78　第九章　第71课时　一元线性回归模型及其应用

2/28第71课时一元线性回归模型及其应用[考试要求]1．了解样本相关系数的统计含义．2．了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．知识点1变量的相关关系(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势．(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．知识点2相关关系的刻画(1)散点图：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．(2)样本相关系数r的计算公式r＝n＝n∑(3)样本相关系数r的性质①样本相关系数r的取值范围为[－1，1]；②当r>0时，成对样本数据正相关；③当r<0时，成对样本数据负相关；④样本相关系数与相关程度当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．知识点3一元线性回归模型与最小二乘法(1)一元线性回归模型称Y＝bx+a+e，E(e)＝0，D(e)＝σ2为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，(2)最小二乘法将y＝bx+a称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b＝知识点4刻画回归效果的方式(1)残差图法在残差图中，残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明满足一元线性回归模型的假设，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．(2)残差平方和法残差平方和为n∑i＝1(y(3)决定系数法R2＝1－n∑i＝1(yi[常用结论]1．经验回归直线必过点(x，y2．计算b时1．(人教B版选择性必修第二册P121习题4－3AT3)变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关．则()A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关A[因为－0.1<0，所以x与y负相关，又因为变量y与z正相关，所以x与z负相关．故选A．]2．(人教A版选择性必修第三册P103习题8.1T1改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()ABCDD[观察题干散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．故选D．]3．(人教A版选择性必修第三册P103练习T3改编)在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，则y与x的样本相关系数为()A．12B．－1C．0D．B[根据题意得x＝14×(1＋2＋4－1)＝1.5，y＝14×(2＋0－4＋6)＝1，4∑i＝1xi2＝22，4∑i＝1故选B．]4．(人教A版选择性必修第三册P113练习T2)假如女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为y＝0.81x＋25.82．已知父亲身高为175cm，则估计女儿的身高是______________cm(结果保留整数)．

168[当x＝175时，y＝0.81x＋25.82＝0.81×175＋25.82≈168．]5．(人教A版选择性必修第三册P138复习参考题8T2)根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型Y＝bx+aA．满足一元线性回归模型的所有假设B．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设C．不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设D．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设C[由一元线性回归模型Y＝bx+a+e，E(e)＝0，D(e)＝σ26．(苏教版选择性必修第二册P169习题9.1T1)某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有如下数据：x/℃－2－1012y/百元54221甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，下列经验回归方程正确的是()A．y＝-x+2.8 B．C．y＝-1.2x+2.6 D．y＝xA[计算得x＝15(－2－1＋0＋1＋2)y＝15(5＋4＋2＋2＋1)＝2经验回归直线必过(0，2.8)，故只有A项满足．]考点一成对数据的统计相关性[典例1](1)(2025·上海浦东新区期末)通过随机抽样，收集了若干朵鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位：cm)，绘制的散点图如图所示，计算得样本相关系数r＝0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为y＝0.7501x＋0.6105，根据以上信息，下列命题正确的是()A．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cmB．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.8642C．花瓣长度和花萼长度负相关D．