《圆的面积（二）》教案（2课时）-2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学六年级上册

《圆的面积（二）》教案（2课时）-2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学六年级上册一、教材分析《圆的面积（二）》是北师大版（2024版）小学数学六年级上册第二单元《圆》中的内容，是学生在掌握圆的面积计算公式（S＝πr²）及其推导过程的基础上，运用公式解决实际问题的应用课。教材编排了“喷水头浇灌农田”“圆形羊圈”“比较两种花坛方案”等贴近生活的现实情境，涵盖已知半径求面积、已知周长求面积、面积大小比较以及剪拼茶杯垫片探索公式的另一种推导等内容。整节课以“从现实情境抽象出问题—运用公式计算—回到情境解释结果”为主线，重在让学生体会转化与等积变形思想，发展模型意识，为后续学习立体图形奠定基础。二、学情分析六年级学生已初步掌握圆的特征、周长和面积公式，具备一定的几何直观和计算能力。但多数学生对公式的运用还停留在“直接套用”层面，面对“已知周长求面积”“环形面积”“方案面积比较”等需要分析条件、灵活转化的题目，容易出现半径与直径混淆、缺少必要条件而无法求解、面积与周长概念混淆等问题。教学中应以具体情境为载体，引导学生先分析条件、理清数量关系，再选择算法，逐步提高综合运用知识解决问题的能力。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》“三会”要求制定：1.会用数学的眼光观察现实世界：能从喷水浇灌、羊圈、花坛等现实情境中抽象出圆的面积问题，体会圆面积计算在生活中的应用价值，发展应用意识与模型意识。2.会用数学的思维思考现实世界：经历运用圆面积公式解决问题的过程，能根据条件灵活选择算法，理解面积随半径平方变化的规律，发展推理意识和空间观念。3.会用数学的语言表达现实世界：能用文字和字母公式清晰表达解题思路与依据，能在交流中说明每一步为什么这样算，发展语言表达能力。四、教学重难点教学重点：能正确、灵活地运用圆的面积公式解决实际问题，掌握已知周长求面积和计算环形面积的方法。教学难点：根据已知条件正确选择算法，理解并运用“环形面积＝外圆面积－内圆面积”以及“圆的面积随半径的平方变化”的规律。五、教学过程本课教学过程分两个课时完成。第一课时已知半径、已知周长求圆的面积（一）复习导入，唤醒旧知师：同学们，上节课我们一起研究了圆的面积。谁能说说圆的面积公式是什么？又是怎样推导出来的？生：圆的面积等于圆周率乘半径的平方，用字母表示是S＝πr²。生：上节课把圆平均分成若干等份，拼成一个近似的平行四边形，它的面积和圆的面积相等，由此得到公式。师：说得很完整。把圆转化成学过的图形求面积，这就是转化思想。今天我们就运用这个公式解决生活中的实际问题。（板书课题：圆的面积（二））【设计意图】通过回顾圆面积公式及其推导过程，唤醒学生的已有经验，明确本节课的学习任务，同时渗透转化思想，为运用公式解决问题作好铺垫。（二）探究新知，解决问题1.已知半径求圆的面积。师：同学们，公园或农田里常见这样的节水喷水头。（出示教材第28页上方情境图）喷水头转动一周，浇灌的农田是什么形状？生：喷水头转动一周，浇灌农田的形状是一个圆。师：想一想，喷水头所在的位置相当于圆的什么？喷水的距离又相当于圆的什么？生：喷水头所在的位置相当于圆心，喷水的距离相当于圆的半径。师：喷水半径是3米，喷水头转动一周能浇灌多大面积？