巧用圆的特性求解综合题

巧用圆的特性求解综合题

圆，是到定点等于定长体点的轨迹.圆的这一特性，使得圆在求解很多看似与圆亳无关

系的综合题中起到了巧妙的作用.

一、解决丢解问题

例1如图1⑴，在MAA8C中，NC=90。.将AA8C绕点。逆时针旋转得到AA'8'C,

旋转角为。，在旋转过程中，点8,可以恰好落在AB的中点处，如图1(2).

(1)求NA的度数；

(2)当点C到AAf的距离等于AC的一半时，求a的度数.

分析与解⑴•.饶点。逆时针旋转得到zMTTC,旋转角为

•:点9可以恰好落在AB的中点处，

.•.点8'是AB的中点.

•:NACB=9OG,.\CI3,=-AI3=RI3,.

2

：.CB=CB^=Bff,即AC。4'是等边三角形，.•.NBr6()。,「.NA=3()。.

⑵因为AABC绕点C逆时针旋转得到丛'？。,所以三角形上任意一点的轨迹都是以点

。为圆心的圆，那么A也在以C为圆心.C4为半径的圆上，所以把圆画出来，就能直观两

个符合条件的点.

如图2(1)(2),过点。作CDJ.AA'于点。，点。到AA'的距离等于AC的一半，即

CD=-AC.

2

在mA4OC中，

CD1

ZADC=90°,sinZCAD

AC2

ZC4D=30°.

*/CA=CA\:.44'=NCAD=30°.

.\ZACAf=120°,

即a=120。或a=240。.

图2

例2（2015年河南中考题）如图3⑴，在Rt\ABC中，N8=90。,BC=2AB=8点D,E

分别是边3cAe的中点，连结。石.将AEOC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.

A[7Ap

⑴问题发现:①当a=0。时，—:②当a=180。时，一=

BD

AU

⑵拓展探究:试判断当00〈av360。时，—的大小有无变化?请仅就图3（2）的情况给

BD

出证明.

⑶问题解决:当NEDC旋转到AZ）,七三点共线时，直接写出线段80的长.

图3

分析与解（1）根据旋转图形算出对应线段的长，求出线段的比.

当&二0。时，;点。，上分别是边BCAC的中点，NB=90°,BC=2A3=8,

A8=4,BD=4,AC=4区AE=2后,

.AE2遂石

~BD=~=~'

当a=180。时，AE=66BD=12,

.AE_6x/5_x/5

~BD~~V2~^2'

(2)AEOC在旋转过程中形状大小不变，.•.CE:C4=CD:8仍成立.

乂•：乙\CE=/BCD=a,

:.AACE邸CD,

:.AE:BD=AC:BC.

在用AA8C中，AC=4y[5,

「A

二.AC:8C=4技8=]

(3)因ACOE绕点C顺时针旋转，所以三角形上任意一点的轨迹都是以点。为圆心的

圆，则点RE也在以C为圆心，8,CE为半径的圆上..因为题目中要求ADE三点共线时

BO的长，所以画出两个同心圆(如图4),那么过点A的直线就会与两个圆都相交，三点就

会共线.又因为△COE始终是直角三角形，所以NCO石要保持90°,只要过点A的直线与

小圆相切即可.因为过圆外一点可以引圆的两条切线，所以有两种情况.

当AEOC在8。上方(图4(1),且ADE三点共线时，四边形A88为矩形，

BD=AC=4y[5；

当AEQC在ACF方(图4⑵，且AE,。三点共线时，&4力。为直角三角形，用勾股

定理求得AD=8,.*.AE=6,日求得8。二与5-

图4

一、解决最值问题

例3如图5,AA8C和MD七中，AI3=AC,AD=AEyZBAC=ZDAE=a

(0°va«90°),点£G,P分别是DE,5c8的中点,连结尸尸,PG.

A

A

(1)(2)

图5

(1)如图5(1),a=90。，点。在A8匕则N/PG=;

(2)如图5(2),a=60。，点。不在AB上，判断NQG的度数，并证明你的结论；

⑶连结bG,若A8=5,AO=2,固定/M3C,将A4DE绕点A旋转，当P/7的长

最大时，FG的长为(用含。的式子表示).

分析与解(1)90.

(2)如图6,连结BD,CE.

•・ABAC=/DAE,/BAD=/CAE.

,/AB=AC,AD=AE,

/.ABAD=\CAE,:.Zl=Z2.

•点F,G,P分别是DE,BC.CD的中点，

乂PFUCE.PGUBD,

4FPD=/ECD=N2+N3,

.ZDPG=Z4+Z6=Z5+Z6,

/.ZFPG=ZFPD+ZDPG

=Z2+Z3+Z5+Z6

=N1+N3+N5+N6

即/FPG=ZABC+ZACB=180°+ZBAC=120°.

图6

⑶本题要求当尸尸的长最大时FU的长，而当八4。石绕点A旋转时，点尸、点P都是

动的，所以难以下手.因为点尸、点P分别是OEOC的中点，所以々='EC,故当EC

2

最长时PF的长也是最大，这时点C是固定点，只有点E是动点，并且形成以A为圆心，AE

长为半径的点的轨迹，也就是圆，那么把圆画出来(如图7),很容易看出当点E,A,C共线时

EC最长(则/G也最长).

EG=AF+AG

例2在锐角A4BC中，A3=4.BC=5,ZACB=45。，将AABC绕点B按逆时针方

向旋转，得到AA8C一

(1)如图9(1),当点G在线段C4的延长线上时，求NCGA的度数；

(2)如图9(2),连结AA1,CG，若AA8A的面积为4,求AC^G的面积；

(3)如图9(3),点E为线段AA中点，点尸是线段AC上的动点，在丛BC绕点B按逆

时针方向旋转过程中，点P的对应点是点4，则直接写出线段芯片长度的最大值

为，

ER长度的最小值为.

图9

分析与解⑴ZCC.A=90°.

⑵S^cg=不*

(3)当AABC绕点8按逆时针方向旋转过程中，AA8C上任意一点运动的轨迹都是

圆，点「是AC上任意•点，则点P运动的轨迹也是圆.因为都足以点。为圆心的，那么所

有的点P运动的轨迹是以B为圆心的同心圆.

①要求的最大值，也就是圆最大时，值就会最大，那么点?与点C重合，画出以8

为圆心，8C长为半径圆，如图10(1),由图可看出，当点及8,［共线且E,［在8的两侧

时，值最大.

②要求历的最小值，也就是圆最小时，值会最小，此时过点3作80_LAC,。为垂足,

点尸与垂足。重合，画出以8为圆心，8到AC的垂线段的长为半径的圆，如图10(2),由

图可看出，当点£8,片共线且在3的同侧时，值最小.

如图10(1),当。在AC上运动至点CAA8C绕点8旋转，使点P的对应点R在线段

A8的延长线(以8为圆心，EC长为半径的圆)上时，.■.A/；=C8=5.

•.•E为线段A8中点，

2

.•.£々=2+5=7,

了.最大，最大值为:

ER=BC+BE=2+5=7.

如图10(2).过点B