38　第四章　第36课时　正弦定理、余弦定理

1/20第36课时正弦定理、余弦定理[考试要求]1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．2．理解三角形的面积公式并能应用．3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识点1正弦定理、余弦定理在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinAa2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2cosB＝c2cosC＝a知识点2三角形解的个数的判断项目A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解知识点3三角形中常用的面积公式(1)S＝12aha(ha表示边a上的高)(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsin(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)[常用结论]1．三角形中的边角关系在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB．2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA+B2＝cosC2；(4)cosA3．在△ABC中，S＝p(1．(人教A版必修第二册P48练习T2(2))在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝______________．

2＋63[在△ABC中，因为b＝2，A＝45°，C＝75°，所以B＝180°－45°－75°＝60°，则由正弦定理bsinB＝2．(苏教版必修第二册P93练习T1(3))在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则A＝______________．

2π3[cosA＝b2+c因为0<A<π，所以A＝2π3．3．(北师大版必修第二册P120练习T2)在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A．a＝7，b＝14，A＝30°B．a＝30，b＝25，A＝150°C．a＝72，b＝50，A＝135°D．a＝30，b＝40，A＝26°D[对于选项A，由asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝14×127＝1，又0°<B<180°，从而B＝90°，C＝180°－90°－30°＝60°，只有一解；对于选项B，因为A＝150°，△ABC是钝角三角形，所以只有一解；同理选项C只有一解；对于选项D，由b4．(人教B版必修第四册P5例3)已知△ABC中，b＝36，c＝6，B＝120°，则△ABC的面积为______________．

27-932[由bsinB＝csinC得sinC＝csinBb＝6×3236＝2由于b>c，故B>C，所以C＝45°，所以A＝180°－120°－45°＝15°，sin15°＝sin(60°－45°)＝32×22－12×22＝6-24，所以△ABC的面积为S＝15．(人教A版必修第二册P47例8改编)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A＝()A．150°B．90°C．60°D．30°D[由正弦定理，得1sinA＝2sin45°，得sinA＝12．又a<b，∴A<B＝45°．∴A＝306．(用结论)已知△ABC的三边长分别为a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的外接圆半径＝______________．

35624[由题意可得p＝a+b+c2＝5+6+72＝9，S△ABC＝9×考点一利用正、余弦定理解三角形[典例1](1)(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋3，AB＝6，则A＝()A．45° B．60°C．120° D．135°(2)(2024·天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cosB＝916，b＝5，a(i)求a的值；(ii)求sinA的值．(1)A[由题意得cosA＝(1+3)2+6-42(1+3)×6＝22，因为0°(2)[解](i)由ac＝23得a由余弦定理及其推论得a2＋c2－b2＝2accosB，即49c2＋c2－25＝2×23c×c×整理得2536c2＝25，解得c＝6(舍负)，故a＝23c＝(ii)因为cosB＝916，所以sinB＝1-co由正弦定理asin即sinA＝74通性通法：应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用正弦定理变形公式a＝bsinAsinB等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos(2)求角：利用正弦定理变形公式sinA＝asinBb等或余弦定理的推论cosA＝[多维变迁]1．(2025·雅安期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝2，c＝2，则C＝()A．45° B．135°C．45°或135° D．30°C[∵B＝30°，b＝2，c＝2，则sinC＝csin∵C>B，0°<C<180°，∴C＝45°或C＝135°．故选C．]2．(2025·北海期末)在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosA的值为()A．78 B．C．12 D．－A[∵sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，∴由正弦定理，得a∶b∶c＝2∶3∶4，不妨设a＝2，b＝3，c＝4，∴cosA＝b2故选A．]3．(2026·邯郸模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2．若b＝6，a＝32sinB，则C＝()A．π4 B．C．π8 D．