人教版2024-2025学年九年级数学上册241圆基本性质的综合(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

专题24.1圆基本性质的综合

♦典例分析

【典例1】已知，AA8C内接于圆0,48为圆0直径，在圆0上取点D,连接4D,AD=BC,

(2)如图2,圆。的弦/1E交8。于点凡延长A。至点G,分别连接8E、『G,若=2乙FBE,求证：FA=FG：

(3)如图3,在(2)的条件下，连接8G,^Z.AFG=Z.FAB+Z.ABG,RG.AE=17:32,求EF:凡4.

图3

【思路点拨】

(1)连接8。，证明Rt△ABC三Rt△BAD,得出乙48。=LBAD,^]BC\\AD,根据AC1BC,即可得出ACJLAD;

(2)设NFBE=a,乙AFC=B,则乙4"G=2a,,得到a+6=90。，进而得出乙兄4G=4G,即可得证；

(3)过8作871FG,在AE上取一点/,连接BJ,使得々BA=々48,证明△JBESAG8E(AAS),根据8G:AE=

17:32设8G=17a,AE=32%则8G=BJ=AJ=17a,勾股定理得出£8=y/BJ2-EJ2=8a,设?E=FT=

b,得出b=£a,即可求解.

【解题过程】

（1）证明：连接8D,如图所示:

为圆0直径,

二乙C=40=90°,即力C1BC

•••AD=BC,AB=AB

：.Rt^ABC三Rt△BAD

：.Z-ABC=乙BAD

：.BC\\AD

VAC1BC

:.AC1AD；

(2)证明：•••Z.AFG=24FBE、

设乙FBE=a,乙AFC=6,贝U44FG=2a,

VzC=90°,

J.LCAF^LCFA=90°,即a+/?=90。，

'：AD||CB,

：./.FAG=Z.CFA=/?,Z.G=Z.BFG=180°―/?-2a二夕,

Z.FAG=Z.G,

•••FA=FG；

(3)解：过8作8T_LfG,在/E上取--点心连接B/,使得=乙那/?,如图所示:

图2

设2/84=N=8=。，Z.FBE=a,乙AFC=B，

：.Z.FJB=4AB+〃BA=20,

由(2)可得乙4%=2a,乙BFG=/?,

•；BT1.FG,

:•乙FBT=90°-乙BFT=90°-/?=«?,

:.乙FBT="BE,

•・Y3是直径，

：.BELAE,

:.BE=BT,

\'z.AFG=Z.FAB+Z.ABG=2a,

^Z.ABG=乙AFG-Z.FAB=2a-0,

/.Z.JBG=Z.JBA+Z.ABG=6+2a-9=2a,

：.z.AFG=Z.JBG,

设BJ,FG交于点L,

图2

VZ.FLB=乙EJB十Z.AFG=乙BGT十LJBG,

:.乙BGT=国B,

在△,/BEqGBE中

(乙E=乙BTG

乙8GT=Z.EJB,

(EB=TB

.-.△/FF=AGFF(AAS),

：.BG=BJ,EJ=TG,

'：BG:AE=17:32

设BG=17a,AE=32a,则BG=BJ=AJ=17a,

：.EJ-TG-15a,

在Rt△EB/中,EB=jB/2-Ef=8a,

在Rt△FEB,Rt△FTF1P>

(EB=TB

IFF=FB'

：.FEB三RtAFTF(HL),

:・FE=FT,

设"E=FT=b,

'：FA=FG,

：.AE-EF=FT+TG,

/.32a-b=b+15a,

,b==a,即EF=¥Q,

22

.\AF=32a—h=32a——2a=­2a,

♦学霸必刷

1.(2024•山西临汾•一模)如图,线段48,4c分别为。0的弦,AB=12,AC=20,4D平分血C,若乙BAC=

60°,则弦的长为()

C.20V3D.2

2.[23-24九年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，E是。。的直径上•点，48=10,BE=2,过点E作

弦CD148,P是弧48上一动点，连接。P,过点A作/IQ1PD,垂足为Q,则OQ的最小值为（）

3.（23-24九年级下.浙江杭州•阶段练习）如图，△A8C是等边三角形，O。为△48。的外接圆，点。在劣

弧BC上，连结4。，BD,CD,并在4D上取点E,使得CD=DE,连结CE.若CD=1,BD=2,则。。的

半径为（）

4.12024九年级.全国.竞赛）如图，已知四边形A8CD为0。的内接四边形，点£为8c上•点，其中0。的

半径为10cm,AB=AD=AE=DE=8cm,贝UCO的长度为（）

A.8cmB.9cmC.10cmD.12cm

5.（23-24九年级上.湖北武汉・期末）如图，△4BC内接于0。，AB=AC,连接A。并延长，交BC于点、D,

8£1力。于点上，交AD于点F,连接0E.若OE=EF=1,则的长为（）

A.\[2B.\C.1D.V3

6.（2024・河北•模拟预测）如图，△48。内接于。。,水?为。。的直径，点。，E分别为。。上的动点（不

与点A,点8,点C重合），且DE=BC,尸为DE的中点，连接。工若48=6,BC=8,对于结论I,H,下

列判断正确的是（）

结论I：连接^。，。。，（^/3必得到等腰梯形；

结论H：连接4F,/1F的最大值为8.