花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系(2)(2025·淮安月考)某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价x(单位：元)与销量y(单位：百件)的对应数据，如表所示：x1212.51313.514y14131198(i)求该纪念品定价的平均值x和销量的平均值(ii)计算x与y的样本相关系数．参考数据：5∑i＝1(参考公式：样本相关系数r＝n∑(1)A[对于A，因为利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为y＝0.7501x＋0.6105，所以当x＝7时，y＝0.7501×7＋0.6105＝5.8612cm，即花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm，故A正确；对于B，由于r＝0.8642是全部数据的样本相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的样本相关系数不一定是0.8642，故B错误；对于C，因为计算得样本相关系数r＝0.8642>0，所以花瓣长度和花萼长度正相关，故C错误；对于D，因为计算得样本相关系数r＝0.8642，不是1或－1，所以花瓣长度和花萼长度不存在一次函数关系，故D错误．故选A．](2)[解](i)由表格数据可知，x＝15×(12＋12.5＋13＋13.5＋14)＝13，y＝15×(14＋13＋11＋9(ii)因为5∑i＝1(xi－x)2＝1＋0.25＋0＋0.25＋1＝2.5，5∑i＝1(yi－y)2＝9＋4＋所以r＝5∑i＝1(x通性通法：判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，线性相关性越强．(3)经验回归方程：当b>0时，正相关；当b<0时，负相关．[多维变迁]1．对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图所示．求得经验回归方程分别是y＝b1x+a1和u＝A．b1b2>0 B．－1<rC．|r1|<|r2| D．r1＋r2<0D[由散点图可知，x与y负相关，v与u正相关，则b1<0，b2>0，0<r2<1，故A，B错误．图形中点(x，y)比(v，u)更加集中在一条直线附近，则|r1|>|r2|．又r1<0，r2>0，所以r1＋r2<0，故C错误，D正确．故选D2．一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－3x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为______________．

－1[因为所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－3x＋1上，所以经验回归方程是y＝－3x＋1，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线上，则有|r|＝1，所以样本相关系数r＝－1．]【教用·备选题】(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10∑i＝1xi2＝0.038(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：样本相关系数r＝n∑i＝1([解](1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x＝0.610＝0样本中10棵这种树木的材积量的平均值y＝3.910＝0据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，平均一棵的材积量为0.39m3．(2)r＝10＝10＝0.2474-10＝0.01340.0001896≈0.01340.01377≈0.(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.060.39＝186Y，解得Y＝1209则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3．考点二回归模型一元线性回归模型[典例2]随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如下：广告支出x/万元24568销售额y/万元2030506070(1)计算x，y的样本相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较强的线性相关程度．(若0.3<|r|<0.75，则线性相关程度一般；若|r|≥0.75，则线性相关程度较强．344≈18.55)(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测当广告支出为15万元时，销售额约为多少万元．参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式、样本相关系数r的公式分别为b＝r＝n∑[解](1)根据题目表格里的数据可得x＝2+4+5+6+85＝5，y则5∑i＝1(xi－x)(yi－y)＝(2－5)×(20－46)＋(4－5)×(30－46)＋(5－5)×(50－46)＋(6－5)×(60－46)＋(8－5)×(70－465∑i＝1(xi－x)2＝(2－5)2＋(4－5)2＋(5－5)2＋(6－5)2＋(8－5)5∑i＝1(yi－y)2＝(20－46)2＋(30－46)2＋(50－46)2＋(60－46)2＋(70－46)2＝所以r＝5＝18020×1720＝18344≈0.