D[在△ABC中，由b2＋c2＋bc＝a2及余弦定理的推论，可得cosA＝b2+c由0<A<π，可得A＝2π3又b＝6，a＝32sinB，由正弦定理得sinB＝bsin又sinB>0，解得sinB＝22又0<B<π3，因此B＝π所以C＝π－A－B＝π12．故选D．【教用·备选题】(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝2．(1)求A；(2)若a＝2，2bsinC＝csin2B，求△ABC的周长．[解](1)由sinA＋3cosA＝2，得12sinA＋32cosA＝1，即sinA+由于A∈(0，π)，所以A＋π3∈π3，所以A＝π6(2)由题设条件和正弦定理得2sinBsinC＝2sinCsinBcosB，又B，C∈(0，π)，则sinBsinC≠0，所以cosB＝22，所以B＝π4，所以C＝π－A－B＝sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA＝2+由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC故△ABC的周长为2＋6＋32．考点二判断三角形的形状[典例2]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定A[法一(化角为边)：因为bcosC＋ccosB＝b·a2+b2-c22ab＋c·a2+c2-b22ac＝2a22a法二(化边为角)：因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝sin2A，又sinA≠0，故sinA＝1，即A＝π2，因此△ABC是直角三角形．通性通法：判断三角形形状的技巧(1)整理出边的相应关系从而判断三角形是否为等边、等腰或直角三角形；(2)通过三角恒等变换，得出内角之间的关系，从而判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形．求解三角形形状问题时，既要从边的角度考虑又要从角的角度考虑，以免漏解．[多维变迁](多选)(2025·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是()A．若acosA＝bcosB，则△ABC为直角三角形B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解C．若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosBD．若cos2A＋cos2B－cos2C<1，则△ABC为锐角三角形BC[对于A，由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴A＝B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，asinB＝40sin25°<40sin30°＝40×12＝20即asinB<b<a，∴△ABC必有两解，故B正确；对于C，∵△ABC是锐角三角形，∴0°<A<90°，0°<B<90°，180°>A＋B>90°，即90°>A>90°－B>0°，∴sinA>sin(90°－B)＝cosB，故C正确；对于D，由题意及二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C<1，即sin2A＋sin2B－sin2C>0，即a2＋b2－c2>0，∴cosC>0，即C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误．故选BC．]【教用·备选题】(多选)(2026·吉林模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，下列叙述正确的是()A．若acosB＝bB．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解C．若tanA＋tanB＋tanC<0，则△ABC为钝角三角形D．若a＝bsinC＋ccosB，则C＝πBCD[对于A，因为acosB＝bcosA，由正弦定理得sinAcos由于A，B为三角形的内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A对于B，因为A＝30°，b＝4，a＝3，由正弦定理得，312＝4sinB，可得sinB＝23，cosA＝32，cosB＝±1-sin2B＝±53，则cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin若cosB＝53，B是锐角，则cosC＝12×23若cosB＝－53，B是钝角，cosC＝12×23故B有两解，故B正确；对于C，若tanA＋tanB＋tanC<0，因为tanC＝－tan(A＋B)＝－tanAtanA＋tanB＝－tanC(1－tanAtanB)，所以tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC<0，所以tanA，tanB，tanC中必有一个值为负，即A，B，C中必有一个为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，a＝bsinC＋ccosB，由正弦定理得sinA＝sinBsinC＋sinCcosB，即sin(B＋C)＝sinBsinC＋sinCcosB，即sinBcosC＝sinBsinC，因为sinB≠0，所以cosC＝sinC，即tanC＝1，因为0<C<π，所以C＝π4，故D正确故选BCD．]考点三三角形的面积、周长问题[典例3](2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC＝2cosB，a2＋b2－c2＝2ab．(1)求B；(2)若△ABC的面积为3＋3，求c．[解](1)因为a2＋b2－c2＝2ab，所以cosC＝a2+b2-c22ab＝2所以2cosB＝sinC＝22，所以cosB＝1又0<B<π，所以B＝π3(2)法一：由(1)得A＝π－B－C＝5π12因为sin5π12＝sinπ6+π4＝sinπ6cosπ4所以由正弦定理asin所以a＝1+32所以S△ABC＝12acsinB＝1+34c2×32＝解得c＝22(舍负)．法二：由(1)得A＝π－B－C＝5π12设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得b＝2RsinB＝3R，c＝2RsinC＝2R．