也就是要求什么？生：就是求半径是3米的圆的面积。师：请大家独立列式计算。生：3.14×3²＝3.14×9＝28.26（平方米），答：能浇灌28.26平方米的农田。师：计算正确。在一个算式里“平方”是更高一级的运算，要先算半径的平方再乘圆周率。谁能说说我们是怎么做的？生：先找到圆的半径，再直接代入公式S＝πr²计算。师：对！已知圆的半径求圆的面积，可以直接利用公式计算。（板书：已知半径，直接代入S＝πr²）【设计意图】借助“喷水头浇灌农田”情境，引导学生从具体问题中抽象出圆的面积问题，体会圆面积计算的现实意义，掌握“已知半径直接代入公式”的基本方法。2.已知周长求圆的面积。师：刚才的题直接给半径，计算简便。如果只告诉我们圆的周长，还能求出面积吗？请看——（出示教材第28页圆形羊圈图）量得圆形羊圈周长是125.6米，这个羊圈的面积是多少平方米？师：要计算羊圈（圆）的面积，根据公式S＝πr²，我们需要知道什么？生：需要知道圆的半径。师：可是题目没有直接给出半径，只给了周长，半径藏在哪里呢？生：可以先用周长求出半径，因为C＝2πr，所以半径＝周长÷圆周率÷2。师：思路很清晰。请大家先求出半径，再计算面积。生：半径：125.6÷3.14÷2＝20（米）；面积：3.14×20²＝3.14×400＝1256（平方米）。答：这个羊圈的面积是1256平方米。师：这位同学的解题步骤很规范。想一想，这道题与上一题在思路上有什么不同？生：上一题直接给半径，这一题要先由周长求出半径，再求面积。师：对。当我们只知道圆的周长时，就要先利用“半径＝周长÷圆周率÷2”求出半径，再代入圆面积公式。（板书：已知周长，先求半径，再代公式）【设计意图】通过“已知周长求面积”的变式，引导学生经历“分析条件—找出关键—分步计算”的过程，体会求圆面积的关键在于先找到半径，培养分析条件的能力。3.深化推导：剪拼茶杯垫片，体会等积变形。师：教材还为我们介绍了一种有意思的推导圆面积的方法。（出示教材第28页下方“草绳茶杯垫片”）这是一个草绳编织的圆形茶杯垫片，沿线剪开得到许多长短不同的草绳，按由短到长的顺序排列，可以拼成什么图形？生：可以拼成一个近似的三角形。师：请大家想一想，这个三角形的底和高分别相当于圆的什么？三角形的面积和圆的面积相等吗？请小组讨论。生：三角形的底相当于圆的周长，三角形的高相当于圆的半径，三角形的面积和圆的面积相等。师：因为三角形面积＝底×高÷2，底是圆周长2πr，高是半径r，所以圆的面积＝2πr×r÷2＝πr²。把圆转化成三角形，形状变了而面积没变，这叫等积变形，无论拼成平行四边形还是三角形，都得到公式S＝πr²。【设计意图】通过剪拼茶杯垫片的活动，引导学生经历圆面积公式的另一种推导，体会“等积变形”思想，深化对公式的理解，发展空间观念和推理意识。（三）巩固练习，内化方法1.一个圆形杯垫的半径是4厘米，这个杯垫的面积是多少平方厘米？（教材第29页练一练第1题）学生独立完成，指名汇报：3.14×4²＝3.14×16＝50.24（平方厘米）。2.北京天坛公园的回音壁是世界闻名的声学奇迹，它是一道圆形围墙。量得圆的周长大约是204.1米，它的面积大约是多少平方米？（教材第29页练一练第2题，结果保留一位小数）学生先独立解答，再交流：半径≈204.1÷3.14÷2≈32.5（米），面积≈3.14×32.5²≈3316.6（平方米）。【设计意图】两道练习分别对应“已知半径求面积”和“已知周长求面积”，由易到难，让学生在应用中进一步巩固方法，体会数学与生活的密切联系。