故广告支出与销售额具有较强的线性相关程度．(2)根据公式可得b＝5∑i＝1(xi-x)(y所以y关于x的经验回归方程为y＝9x＋1．所以当广告支出为15万元时，预测销售额约为y＝9×15＋1＝136(万元)．思维建模：“算、找、代、估”四步模型法求解线性回归分析问题第1步算：计算核心统计量，即x，y，n∑i＝1(xi－x)2，n∑i＝1(yi－y)2，n∑第2步找：画出散点图或找到样本相关系数，分析变量间是否存在线性相关关系(若两个变量之间不具有线性相关关系，则求出的经验回归方程就没有实际意义)．第3步代：代入公式求出y＝b第4步估：根据经验回归方程对实际问题进行估计．[多维变迁](2025·南京月考)已知变量y关于变量x的经验回归方程为y＝kx－0.5，其相关数据如下表所示：x1234y1346若变量x的值为5，则变量y的估计值为()A．6.5 B．7C．7.5 D．8C[由表格中的数据可得x＝2.5，y＝3.5，又经验回归直线过样本点中心(x，y所以将(2.5，3.5)代入经验回归方程可得2.5k－0.5＝3.5，解得k＝1.6，故经验回归方程为y＝1.6x－0.5，当x＝5时，y＝1.6×5－0.5＝7.5，即若变量x的值为5，则变量y的估计值为7.5．故选C．]【教用·备选题】(2025·青铜峡市期末)某研究所研究耕种深度x(单位：cm)与水稻每公顷产量y(单位：t)的关系，所得数据资料如下表．耕种深度x/cm81012141618每公顷产量y/t67891113(1)求样本相关系数r(结果保留两位小数)，并判断它们是否具有较强的线性相关性；(2)求经验回归方程．参考数据：595≈24.4；参考公式：r＝n∑b＝[解](1)由题意可知x＝8+10+12+14+16+186y＝6+7+8+9+11+136故r＝6＝-5＝24595≈2424.4≈0.98(2)6∑i＝1(xi－x)(yi－y)＝－5×(－3)＋(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋1×0＋3×2＋5×6∑i＝1(xi－x)2＝25＋9＋1＋1＋9＋故b＝将(13，9)代入可得a＝9-2435×故经验回归方程为y＝2435非线性回归模型[典例3](2025·上海宝山区月考)经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度xi和产卵数yi(i＝1，2，…，10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．10∑i10∑i10∑i10∑i10∑i＝36054.513604438410∑i＝1t)210∑i(yi－y)10∑i(zi－z)10∑i(yi－y)3588326430表中ti＝xi，z(1)根据散点图判断，y＝a＋bx，y＝n＋mx与y＝c1ec2(2)根据(1)的判断结果及表中数据．(i)试求y关于x的经验回归方程；(ii)已知用人工培养该鱼类的成本h(x)与温度x和产卵数y的关系h(x)＝x(lny－2.4)＋170，当温度x(x取整数)为何值时，培养成本的预报值最小？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线v＝α+[解](1)第1步确定经验回归类型：根据散点图或样本相关系数确定经验回归方程的函数类型．根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以y＝c1ec2x适宜作为y与(2)(i)第2步转化线性经验回归方程：将x，x2，lnx等换元转化成一次函数型；若为指数型，可取对数后换元成一次函数型．对y＝c1ec2x两边同时取对数，得lny＝lnc1＋c令z＝lny，则z＝c2x＋lnc1，所以c2所以lnc1第3步求解线性经验回归方程：利用公式求解．所以z＝第4步代换回原方程：将上一步线性经验回归方程转化成目标形式．所以y＝(ii)因为lny＝112所以h(x)＝x(lny－2.4)＋170＝x112x+75-2.4+170所以当x＝6时，培养成本的预报值最小．思维建模：非线性经验回归模型第1步确定经验回归类型：根据散点图或样本相关系数确定经验回归方程的函数类型．第2步转化线性经验回归方程：将x，x2，lnx等换元转化成一次函数型；若为指数型，可取对数后换元成一次函数型．第3步求解线性经验回归方程：利用公式求解．第4步代换回原方程：将上一步经验回归方程转化成目标形式．【教用·通性通法】非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法(1)若y＝a+bx，设t＝x(2)若满足对数式：y＝a＋blnx，设t＝lnx，则y＝a＋bt；(3)若满足指数式：y＝c1ec2x，两边取对数得lny＝lnc1＋c2x，设z＝lny，a＝lnc1，b＝c2【教用·备选题】某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据并绘制成散点图．光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：吨/亩)，记w＝lnx．参考数据：20∑i20∑i20∑i20202020∑i＝120∑i＝1290102.4524870540.281371578.2272.1参考公式：y关于x的经验回归方程y＝(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dlnx哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；(3)根据实际种植情况，发现上述经验回归方程在光照时长位于6～14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求经验回归方程估计当光照时长为e2小时时(e为自然对数的底数)，大棚蔬菜的亩产量．