因为sin5π12＝sinπ6+π4＝sinπ6cosπ4＋cosπ6·sinπ4＝2+64，所以S△ABC＝12bcsinA＝12·3R·2R·sin5π12＝3＋3，即6R22思维建模：边角互化模型(解三角形中的边角共存式)第1步边化角或角化边：将边角共存式化成只含角或只含边的等式．正弦定理可将每一项的边化成正弦值，也可将每一项的正弦值化成边；余弦定理可将某一项的余弦值化成边．第2步解方程：解三角方程或关于边的方程．【教用·通性通法】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsin(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[多维变迁]1．(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝35，则△ABC的面积为(A．6 B．8C．24 D．48C[由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos∠BAC，即64＝100＋AB2－2AB×10×35，∴AB2－12AB＋36＝0∴AB＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，∴S△ABC＝12AB·BC＝12×6×8＝242．(2026·漳州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA＝(2c－a)cosB．(1)求角B的值；(2)若a＝4，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．[解](1)法一：由bcosA＝(2c－a)cosB及正弦定理可得2sinCcosB＝sinBcosA＋sinAcosB，可得2sinCcosB＝sin(A＋B)，因为A＋B＝π－C，所以2sinCcosB＝sinC，因为sinC≠0，所以cosB＝12因为0<B<π，所以B＝π3法二：由bcosA＝(2c－a)cosB及余弦定理可得b·b2+c2-a22bc＝化简得a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理可得2accosB＝ac，因为ac≠0，所以cosB＝12因为0<B<π，所以B＝π3(2)由S△ABC＝12acsinB，得3＝12×4×解得c＝1，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得b2＝42＋12－2×4×1×12＝13，解得b＝13故△ABC的周长为5＋13．【教用·备选题】1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA＝13sinC，cosB＝23，△ABC的面积为25，则△ABC的周长为(A．8＋26 B．11C．8＋27 D．8＋43A[因为sinA＝13sinC，由正弦定理可得c＝3a由cosB＝23可得sinB＝5由题意可得S△ABC＝25，即S△ABC＝12acsinB＝32a2×53＝25，解得a＝2(舍负)，所以c由余弦定理可得b2＝4＋36－2×2×6×23＝24所以b＝26，所以△ABC的周长为8＋26．故选A．]2．(2025·西安期末)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2asinC＝3c．(1)求角A的大小；(2)若a＝27，b＝4，求△ABC的面积．[解](1)由已知及正弦定理，得2sinAsinC＝3sinC，因为C为锐角，则sinC≠0，所以sinA＝32因为A为锐角，则A＝π3(2)由余弦定理可得，b2＋c2－2bccosA＝a2，则c2＋16－8c×12＝28，即c2－4c－12＝0，即(c－6)(c＋2)＝0因为c>0，则c＝6，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×4×6×32＝3．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．[解](1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12＋2×2×1×12＝7，解得BC＝7法一：由正弦定理ACsin∠得sin∠ABC＝1×法二：由余弦定理的推论得cos∠ABC＝AB所以sin∠ABC＝1-cos(2)法一：由sin∠ABC＝2114得tan∠ABC＝35又tan∠ABC＝DAAB＝DA2，所以故△ADC的面积为12DA·AC·sin(120°－90°)＝12×23法二：△ABC的面积为12AC·AB·sin∠BAC＝12×1×2×S△＝sin30°2故△ADC的面积为15S△ABC＝1射影定理的应用射影定理：记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则有a＝bcosC＋ccosB，b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA．[典例4](2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝π5，则B＝(A．π10 B．C．3π10 D．C[法一(正弦定理法)：由acosB－bcosA＝c结合正弦定理得sinAcosB－sinBcosA＝sinC＝sin(A＋B)，即sinAcosB－cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinBcosA＝0．在△ABC中，∵sinB≠0，∴cosA＝0，即A＝π2则B＝π－A－C＝π－π2－π5法二(余弦定理法)：由acosB－bcosA＝c结合余弦定理的推论得a·a2+c2-b2化简得b2＋c2＝a2，∴A＝π2则B＝π－A－C＝π－π2－π5法三(射影定理法)：由acosB－bcosA＝c结合射影定理acosB＋bcosA＝c，得bcosA＝0．在△ABC中，b≠0，∴cosA＝0，即A＝π2则B＝π－π2－π5＝1．(链接考点一)(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝(A．2 B．1C．3 D．2D[由正弦定理asinA＝bsinB，得b＝asinBsin2．(链接考点一)(2025·四川期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，cosA＝14，则BC＝(A．1 B．2C．53 D．