A.LII都对B.I,II都不对C.I对II不对D.I不对II对

7.（23-24九年级下•重庆巴南•期中）如图，在。0中，C是脑的中点，作点C关于弦AB的对称点。，连

接力。并延长交00于点E,过点3作BF14E1于点尸，^ABAE=2/.EBF,则NERF等于度.

8.（23-24九年级上•江苏泰州.期末）如图，A/IBC是00的内接三角形，AB=AC,点。在弧4:上，依次

连接AD,BD、CD,若CD=2,AD=5,BD=8,贝必C等于.

9.（23-24九年级上•四川泸州♦阶段练习）如图，4B为。。的直径，C为0。上一点，其中4B=6,LAOC=

120°,，为。。上的动点，连接力P,取AP中点。，连“，则线段CQ的最大值为.

10.（23-24九年级上.山东威海.期末）将04的劣弧8。沿弦8。折叠、刚好落在半径4。的中点C处，已知

CD=2,则BC=.

II.（23-24八年级下•浙江宁波.期末i如图，点。在以48为直径的。。上，点。在延长线上,

0DLCD,AB=W,CD=8,点E为圆上动点，当△COE是以CO为底边的等腰三角形时：则CE=.

12.（2024•浙江宁波•一模）如图，AB,C。是。。中的两条弦，相交于点E,且48J.CO,AE=DE,点H为

劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE=1,DE=7,连接力G,则/1G最小值为.

13.（23-24九年级上.江苏盐城.期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1,点尸在以斜边为

直径的半圆上,M为PC的中点，则点尸沿半圆由点4运动至点8的过程中，线段8M的最小值为.

p.

14.（23-24九年级上•山东滨州•期末》如图，四边形A3。。是的内接四边形，BC—CD,将△A3C绕点。

旋转至△EDC,则卜列结论：①4c平分乙84。：②点A,。，E在同一条直线上：③若乙84。=60%则48+AD=

y/2ACi④若AD-AB=CD,则"IBC=120。，其中一定正确的是（填序号）.

C

15.（2024.安徽合肥•一模）如图，四边形48co内接于0。，乙BAD=90。,BC=CD,过点C作CE,使得

CD=CE,交4。的延长线于点E.

(1)求证：AB=AE.

(2)若4D=DE=2,求CD的长.

16.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)叫图，直径AN_L8C,垂足为点从连接OB、AC,K为线段AH_L一点,

连接CK,180°-Z.CKO=2/.CAO.

图1图2

(1)如图1,求证：CKWBO；

(2)如图2,。为弧48上一点，DE1EC,垂足为点G,连接。。交BC于点Q,Q为HG中点，求证：OE=40H.

17.（2024•福建福州••模）如图，四边形A8CD内接于。。，对角线AC是。。的直径，B。平分4/WC,BD交

4C于点E,过点。作OF108,OF,交B4的延长线于点F.

（2）过点尸作FG||B。交〃延长线于点G,求证：AG=CE.

18.(24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习)如图，△48C为。。的内接三角形，AB-AC,^BAC-50%

点P为弧48上一点，连接CP.

(1)如图1,当CP148时，垂足为E,连接A。并延长分别交CP,BC于点用G.

①乙BCP=.

②求证：EF=PE.

⑵如图，若CP与力B不垂直，过点A作力EJ.CP,垂足为E,连接P8,如果PB=3,PE=1求线段CE的

长.

19.(2023•黑龙江哈尔滨•一模)已知：△48。内接于。。，弦CO平分乙4cB.

(2)如图2,过点A作4E1BC,垂足为点£过点。作DF1BC,交CB的延长线于点F,且/IE=CF.

①求证：AC=CE+DF；

②若CE=5,CD=4V13,求O0的半径.

20.(2024•浙江嘉兴,一模)定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好

望角.

(1)如图1,乙。是中乙/1的好堡角，z/l=«,请用含a的代数式表示NO.

(2)如图2,在△力BC中,ZB4C的平分线与经过B,C两点的圆交于点D,E,且乙4CE+/BDE=180。.求

证：4/408是△A8C中乙4c8的好望角.

(3)如图3,在(2)的条件下，

①取弧CE的中点F,连接CD,CF,若CD=4,CF=遍,求圆的半径r.

②若乙84。=90。，BC=6,请直接写出线段4f•的最大值.

专题24.1圆基本性质的综合

♦典例分析

【典例1】己知，△48C内接于圆。，A8为圆。直径，在圆。上取点。，连接4。，AD=BC：

图1

(2)如图2,圆。的弦4E交8。于点F,延长4。至点G,分别连接BE、FG,若乙4FG=2乙FBE，求证：FA=FG；

图2

(3)如图3,在(2)的条件下，连接8G,^Z.AFG=Z.FAB+Z.ABG,BG\AE=17:32,求EF:凡4.