[解](1)根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y＝c＋dlnx更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程类型．(2)令w＝lnx，则y＝c＋dlnx，即y＝c+dw，y＝20∑i＝1yd＝＝272.1-20×2.6×5.12137-20c＝y-dw≈5.12－3.26×2.6≈所以y＝3.26w－3.36，即y＝3.26lnx－3.36．(3)当x＝e2时，y＝3.26lne2－3.36＝3.16．即当光照时长为e2小时时，大棚蔬菜的亩产量约为3.16吨．考点三决定系数与残差[典例4](1)(2026·武威市模拟)已知变量x，y线性相关，其一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，9)满足9∑i＝1xi＝33，用最小二乘法得到的经验回归方程为y＝2x－1．若增加一个数据(－3，3)后，得到修正后的经验回归直线的斜率为2.1A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4(2)(2026·济南模拟)下表是2020－2024年中国出生人口数y(单位：十万人)的数据：年份20202021202220232024年份代码x12345出生人口数y/十万人120106969095(i)求2020－2024年中国每年出生人口数的平均数；(ii)某研究人员建立了y关于x的回归模型y＝120－6x，用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人口数将低于700万；(iii)求(ii)中回归模型的决定系数R2，并评价其拟合效果．(如果0.85≤R2≤1，就认为拟合效果好，如果0.7≤R2<0.85，就认为拟合效果一般，如果R2<0.7，就认为拟合效果差)附：R2＝1－n∑i＝1((1)A[因为9∑i＝1x所以x＝因为经验回归直线y＝2x－1过样本点中心(x，y所以y＝2x－1＝2增加数据(－3，3)后，x1＝33-310＝3，y1所以6＝2.1×3＋b⇒b＝－0.3，则y＝2.1x－0.3，所以当x＝4时，有y＝2.1×4－0.3＝8.1，故残差的绝对值为|8－8.1|＝0.1．故选A．](2)[解](i)由题意可知，y＝15(120＋106＋96＋90＋95)＝101(ii)中国出生人口数低于700万，即y<70，当x＝8时，y＝120－6×8＝72>70，当x＝9时，y＝120－6×9＝66<70，所以x＝9对应2028年，即预测从2028年开始中国出生人口数将低于700万．(iii)分别令x＝1，2，3，4，5，得y＝114，108，102，96，90，所以R2＝1－5＝1－6＝1－137567＝430567≈因为0.7≤R2<0.85，所以这个模型的拟合效果一般．易错提醒：模型拟合效果的好坏可由残差平方和、残差图、决定系数R2等进行判断．【教用·备选题】1．假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2若由最小二乘法计算得经验回归方程为y＝0.29x＋34.7．(1)计算各组残差，并计算残差平方和；(2)求R2，并说明回归模型的拟合效果．(参考数据：5∑i＝1(yi-y)2＝50.18，如果0.85≤R2≤1，就认为拟合效果好，如果0.7≤R2<0.85[解](1)由yi可以算得ei＝yi-yi分别为e1＝0.35，e2＝0.718，e3＝－0.5，所以残差平方和为5∑i＝1(ei(2)5∑i＝1(yi－y)2＝故R2＝1－5∑i＝1(yi-y所以回归模型的拟合效果一般．2．某科技公司对近十年来高科技研发投入情况分析调研，其研发投入y(单位：亿元)的统计图如图1所示，其中年份代码x＝1，2，…，10分别指2016年、2017年、……、2025年．现用两种模型A：y＝bx＋a，B：y＝c＋dx分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下值．yt10∑i10∑i10∑(xi－x)10∑i＝1(y752.2582.54.512028.67表中ti＝xi，t(1)根据图2，比较模型A，B的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．(2)根据(1)中所选模型，求y关于x的经验回归方程及该公司2031年高科技研发投入y的预测值(回归系数精确到0.01)．附：b＝[解](1)应选择模型B．理由如下：由于模型B的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型A的带状区域宽度窄，所以模型B的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应越高，故选模型B比较合适．(2)根据模型B，令t＝x，则研发投入y与t可用线性经验回归模型来拟合，设y＝c则d＝28.674.5≈6.37，所以c＝y-dt≈75－6.37×则y关于t的经验回归方程为y＝6.37t＋60.67，所以y关于x的经验回归方程为y＝6.37x＋602031年对应年份代码为16，即当x＝16时，y＝6.37×16＋60.67＝86.15．所以该公司2031年高科技研发投入y的预测值为86.15亿元．1．(链接考点一)(2024·上海卷)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是()A．沿海地区气温高，海水表层温度就高B．沿海地区气温高，海水表层温度就低C．