B[根据余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cosA＝4＋1－2×2×1×14＝4，解得BC＝2(舍负)故选B．]3．(链接考点二)(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列判断三角形的形状正确的是()A．若AB＝6，AC＝5，BC＝8，则△ABC为钝角三角形B．若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形C．若a∶b∶c＝4∶6∶7，则△ABC为锐角三角形D．若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC一定为等腰三角形ABC[对于A，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝8，由余弦定理的推论得cosA＝AB2+AC则A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，A正确；对于B，在△ABC中，若cosA＝cosB，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，B正确；对于C，由a∶b∶c＝4∶6∶7，设a＝4k，b＝6k，c＝7k(k>0)，所以C是△ABC的最大内角，所以cosC＝a2+b2-c22ab＝16k2+36k2对于D，由正弦定理及题意，得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sin(A＋B)－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，故cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinA＝sinB，即A＝π2或A＝B故△ABC为直角三角形或等腰三角形，D错误．故选ABC．]4．(链接考点三)(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝______________，△ABC的面积为______________．

341574[依题意得cosA所以sinA＝1-cos所以△ABC的面积为12bcsinA＝157课时作业(三十六)正弦定理、余弦定理一、单项选择题1．(2025·咸宁期末)在△ABC中，B＝π3，AB＝8，AC＝7，则BC＝(A．5 B．3或5C．4 D．2或4B[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝49，整理得BC2－8BC＋15＝0，解得BC＝3或BC＝5，经检验均符合题意．故选B．]2．(人教A版必修第二册P61复习参考题6T11改编)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是()A．b＝10，A＝45°，B＝70°B．a＝60，c＝48，B＝60°C．a＝7，b＝5，A＝80°D．a＝14，b＝16，A＝45°D[对于A，已知两角及其中一角的对边，三角形确定，只有一解；对于B，已知两边及其夹角，用余弦定理，只有一解；对于C，已知两边及其中一边的对角，且已知的是两边中较大边所对的角，所以三角形有一解；对于D，bsinA＝16sin45°＝82<a<b，有两解．故选D．]3．(2026·喀什市模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝463，A＝60°，则B＝(A．30° B．30°或150°C．45° D．45°或135°C[由正弦定理asin得4sin60°＝463sinB因为a>b，所以A>B，又因为0°<B<120°，所以B＝45°．故选C．]4．(2026·杭州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足4c2＋a2＝b2，则△ABC为()A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．等腰三角形B[在△ABC中，4c2＋a2＝b2，由余弦定理得b2＝4c2＋a2＝a2＋c2－2accosB，则3c2＝－2accosB>0，因此cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．故选B．]5．(2026·邯郸模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为()A．6＋2 BC．3＋1 D．3D[因为A＝105°，B＝45°，所以C＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理bsin得c＝bsin因为sinA＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6+所以△ABC的面积为12bcsinA＝12×2×故选D．]二、多项选择题6．(2025·葫芦岛月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA∶(sinA＋sinB)∶(sinB＋sinC)＝2∶5∶7，则()A．a∶b＝2∶3B．a∶c＝1∶2C．△ABC是锐角三角形D．△ABC是钝角三角形ABD[在△ABC中，sinA∶(sinA＋sinB)∶(sinB＋sinC)＝2∶5∶7，由正弦定理得a∶(a＋b)∶(b＋c)＝2∶5∶7，设a＝2t(t>0)，则a＋b＝5t，b＋c＝7t，得b＝3t，c＝4t，因此a∶b＝2∶3，a∶c＝1∶2，A和B正确；由c>b>a，得C为△ABC的最大内角，而cosC＝a2+b2-c2即△ABC是钝角三角形，C错误，D正确．故选ABD．]7．(2025·扬州期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是()A．a＝15，b＝4，c＝6B．A＝π3，B＝π6，aC．a＝23，b＝4，sinA＝11D．a＝23，b＝4，cosB＝1ABD[对于A，a＝15，b＝4，c＝6，根据15＋4>6，可知a，b，c可以构成三角形，结合余弦定理，可得角A，B，C均有唯一解，所以△ABC有唯一解，A项符合题意；对于B，由A＝π3，B＝π6，可得C＝π－A－B＝所以△ABC是以c为斜边的直角三角形，结合a＝2，可知△ABC有唯一解，B项符合题意；对于C，bsinA＝4×114＝11，可得a＝23∈(bsinA，b)，所以△ABC对于D，由余弦定理得b2＝c2＋a2－2caco