图3

【思路点拨】

(1)连接证明Rt△ABC三Rt△BAD,得出乙ABC=4BAD,则BG4D,根据AC1BC,即可得出AC1AD;

(2)设z/8E=a,乙AFC=6,则乙"G=2a,,得到a+/?=90。，进而得出4凡4G=4G,即可得证；

(3)过8作BT1FG,在4E上取一点八连接见，使得ZJB4=QAB,证明△JBE=△GBE(AAS),根据BG:71E=

17:32设8G=17a,AE=32%则8G=BJ=AJ=17%勾股定理得出£8=何匚$=8a,设尸E=FT=

b,得出b=^Q,即可求解.

【解题过程】

(1)证明：连接BD,如图所示:

•••A8为圆。直径，

:，4C=4。=90°,即AC1BC

•:AD=BC,AB=AB

：.RtA/ISC三Rt△BAD

：.Z.ABC=乙BAD

,\BC\\AD

'：AC1BC

：•AC1ADt

(2)证明：•••Z.AFG=2/.FBE,

设N/8E=a,4AFC=B，则乙/尸G=2a,

:.乙CBE=Z.CAF=a,

VzC=90°,

：.Z.CAF十Z.CFA=90°,即a+H=90°,

'：AD||CB,

：.£FAG=Z.CFA=/?,LG=Z.BFG=180°-0-2a=/?,

：.z.FAG=4G,

•••FA=FG；

(3)解：过8作8TJ.FG,在4E上取一点八连接引，使得乙JBA=如图所示:

图2

设ZJ84=LJAB=6,乙FBE=a,Z.AFC=/?,

:•乙FJB=4AB+QBA=20,

由（2）可得NA"G=2a,乙BFG=依

'：BTLFG,

，乙FBT=90°-乙BFT=90。-

・•.乙FBT=乙FBE,

•・NB是直径,

：.BELAE,

：.BE=BT,

•.•4AFG=Z.FAB+乙ABG=2a,

^z.ABG=Z.AFG-Z.FAB=2a-0,

Z.JBG=Z.JBA+Z.ABG=6+2a—9=2a,

：.Z-AFG=马BG,

设的,FG交于点L

图2

’:乙FLB=乙EJB+Z.AFG=Z.BGT+〃BG,

:.乙BGT=CEJB,

在△/命,△G8E中

乙E=乙BTG

乙BGT=乙EJB,

EB=TB

「.△/BE三△GBE(AAS),

：,BG=BJ.EJ=TG,

yBG-.AE=17:32

设8G=17a,AE=32a,则BG=BJ=AJ=17a,

:・E]-TG-15a,

在RtAEB/中，EB=qBJ?-E『=&i,

在Rt△FEB,Rt△FTF1h>

(EB=TB

IFF=FB'

：.FEB三RtAFTF(HL),

:・FE=FT,

设"E=FT=b,

'：FA=FG,

：.AE-EF=FT+TG,

/.32a—b=b+15a,

即

,b=W2a,2EF=¥Q,

.\AF=32a—h=32a——2a=­2a,

♦学霸必刷

1.(2024•山西临汾•一模)如图,线段48,4c分别为。0的弦,AB=12,AC=20,4D平分血C,若乙BAC=

60°,则弦的长为()

A.8V3C.20V3

【思路点拨】

本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，

过点。作CE垂直于AB的延长线，交于作DFJLZIC于尸，连接根据圆内接四边形的性质可得=

120°,由AD平分48AC,可得OE=OF,ABAD=Z.CAD=30°,AD=2DF,BD=CD,再证明

RtACDF(HL),RM40F三RtzMDE(HL),可得BE=CF,AE=AF.^]AB+BE=AC-CF,进而求得

BE=CF=4,可知4F=4C-CF=16,再由勾股定理即可求解，能艰据角平分线正确作出辅助线是解此

题的关键.

【解题过程】

解：过点D作CE垂直于的延长线，交于E,作。F14C于F,连接80,CD,

4r---------E

'：AD^^z.BAC,Z.BAC=60°,

：.DE=DF,乙BAD=/.CAD=30°,乙BCD=120°,

则的=CD,AD=2DF,

：.BD=CD,

・•.Rt△mRt△CD”(HL),

：.BE=CF,

VAD=AD,

.,.RtA/IDF^RtA/IDE(HL),

：.AE=AF,则AB+BE=4C-CF,

：.AC-AB=BE+CF=2BE=20-12=8,则BE=CF=4,

：.AF=AC-CF=16,

由勾股定理可得：AD2=AF2+DF2,即：AO?=162+

・・・4D•,

3

故选：D.

2.123-24九年级上.江苏无锡.阶段练习）如图，E是。。的直径48上一点，AB=10,BE=2,过点£作

弦CD148,P是弧人8上一动点，连接OP,过点A作/IQ1PO,垂足为Q,则OQ的最小值为（）

【思路点拨】

本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键.

先根据圆周角定理判断点Q在以40为直径的圆上，连接M。并延长交OM于点Q=当。与Q，重合时，OQ最

小，最小值为0Q'，然后根据勾股定理求解相关线段长即可，确定。的运动轨迹是解答的关键.

