32故选B．(2)由双曲线定义知||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF2|＝3|PF1|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝3a，∵∠F1PF2＝π3，|F1F2|＝2c，∴cos∠F1PF2＝P即a2+9a2-4c22×a×3a＝12，化简得7∴b2a2＝34，解得ba＝故选D．]思维建模：离心率与渐近线互求模型第1步判断焦点位置．第2步代公式．当焦点在x轴上时，e＝1+k当焦点在y轴上时，e＝1+1k2(其中k第3步解方程求渐近线斜率k或离心率e．【教用·通性通法】渐近线的求法：求双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令[多维变迁](2022·北京卷)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则实数m＝－3[双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±x-m＝±33x，故实数几何性质的综合应用[典例5](多选)(2025·深圳期末)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)经过点5，12，且右焦点为F(A．C的渐近线方程为x±2y＝0B．C的实轴长为4C．|FM|的最大值为6D．|PM|的最小值为6ABD[设双曲线半焦距为c，则由已知可得c＝5，因为双曲线C经过点5，12联立c＝5，5a2-14b对于A，因为a＝2，b＝1，所以C的渐近线方程为y＝±12x，即x±2y＝0，故A对于B，C的实轴长为2a＝4，故B正确；依题意，不妨设B1(0，1)，B2(0，－1)，设M(x，y)，动点M满足|MB1|＝3|MB2|，所以x2化简得x2＋(y＋2)2＝3，则点M的轨迹是以N(0，－2)为圆心，半径为3的圆．对于C，点F到圆心N的距离d＝(5-0)2+(0+2)2＝3，所以|FM|对于D，设P(x0，y0)为双曲线上任一点，则x02-4P到圆心N的距离为|PN|＝x0当y0＝－25时，|PN|最小，最小值为655，故|PM|的最小值为65故选ABD．]通性通法：与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质．(2)利用函数，尤其是二次函数．(3)利用不等式，尤其是基本不等式．[多维变迁]1．(多选)(2025·连云港月考)已知双曲线x2a2-y2b2＝1(A．实轴长为2B．焦距为4C．渐近线方程为y＝±3xD．离心率为2ABC[因为双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)过点(2所以2a2-3b2＝对于A选项，实轴长为2a＝2，故A正确；对于B选项，焦距为2c＝4，故B正确；对于C选项，渐近线方程为y＝±bax＝±3x，故C对于D选项，离心率为ca＝2，故D错误．故选ABC．2．(2026·济南模拟)设双曲线C：x24-y221＝1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点P是C右支上的一点8[a＝2，b＝21，c＝5，|PF2|≥c－a＝3，|PF1|＝|PF2|＋2a＝|PF2|＋4，|PF1|＋3PF2|＝|PF2|+3PF2|＋4，|PF2|≥3，而函数y＝x＋3x＋4(x>0)在[椭圆与双曲线的第二定义与第三定义1．第二定义：平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：(1)当0<e<1时，轨迹为椭圆．(2)当e>1时，轨迹为双曲线．①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±a22．第三定义：平面内的动点到定点A(－a，0)，B(a，0)(或A(0，－a)，B(0，a))的斜率乘积等于常数λ(λ≠0，λ≠－1)的点的轨迹是椭圆或双曲线，其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当常数λ<0且λ≠－1时，轨迹是除去两个定点A，B的椭圆；当常数λ>0时，轨迹是除去两个定点A，B的双曲线．其中两个定点分别是椭圆或双曲线的顶点．[典例6]已知双曲线x29-y216＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2365[设M到直线x＝a2cMF∴d＝35|MF2|∴|MA|＋35|MF2|＝|MA|＋d如图，可知(|MA|＋d)min＝xA－95＝[典例7](1)(2026·成都模拟)已知点A(1，0)，点B(－1，0)，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为()A．x24－y2B．x24－y2＝1(x≠±C．x2－y24D．x2－y24＝1(x≠±(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2+y2A．32 B．C．12 D．(3)椭圆C：x24+y23＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线A．12，34C．12，1 (1)D(2)A(3)B[(1)设动点M(x，y)，由于A(1，0)，B(－1，0)，根据直线AM与BM的斜率之积为4，整理得yx-1·yx+1＝4，化简得x2－y24＝1(x(2)法一(设而不求)：设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则由kAP·kAQ＝14得kAP·kAQ＝y1x1+a·y1-x法二(第三定义)：设右顶点为B，连接PB(图略)，由椭圆的对称性知kPB＝－kAQ，故kAP·kAQ＝kPA·(－kPB)＝14，由椭圆第三定义得kPA·kPB＝－b2a2，故b(3)设点P(x，y)，则直线PA1的斜率为k1＝y-0直线PA2的斜率为k2＝y-0k1·k2＝yx∵点P(x，y)满足x24+∴x2＋4y23即x2－4＝－4y故k1·k2＝y2-43y2∵k2∈[－2，－1]，∴k1∈38故选B．]【教用·备选题】(人教A版选择性必修第一册P113例6)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝254的距离的比是常数45[解]如图所示，设d是点M到直线l：x＝254根据题意，动点M的轨迹就是集合P＝M由此得(x将上式两边平方，并化简，得9x2＋25y2＝225，即x225+所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆．1．(链接考点二)(苏教版选择性必修第一册P107习题3.2(2)T5，9改编)中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆x210+y26＝1有相同的焦距，双曲线C的一条渐近线的方程为x-A．x23B．x2－y23C．x23-y2D．x2－y23＝1或A[椭圆x210+y26＝1的半焦距c＝10-6＝2，则C的半焦距c'＝2．