黑龙江省龙东十校联盟2027届高三上学期10月月考数学试卷（含答案）

2026～2027学年度高三年级第一学期10月份月考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色、墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数及其性质、导数及其应用、三角函数、解三角形，平面向量与复数，数列．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A． B． C． D．2．已知数列满足，，则A．9 B．3 C． D．3．已知单位向量，满足，则向量与的夹角的余弦值为A． B． C． D．4．已知复数，则A． B．C．复数的虚部为1 D．复数在复平面内的对应点在第一象限5．已知函数（），，若函数在上单调递增，且图象关于直线对称，则A． B． C． D．6．已知等比数列是递增数列，其前项积为，若，，成等差数列，，则当取最小值时，A．9 B．11 C．13 D．157．已知，，，则A．的最小值为 B．的最小值为C．的取值范围是 D．的最小值为48．若对成立，则实数的最大值为A． B．1 C．2 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是A．若命题：，，则：，B．“”是“”的充分必要条件C．若函数在上不单调，则实数的取值范围是D．若函数是幂函数，且是奇函数，则10．已知等差数列的前项和为，且，，则A．存在正整数，，（），使，，成等差数列B．数列的前100项和为100C．数列的前100项和为4950D．数列的前100项和为11．若对成立，则实数的取值可以是A． B． C． D．4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数，，．若，则__________．13．已知是第二象限角，且，则__________．14．已知数列的前项和为，且．设，数列的前项和为，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数，，且．（1）求的值和函数的最小正周期；（2）当时，求的取值范围．16．（本小题满分15分）已知数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．17．（本小题满分15分）已知中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）设的面积为，，是边的中点．（i）求的周长；（ii）求边上中线的长．18．（本小题满分17分）设数列的前项和为，，．（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为．（i）求；（ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围．19．（本小题满分17分）已知函数，设，，．（1）试确定的取值范围，使得函数在上单调；（2）试判断，的大小，并说明理由；（3）若存在，满足，求的取值范围并确定满足条件的的个数．

2026～2027学年度高三年级第一学期10月份月考•数学参考答案、提示及评分细则1．B2．A3．A4．C5．D6．B7．C8．D9．ACD10．AB11．BC12．13．13．（）15．解：（1）因为， 2分所以，又因为，所以． 4分因为， 6分所以的最小正周期． 7分（2）由，得，，所以函数的单调递增区间为，．同样可得的单调递减区间为，． 9分所以在上单调递增，在上单调递减，，，， 11分所以当时，，即的取值范围是． 13分16．解：（1）因为，，当时，， 2分当时，，所以， 4分所以（）， 5分所以 7分（2）由题可知， 8分所以， 9分令，则， 10分时，，又时，，所以，， 13分因为， 14分所以． 15分17．解：（1）由条件得，由正弦定理得， 2分由余弦定理得， 4分因为，所以． 6分（2）（i）由的面积为，得， 7分又，，所以， 9分所以，所以的周长为． 11分（注：结果为不扣分）（ii）因为是中点，所以， 12分所以， 14分所以．即边上的中线的长为1． 15分18．（1）证明：因为，所以， 1分所以， 2分因为，所以，所以，且， 3分所以是首项为2，公比为2的等比数列； 4分所以，． 5分当时，；又时，，所以的通项公式是． 6分（2）解：（i）由（1）知， 7分所以①，所以②，①-②得：， 9分所以． 10分（ii）由题意，对任意的，均有恒成立，所以， 12分即恒成立． 13分设，所以，当时，，即； 14分当时，，即， 15分所以的最大值为， 16分所以．故的取值范围是． 17分19．解：（1）．由，得，或；由，得．所以在，上单调递增，在上单调递减． 2分因为函数在上为单调函数，所以．故当的取值范围是时，使得函数在上单调． 4分（2）． 5分因为在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值为．又因为， 6分所以在上的最小值为．故当时，，即． 8分（3）因为，且，所以． 9分令，则问题转化为讨论在上有零点，求的取值范围，并讨论零点的个数． 10分因为，．