【解题过程】

\'AQ±PD,

:SAQD=90。，

.•.点。在以4D为直径的圆匕以71。为直径作。M,

如图:连接M。并延长交OM于点Q，，当。与Q，重合时，0Q，最小，最小值为OQ',

,：CDLAB,

：.DE=CE,

在OOE中，OD=OB=^AB=5,OE=OB-BE=3,

：,DE=VOD2-OF2=代2-32=4,

在RtZkAQE中，AE=AB-BE=8,

：.AD=>/AE2+DE2=V824-42=4,后，

在RtAOMZ）中，DM=^AD=275,

1.OM=VOD2-MD2-卜-（2V5）2=V5,

：,OQ,=-OM=2V5-V5=VS,即OQ'的最小值为遥.

故选：C.

3.（23-24九年级下.浙江杭州.阶段练习）如图，△/1BC是等边三角形，。。为△ABC的外接圆，点。在劣

弧8C上，连结力。，BD,CD,并在AD上取点E,使得CD=DE,连结CE.若CD=1,BD=2,则O0的

半径为（）

A.；B.孚C.V2D,当

232

【思路点拨】

根据△4BC是等边三角形，以及圆周角定理得出44DC=A4BC=60。，从而证明aCDE是等边三角形，求

出CD=CE=DE=1,再证明△4CE空△8C0(SAS),证出AE=8O=2,过点。作CMJ.OE,算出EM=

1,CAf=y,AB=AC=干,连接4。，BO,过点。作。F_L48,得出"=?，再用勾股定理即可解答：

【解题过程】

解：是等边三角形，

:.Z.ABC=Z.ACB=Z.BAC=60°,CA=CB

•••AC=，

二Z.ADC=乙ABC=60°,

VCD=DE,

•••△COE是等边三角形，

:.乙DCE=60°,CD=CE=DE=1,

•••Z.ACE+乙BCE=60°,zFCF+乙BCD=60°,

Z.ACE=Z.BCD,

/.△ACESAFCD(SAS),

AE>—BD—2,

过点C作CM1DE,

则EM=DM=\DE=《CM=VCE2-EM2=圣

AAC=>JAM2+CM2=J(2+1)24-停J=小,

:.AB=BC=AC=夕，

连接A。，BO,过点。作。『148,

则AO=BO,AF=BF=^AB=y,

•••Z-AOB=2Z.ACB=120°,

二Z.0AB=30°,

2

OA2=Qo/l)+AF2,

解得：04=亨.

故选：B.

4.：2024九年级.全国•竞赛）如图，已知四边形为0。的内接四边形，点E为8c上一点，其中00的

半径为10cm,AB=AD=AE=DE=8cm,贝北。的长度为（）

【思路点拨】

本题连接04、0D,连接4C交ED于点F,作EM1AD于点M,连接0M,根据等腰三角形性质得到即M、E、

。三点共线，利用垂径定理得至।叱。0M=g-1。。，WMD=90°,利用圆内接四边形性质和等腰三角形性质

证明"DE="ED,推出CD=CE,4C垂直平分DE于点F,再结合圆周角定理证明△CC尸三△OCM(AAS),

利用全等三角形性质，即可解题.

【解题过程】

解：连接04、0D,连接AC交ED于点心作EM于点M,连接0M,

AM=MD=-AD

2=4cm,

vOA=OD,

:.OMLAD,即M、E、。三点共线，

：•乙DOM=Z.A0M=-Z.AOD,

2

AB=AE,

:.Z.B=乙AEB,

•••四边形4BCD为。。的内接四边形，，点E为BCt:一点,

Z.B+Z.ADC=180°,Z.AEB+Z.AOC=180°,

•••Z.ADC=Z.AEC,

vAD=AE,

:.Z.AED=4ADE,

Z.ADC-Z.ADE=Z.AEC-乙AED,即4cOE=乙CED,

:.CD=CE,

•••4C垂直平分DE于点F,

:.Z.CFD=Z-OMD=90°,DF=^DE=4cm=DM,

"Z.DCF=^z.AOD=Z.DOM,

•••△W•三△ODM（AAS）,

:.CD=OD,

•:o。的半径为10cm,

•••CD=OD=10cm.

故选：C.

5.（23-24九年级上•湖北武汉•期末）如图，△ABC内接于。0,AB=AC,连接AO并延长，交BC于点£>,

BE1AC于点E,交AD于点F,连接0E.若。E=EF=1,则B尸的长为（）

A.V2B.|C.1D.V3

【思路点拨】

本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，依次断△AB。三△4C0,^ABD三AACD,^BFDCFD,

然后利用勾股定理解题即可.