∵C的一条渐近线的方程为x－3y＝0，∴可设C的方程为x23－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x23λ-y2λ＝1．当λ>0时，c'＝λ+3λ＝2，得λ＝1，则C的方程为x23－y2＝1；当λ<0时，c'＝-λ-3λ＝2，得λ＝－1，则C的方程为y2－2．(链接考点一)(2026·榆林模拟)已知F1，F2分别为双曲线x25-y24＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AFA．37+4 B．37－C．37-25 DC[因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－25，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0．当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝[3-(-3)故|AP|＋|AF2|的最小值为37-253．(链接考点三)(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线x224-y225＝－1的实轴长为______________1075y＝±5612x[双曲线y225-x224＝1中a＝5，b2＝24，∴实轴长为2a＝10，离心率e＝ca渐近线方程为y＝±5612x4．(链接考点三)(2025·连云港一模)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22-y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若MF1·MF-33，33[因为F1(－3，0)，F2(3，0)，x022-y02＝1，所以MF1·MF2＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)课时作业(六十四)双曲线一、单项选择题1．(2026·黄山模拟)“m>－1”是“x2m+1-y2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若x2m+1则(m＋1)(m＋2)>0，解得m>－1或m<－2，又{m|m>－1}⫋{m|m>－1或m<－2}，故“m>－1”是“x2m+1-y2m+22．(2025·郑州期末)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝A．62 B．C．2 D．5B[渐近线方程为7x-2y＝0，即y＝根据双曲线的渐近线斜率为±bae2＝1＋722＝1+72＝923．(2026·山东济南模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2A．22 B．2C．4 D．2D[双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，虚半轴长为2，即可得a＝2，c＝6，2c＝26，所以双曲线的焦距为26．故选D．]4．(2025·泰州月考)设P是双曲线x2a2-y264＝1(a>0)上一点，该双曲线的一条渐近线方程是4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝15，则|A．3 B．9C．27 D．3或27C[由题意得b＝8且8a＝43，所以所以||PF1|－|PF2||＝2a＝12，则|PF2|＝3或|PF2|＝27．当|PF2|＝3时，|PF1|＋|PF2|＝18<|F1F2|＝20，故舍去；当|PF2|＝27时，|PF1|＋|PF2|＝42>|F1F2|＝20，满足题意．故选C．]5．(2024·天津卷)已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1A．x28-y22C．x22-y28C[如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由kPF2＝tanθ1＝2，所以sinθ1因为∠F1PF2＝90°，所以kPF1·kPF2＝－1，则kPF1＝-12，即tanθ2＝12，sinθ2＝15，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sinθ1则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝5m，由S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12·2m则|PF2|＝22，|PF1|＝42，|F1F2|＝2c＝210，c＝10，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a＝22，所以a＝2，b＝c2所以双曲线的方程为x22-y28＝6．(2025·银川三模)已知双曲线C：x23－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为M，N，则△MF1N的周长为(A．8＋25 B．8C．4＋25 D．8+2C[以F1F2为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为M，N，如图所示，设|MF2|＝n，|MF1|＝m，由M在以F1F2为直径的圆上可得MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，四边形MF1NF2为矩形，则|MN|＝|F1F2|＝2c，|MF2|＝|F1N|＝n．由双曲线C：x23－y2＝1，得a2＝3，b2＝1，c2＝a2＋b2＝∴m2＋n2＝16，又由双曲线的定义有m－n＝2a＝23，∴m2－2mn＋n2＝12，得mn＝2，∴(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝16＋4＝20，即m＋n＝25，而|MN|＝|F1F2|＝2c＝4，∴m＋n＋|MN|＝4＋25，∴△MF1N的周长为4＋25．故选C．]二、多项选择题7．(2025·南通一模)已知双曲线C：x29-y216＝1A．实轴长为6B．焦距为5C．离心率为4D．焦点到渐近线的距离为4AD[已知双曲线C：x29-则a＝3，b＝4，c＝9+16＝5．对于A，双曲线的实轴长为6，故选项A正确；对于B，双曲线的焦距为10，故选项B错误；对于C，双曲线的离心率为53故选项C错误；对于D，双曲线的焦点到渐近线的距离为43×51+43故选AD．]8．(2026·宜城模拟)设双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点PA．若a＝2，b＝3，则双曲线C的两条渐近线的方程是y＝±23B．若点P的坐标为(2，42)，则双曲线C的离心率大于3C．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积等于b2D．若双曲线C为等轴双曲线，且|PF1|＝3|PF2|，则cos∠F1PF2＝1BCD[对于A，双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0当a＝2，b＝3时，双曲线的渐近线方程是y＝±32x，故A对于B，因为点(2，42)