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势C[因为沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，所以随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势．故选C．]2．(链接考向1)(2026·重庆模拟)已知变量x和y的统计数据如表．x8090100110120y120140a165180若x，y线性相关，经验回归方程为y＝1.45x＋7，则a＝()A．155 B．158C．160 D．162A[x＝80+90+100+110+1205经验回归方程为y＝1.45x＋7，则y＝1.45×100＋7＝152，则a＝152×5－120－140－165－180＝155．故选A．]3．(链接考向2)(2026·大庆模拟)蝗虫产卵量y与温度x的关系可用模型y＝c1ec2x拟合，设z＝x2023252730z22.4334.6由上表可得经验回归方程z＝0.2x+a，则cA．e-2 B．e3C．2 D．3A[由题意可知，x＝20+23+25+27+305＝25，z因为经验回归直线z＝0.2x+a过样本点中心(25，3)，所以3＝0.2×25所以z＝0.2x－2，因为z＝lny，所以lny＝0.2x－2，所以y＝e0.2x-2＝e0.2xe2＝e-2·e0所以c1＝e-2．故选A．]4．(链接考点三)(2025·武汉期末)为了研究某市高二学生脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的x＝19，y＝161，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为y＝－5[已知x＝19，y＝161，则样本点中心为(19，161)，把(19，161)代入经验回归方程y＝得161＝4×19＋a，解得a＝85，所以y＝4x＋85，当x＝25时，y＝4×25＋85所以该样本点的残差为180－185＝－5(cm)．]课时作业(七十一)一元线性回归模型及其应用一、单项选择题1．在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图．下列结论正确的是()A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%B[观察题干图，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%．]2．(2025·银川一模)有一散点图如图所示，在5个(x，y)数据中去掉D(3，10)后，下列说法错误的是()A．残差平方和变小B．样本相关系数r变大C．决定系数R2变大D．解释变量x与响应变量y的相关性变弱D[由散点图可知，若去掉D点，则x与y的线性相关性变强，且是正相关，所以样本相关系数r变大，决定系数R2变大，残差平方和变小．故选D．]3．(人教B版选择性必修第二册P115练习BT2改编)某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)之间有如下数据：x/℃1520253035y/百元12245已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的经验回归方程是()A．y＝0.2x-2B.y＝0.2C．y＝0.2x+2D.y＝0.2B[经验回归直线必过样本点中心，由题意得x＝15+20+25+30+355y＝1+2+2+4+55＝2.8，结合选项可知，2.8＝0.2×25－2.2，即y与x的经验回归方程是y＝0.2x－2.2．故选4．(2025·长沙期末)设两个相关变量x和y分别满足下表：x12345y128816若相关变量x和y可拟合为非线性经验回归方程y＝2bx+a，则当x＝6时，y的估计值为()(参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β＝n∑A．33 B．37C．65 D．73B[令zi＝log2yi，则z＝z＝15×(0＋1＋3＋3＋4)＝115，x＝15×(1＋2＋3＋4＋a＝z-bx＝115－1×3＝－0.8，故当x＝6时，y＝25.2＝25×21因为1.155≈2，所以215≈1.所以y＝25.2＝25×215≈32×1.15＝36.8≈故选B．]二、多项选择题5．(2025·沧州期中)关于样本相关系数r，下列说法正确的是()A．r∈[－1，1]B．当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强C．当r＝0时，成对样本数据之间没有任何相关关系D．当r>0时，成对样本数据正相关ABD[对于选项A，由样本相关系数的性质，可得r∈[－1，1]，故A正确；对于选项B，由样本相关系数的性质，可得当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故B正确；对于选项C，当r＝0时，成对样本数据之间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系，故C错误；对于选项D，由样本相关系数的性质，可得当r>0时，成对样本数据正相关，故D正确．故选ABD．]6．(2026·广元模拟)某直播带货公司统计了今年1月份至5月份的某种产品的月销量y(单位：千件)如表所示：月份x12345月销量y2.43.1455.5已知变量y与x之间具有线性相关关系，通过最小二乘法求得的经验回归方程为y＝bx＋1.57，则下列说法正确的是((参考公式：样本相关系数r＝n∑i＝1(xA．b＝0.81B．r>0C．x每增加1，y一定增加0.81D．r2＝R2ABD[由题意可知，x＝1+2+3+4+55＝3，y因为经验回归直线y＝bx＋1.57过点(x所以4＝3b＋1.57，解得b＝0.81