【解题过程】

解：连接。8,OC,

A

•：OA=OB=OCn.AB=AC,

48。三△HCO(SSS),

：.Z.BAD=Z.CAD,

'：AD=AD,AB=AC,

:・&ABD三△ACD(SAS)

：.Z.ADB=乙ADC=90°,

而BE14C交/ID于凡

则尸为△A5C的重心连接CF,

V△ABD^AACD,

：.BD=CD,

'：FD=FD,Z.ADB=乙ADC=90°,

A△BFD三△CFO(SAS),

工乙BFD=乙CFD,

,：z.AFE=乙BFD=Z.CFD

'：DF=EF

：.£DOE=LAFE=LCFD,

：.0E||OF,

：.AB=AC,

^Z.ABC=Z.ACB,4BAD=90°—4ABC,Z.CBE=900-Z.ACB,

：.Z.BAD=乙CBE,

'：AO=BO,

C.Z.BAD=乙ABO=Z.CBF=乙BCF,乙BOE=乙BOD+乙DOE=乙BAD+/.ABO=乙BOD,

LAOE=Z-AFE+£.BEO,

'：OE||OF,

J.Z.BEO=Z.CFE,

：.Z.CFE=Z-CBE+Z.BCF=乙BAD+乙48。=乙BOD,

：.LCFE=乙BOD=乙BEO,

,：0E=EF,

:.乙DOE=乙BOD,

：.Z.AOE=Z.BOE,

VOA-OB,OE-OE,

••.△8EO三△4E0(SAS)

：.BE=AE,

,：z.BDC=Z.AEB=90°,乙CBE=Z.CAD,

：.△BCE2£A4FF(ASA),

：.EF=CE,

：.CF=\!CE24-EF2=V2,

*：BF=CF,

：.BF=V2,

故选A.

6.（2024.河北.模拟预测）如图，△48C内接于。0,4。为。。的直径，点。，E分别为。。上的动点（不

与点A,点8,点C重合），且。E=BC,产为DE的中点，连接0£若AB=6,BC=8,对于结论I,II,下

列判断正确的是（）

结论I：连接必得到等腰梯形：

©结论II：连接4F/F的最大值为8.

A.I,H都对B.hH都不对C.I*JH不对D.I不刈II对

【思路点拨】

本题考查垂径定理，圆周角定理，根据DE,BC为对角线或为边长两种情况去证明结论I,根据力FWCM+

OF=8可得当尸在4C上时4"取得最大值判断结论II.

【解题过程】

解：连接8D,C0,CE,E8,

当DE,BC为对角线时

•;DE=BC,

：.ETE=阮,

：.z.BEC=Z.DBE,

♦:乙BEC+乙BDC=180°,

:.乙DBE+乙BDC=180°,

C.BEWC,

・•・根据对角线相等的梯形是等腰梯形，四边形8EC0为等腰梯形:

当DE,8C为边长时，

D

A

年-------------7C

'：DE=BC,

••uE—oC9

：,z.BEC=乙DBE,

：.BD||EC,

・♦.根据不相邻的两条边相等的梯形是等腰梯形，可得四边形BDEC为等腰梯形:

综上所述，结论I：连接8D,CD,CE,EB必得到等腰梯形，正确：

连接。0,

中

•.FC为O。的直径，

=90。，

'：AB-6,BC-8,

：,AC=10,

：.OD=\AC=5,

•・•”为OE的中点，DE=BC=8,

."昨9=4,“/D="FB=90。,

：.OF=>JOD2-DF2=V52-42=3,OF<OM,

：.AF<OA+OF=3,

.•.当F在力c上时人尸取得最大值，最大值为g.故结论n正确；

综上所述，两个结论都正确：

故选：c.

7.(23-24九年级下•重庆巴南•期中)如图，在。。中，C是初的中点，作点C关于弦4B的对称点。，连

接4D并延长交0。于点E,过点8作B尸14E于点凡若乙BAE=2乙EBF,贝iJzEBF等于度.

【思路点拨】

本题考直圆知识点综合运用，难度较高，需要熟悉垂径定理辅助线做法以及角的等量互换方式即可.设

乙EBF=x,则N/ME=2x,连接0C交于点G,连接08,Z?C,0D,Z.E=/.COB=180°-2(90°-2x),在

△BEF中得到/E=90°-Z.EBF=90。-x,得到180。-2x(90°-2x\=90°-x,解方程即可得到答案.

【解题过程】

解：设=则乙84E=2x,连接0C交于点G,连接。8,BC,0Z),如下图所示,

•.,C是肪的中点，点。为圆心，

：.0CLAB,

乂•・•点C与点。关于弦48对称，

：.CDLAB,且C,D,。三点共线，GD=GC,

：./.AGD=£BGC=90°,GA=GB,

：,^AGDSA8GC(SAS),

：./.ADG=乙BCG=90°-2x,

又YOB=OC,

：.z.OBC=Z-OCB=乙ADC=90°-2x,

又•・•同弧脑，

ZE=乙COB=180°-2408c=180°-2(90°-2x),

'：BF1AE,

在△8£T中，ZF=W-Z.EBF=90°-x,

/.180°-2x(90°-2x)=90°-x,

解得x=18°

故答案为：18

8.(23-24九年级上•江苏泰州.期末)如图，△48C是。0的内接三角形，=AC,点D在弧力。上，依次

连接AD、BD、CD,若CD=2,AD=5,BD=8,贝必。等于.

【思路点拨】

延长CD至点P,使得CP=8D,过点工作A”1CP,垂足为H,首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可

^i£ABD=Z.ACD,然后证明△ABDEA/1CP(SAS),由全等三角形的性质可得AP=4D=5,即△HOP为等

腰三角形，结合4HleP可得PH=QH=3,再在RtZk/PH中和RtA47H中，利用勾股定理求解即可.

【解题过程】

解：如下图，延长CD至点P,使得CP=BD,过点H作A"1CP,垂足为H,

V/TO=/W,

：,z.ABD=Z.ACD,

在△48。和△ACP中，

AB=AC

AARD=AACP.

BD=CP

：.△ABD三△/CP(SAS),

：,AP=AD=5,CP=BD=8,

又FH1CP,CD=2,

:.PH=DH=\PD=1(CP-CD)=3,

二.在Rt△4PH中，AH=y/AP2-PH2=V52-32=4,

・•.在RM/ICH中，CH=CD+DH=2+3=5,

：.AC=>JAH2+CH2=V42+52="I.

9.(23-24九年级上.四川泸州•阶段练习)如图，4B为。。的直径，C为。。上一点，其中=6,£AOC=

120°,。为0。上的动点，连接力P,取4P中点Q,连CQ,则线段CQ的最大值为.

C

【思路点拨】

本题主要考查了垂径定理的推论、半圆所对的圆周角是直角、勾股定理、含30。角的直角三角形等知识点，

正确寻找点。的运动轨迹、构造辅助圆解决问题成为解题的关键.如图：连接。Q,作CH_LA8于”，先证

明点Q的运动轨迹为以4。为直径的QK,连接CK,当点。在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定

理求出CK即可解答.

【解题过程】

解：如图：连接OQ,作于凡

•••Q是/P中点，

/.AQ=QP,

根据垂径定理的推论可得OQ1AP,

：.Z.AQO=90%

・••点Q的运动轨迹为以力。为直径的0K,连接CK,

当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，

•••在直角△OC"中，LAOC=120°,

."COH=6。。，"=例8=3,

：.OH=Rc=1,CH=y/oc2-OH2=J32-G）2=竽，

又•・•在直角中，

4CKHKH=OK+OH=-2OA+OH=-4AB+OH=3,

・♦・CK=7cH2+KHZ=J律J+32=号

：.CQ=CK+KQ+|=即CQ的最大值为三

故答案为：誓.

10.（23-24九年级上.山东威海.期末）将04的劣弧BD沿弦BD折登、刚好落在半径4。的中点。处，已知

CD=2,则.

【思路点拨】

设折费后的皮:所在圆的圆心为。，04的直径为DE,连接AB,BE,过点B作B尸1DETF,先求出AC=CD=

2,28=4?=力。=2。）=4,则。£=45+/1。=6,再根据折登，得出04与。0是等圆，根据圆周角

定理，得出卵=氏,从而得出BE=BC,再根据等腰三角形的性质求出CF=EF=\CE=3,从而求得而=

1,然后利用勾股定理求出8E长，即可求解.

【解题过程】

解:如图，设折捶后的死所在圆的圆心为0，。力的直径为DE,连接48,BE,过点8作BFJ.DE于凡

•••C是半径4。的中点,CD=2,

：.AC=CD=2,AB=AE=AD=2CD=4,

/.CE=AE±AC=6

•.•将O4的劣弧8。沿弦BD折叠，

•••。/1与。0是等圆，

■:乙BDE=Z.BDC

:.腔=废

：.BE=BC

'：BF1DE

：.CF=EF=^CE=3,Z.AFB=乙BFE=90°,

2

：.AF=CF-AC=3-2=1,

在中，由勾股定理，得8尸=VAB?-4尸2=,42—M=底,

在RtAHE/中，由勾股定理，得8E=+EF?=J（同）'+32=2瓜,

•••BC=BE=2V6,

故答案为：2\后.

II.（23-24八年级下•浙江宁波・期末）如图，点D在以AB为直径的。。上，点C在48延长线上,

0D1CD,AB=10,CD=8,点E为圆上动点，当△CDE是以CD为底边的等腰三角形时；则CE=.

【思路点拨】

作CD的垂直平分线MN,交CD于M点,交。。于&点和％点.此时和△COE?即为以CD为底边的

等腰三角形.延长DO交。。于F点，作E/1。广于H点，E2G1。尸于G点.构造矩形和EZGDM.连

接三。、ER、E2D.%C、0々、OE2,根据勾股定理和矩形的小册子即可求出EIC、E2c的长•

【解题过程】

解：如图，作CD的垂直平分线MN,交CD于M点,交。。于瓦点和灯点.延长。。交。。于E点，作E]H1DF

于"点，E2G工DF于G点.连接瓦以£\C、E2D.E2C.。J、OE2.

垂直平分CO,

:ED=E2C,E2D=E2C,DM=1CD=；x8=4,

・•・△。。瓦和4COE2均是以CD为底边的等腰三角形.

VODA.CD,EVH±DFf1CD,

・•.四边形均/WM是矩形，

同理可证四边形E2GDM是矩形，

=DH,E2M=GD,E2G==DM=4,

'：AB=10,

：.OE]=OE2=OD=5

在RtaOHEi中，OH=JOE/一%”2=,52—42=3,

：.DH=0D-0H=5-3=2,

:HD=jE/2+DH2=V42+22=2V5,

：.EXC=2遍.

同理，RtZiOG%中，0%=5，GE2=4

：.OG=3,

.\DG=OD+OG=5+3=8,

2222

：,E2D=JDG+GE2=V8+4=4V5,

：.E2C=4V5.综上，CE=2遍或4次.

故答案为：2匹或4vl.

12.（2024.浙江宁波.一模）如图，AB、CD是。0中的两条弦，相交于点E,且AB1CD,AE=DE,点H为

劣弧AO上一动点，G为"E中点，若CE=1,DE=7,连接4G,则4G最小值为.

【思路点拨】

本题考查的重点是垂径定理，解直角三角形，中位线等知识，难点是找点G的运动轨迹，当找到点G的运动

轨迹以后再利用两点之间直线最短就可以计算出AG的最小值.

连接4。，DO,过点。作OK_LAE,交AE于点K,OFLCD,交0E于点F,构造正方形，计算圆的半径，然

后作0E的中点M,连接MG,连接。H，推导出点G的运动轨迹是以M为圆心的圆，连接力M与圆M的交点就

是4G的最小值.

【解题过程】

解：如图所示，连接/。，DO,过点。作0KJ.4E,交力E于点K,OFLCD,交DE于点F,

A,

n

VC£=1,DE=7,

：,CD=CE+OE=1+7=8,

,：OF1CD,

：.CF=DF=^CD=4,

：.EF=CF-CE=4-1=3,

'：AE=DE,OA=OD,OE=OE,

•••△4OE三△COE(SSS),

J.Z.AEO=乙DEO=-LAED=45°,

2

'：OKLAE,OF工CD,

：.OK=OF,

,：Z-AED=90°,

••・四边形OKEF是正方形，

：.OK=KE=EF=OF=3,

：,OA=OD=VOF2+DF2=V32+42=5,OE=VOF2+EF2=3VL

如图所示，作。£的中点M,连接MG,连接OH,

•••点M是OE的中点，G为HE中点,

：.MG=-OH=-,

・••点G在以点M为圆心，以3为半径的圆上运动，

连接4M交OM于点G',过点M作MN_L4E,

二.当点4,G,M三点共线时，即点G和点G'重合时，力G的值最小,

•・•点M是0E的中点，EM=gOE=不，

,：MN1AE,Z.NEM=45%

・3ME=45。,

••.△NME是等腰直角三角形，

：.MN=EN=—ME=-,

22

：.AN=AE-NE=7

22

：.AM=>/AN2+MN2=J㈢2+住/=等，

AAG=AM-GM=

22

；・4G的最小值为

故答案为：等一去

13.（23-24九年级上•江苏盐城.期末）如图，在等腰直角三角形中，4C=BC=1,点。在以斜边4B为

直径的半圆上，历为PC的中点，则点。沿半圆由点八运动至点8的过程中，线段的最小值为.

【思路点拨】

本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确判断出点M的运动轨迹,

属于中考常考题型.

如图，设48的中点为O,连接OP,OC,0M,判断出点M的运动轨迹，利用勾股定理求出87进而求解.

【解题过程】

解：如图，设AB的中点为。，连接。P,OC,0M,作TH工BC于H,

1

二0A=0C=OB=-AB,

2

1

vOP=0A=OB=-71S,

:.0P=0C,

•••M是PC的中点，

:.CM=PM,

二OM1PC,

•••LCMO=90°,

・••点M的运动轨迹是以OC为直径的。。

设。丁交4C于点£交BC于点凡连接EF,则E5是直径，

・••点M的运动轨迹在以0C为直径的OT上（即/上），•••?!（?=CB=1,乙4cB=90。,

AB=yjAC2+BC2=y/12+M=/，

vOA=OB,

1&

AOC=-AB=—,

22

・•.CT=—,

4

二CH=TH=-,

4

连接sr,与or交于点M,

p

在RtABHT中,

FT=VB^+W=J（I-1）2+Q）2=苧

vBM+™>BT,

当8M+TM=B7'时，此时8M最小，

BM=BT-MT=---,

44

故答案为：乎一半.

44

14.（23-24九年级上.山东滨州.期末）如图，四边形A8CD是。。的内接四边形，BC=CD,将AABC绕点、C

旋转至△EDC,则下列结论：①4c平分乙8/1D：②点A,D,E在同一条直线上；③若乙B/1D=60°,则/IB+AD=

V2AC；④若4。一力8=。。，则NA8C=120。，其中一定正确的是（填序号）.

根据圆周角、弦、弧之间的关系即可判断①；根据旋转的性质和圆内接四边形的性质即可判断②；先求出

Z.BAC=Z.CAD=^LBAD=30°,由旋转可知，乙E=Z.BAC=30°,进一步得到力E=AD-i-DE=AB+AD,

AC=CE,作CH14E于点H,则44HC=乙CHE=90°,则4H=当AC,EH=骨E,进一步得至必E=\f3AC,

则4B+4。=收AC,即可判断③：在.4。截取力M=AB,连接CM,证明△CM。是等边三角形，得到匕COA7=

60°,由四边形48co是。。的内接四边形即可得乙48C=120。，即可判断④.

【解题过程】

解：\'BC=CD,

・•・阮=CD,

：.z.BAC=Z.CAD,

.../IC平分乙BAD,

故①正确；

ABC绕点C旋转至AEDC,

：.LABC=乙EDC,

四边形/18C0是O。的内接四边形，

：./.ABC+Z.ADC=180°,

：.Z.EDC+Z.ADC=180°,

・••点A,D,E在同一条直线上；

故②正确；

•:BC=CD,

・•.阮=CD,

C.Z-BAC=/.CAD,

•：LBAD=60%

：

.Z-BAC=Z.CAD=-2z.BAD=30°,

由旋转可知，ZE=Z.BAC=30°,

：.LCAE=ZF=30°,DE=AB,

：.AE=AD+DE=AB+AD,AC=CE,

作CHJ.4E于点〃，则乙AHC=NCHE=90。,

c

：,AH=^AC,EH=^-CE,

：.AE=AH+EH=与AC+yCE=^-AC+^AC=痘AC,

：.AB+AD=V3AC,

故好音谩；

在截取AM=AB,连接CM,

'：BC=CD,

阮=m

：,z.BAC=Z.CAD,

'：AC=AC,

工△BAC三△以M(SAS),

：.CM=BC,

：.CM=CD,

,：AD-AB=CD,

：.AD-AM=CD,

'：AD-AM=MD,

：.MD=CD,

・"M=CD=MD,

•••△CM/7是等边三角形，

:.乙CDM=60°,

•・•四边形4BCD是。。的内接四边形,

：,z.ABC=1800-Z.CDM=120°,

故④正确，

故答案为：①©④.

15.（2024.安徽合肥.一模）如图，四边形4BCD内接于。。，ZF/1D=90%BC=CD,过点C作CE,使得

CD=CE,交4。的延长线于点£

A

BD

(1)求证：AB=AE.

(2)若AD=DE=2,求CD的长.

【思路点拨】

(1)连接/C,根据=推出ZB/1C=4£71C,根据CD=CE,得至IbE=乙。。£,根据阿内接四边形

性质得到NB=4CDE,得到乙B=NE,结合AC共用，推出AABC三△AEC(AAS),得到=AE；

(2)证明80是。。的直径，得到48co=90。，根据40=DE=2,得到4E=AB=4.根据勾股定理得到

BD=2V5,根据等腰直角三角形性质即得CD=S3.

【解题过程】

(1)证明：如图，连接AC.

E

'：BC=CD,

：.^C=CD,

：,LBAC=LEAC,

'：CD=CE,

zF=Z.CDE»

'：Z.B+Z.ADC=180°,Z.CDE+Z.ADC=180°,

:.乙B=Z.CDE,

:,乙B=4E,

在△ABC与△4EC中，

乙B=ZE

Z.BAC=Z.EAC,

AC=AC

：.^ABC三△AEC（AAS）,

：.AB=AE；

(2)解:如图,连接BD.

•工BAD=90°,

••・BD是。。的直径，

:.乙BCD=90°,

由（1）可得48=4£

'：AD=DE=2,

：.AE=AB=4

.在Rt△ABD中，

BD=>JAB2+AD2=2遍，

在内△8C0中，

CD=BC=—BD=VT6.

2

16.（2024•黑龙江哈尔滨.模拟预测）娟图，直径川V1BC,垂足为点从连接。8、AC,K为线段AH上一点,

连接CK,180°-Z.CKO=24c40.

图1图2

(1)如图1,求证：CKIIBO：

(2)如图2,。为弧48上•点，DE1EC,垂足为点G,连接OD交8c于点Q,Q为HG中点，求证：OE=40H.

【思路点拨】

(1)连接48,由垂径定理得第二比1即得NC4N=484N,由圆周角定理得N80N=2484N,进而得

乙BON=2乙CAN,即可得到乙BON=乙。《71,^\\LBOK=Z.CKO,即可求证：

(2)过点。作OMJ.OE于M,则DM=EM=：D£,可得四边形OHGM为矩形，得到OH=GM,再证明△

OHQzdDGQlASZ，得到OH=DG,即得。进而即可求证；

本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确

作出辅助线是解题的关键.

【解题过程】

(1)证明：连接4B,

N

图1

\•直径4N1BC,

：4=9，

工乙CAN=乙BAN,

・；3ON=2乙BAN，

:.乙BON=2乙CAN,

V1800-Z.CKO=2£CAO,

：.Z.CKA=2ACAO,

:.乙BON=Z.CKA,

:.乙BOK=乙CKO,

ACKIIFO；

(2)证明：过点。作OMJ.DE于M,则DM=EM