（四）课堂小结师：这节课我们学会了什么？生：学会了已知圆的半径或周长，求圆的面积。师：不管是已知半径还是已知周长，求圆面积最关键的一步是什么？生：先找到半径，再代入公式S＝πr²计算。师：大家总结得很到位。计算圆面积时，先理清条件、找到半径，再选择算法，才能正确解决问题。【设计意图】引导学生回顾核心方法，梳理“找半径—代公式—算面积”的思路，为第二课时解决更复杂的问题作铺垫。【板书设计】圆的面积（二）S＝πr²已知半径：S＝3.14×3²＝28.26（m²）已知周长：半径＝周长÷π÷2，再代公式等积变形：三角形底＝圆周长，高＝半径→S＝2πr×r÷2＝πr²第二课时面积比较与环形面积（一）情境导入，提出问题师：学校准备在绿地修建花坛，设计师给出了两种方案。（出示教材第28页）方案一修建两个直径4米的小花坛，方案二修建一个直径8米的大花坛。哪种方案花坛面积更大？生：（自由猜测，意见不一）师：光靠猜可不行，我们用今天学习的圆面积知识来算一算、比一比。【设计意图】以“比较两种花坛方案面积”的现实问题导入，激发探究兴趣，自然引出“用圆面积公式解决比较问题”的任务。（二）合作探究，发现规律1.计算并比较两种方案的面积。师：请同学们先独立思考，分别求出两种方案的花坛面积，再比较它们的大小。生：方案一，两个小花坛的直径都是4米，半径是4÷2＝2米，一个花坛的面积是3.14×2²＝12.56平方米，两个共25.12平方米。生：方案二，大花坛的直径是8米，半径是8÷2＝4米，面积是3.14×4²＝50.24平方米。师：通过计算，我们发现什么？生：方案二的大花坛面积（50.24平方米）比方案一两个小花坛的面积之和（25.12平方米）大。2.探索面积变化的规律。师：奇怪，大花坛的直径只是小花坛的2倍，按理说面积也应是2倍，为什么大花坛面积却是两个小花坛面积之和的2倍？生：大花坛的直径、半径都是小花坛的2倍，圆的面积和半径的平方有关，所以大花坛面积是小花坛的4倍；两个小花坛面积之和只是单个的2倍，所以大花坛面积更大。师：分析得很好！半径扩大到原来的2倍时，面积扩大到原来的2²＝4倍。再想一想，半径扩大到3倍，面积扩大到几倍？生：3²＝9倍。师：非常好。圆的面积随半径的平方变化，半径扩大到原来的n倍，面积就扩大到原来的n²倍。（板书：半径扩大到n倍，面积扩大到n²倍）【设计意图】通过“计算—比较—追问”层层深入，引导学生在解决问题中自主发现“面积随半径的平方变化”的规律，发展推理意识，突破难点。（三）拓展应用，学习环形面积1.认识环形。师：生活中还会遇到这样的图形。（出示教材第29页第4题图形：大圆内套一个同圆心的小圆）两个同心圆之间的部分叫作环形。想一想，怎样求环形的面积？生：用大圆的面积减去小圆的面积，剩下的就是环形的面积。师：说得对。环形面积＝外圆（大圆）面积－内圆（小圆）面积。2.计算环形面积。师：请看这道题：一个大圆的半径是4厘米，里面小圆的直径是4厘米，求阴影部分（环形）的面积。要求环形的面积，先要找到什么？生：先找到大圆的半径和小圆的半径。师：大圆的半径已经给出是4厘米，小圆的半径呢？生：小圆的直径是4厘米，所以小圆的半径是4÷2＝2厘米。师：请大家列式计算。生：3.14×4²－3.14×(4÷2)²＝3.14×16－3.14×4＝50.24－12.56＝37.68（平方厘米）。师：计算正确。利用乘法分配律还可写成3.14×(4²－2²)＝3.14×12＝37.68（平方厘米）。所以环形面积既可用“外圆面积－内圆面积”分步计算，也可用公式“环形面积＝π×(R²－r²)”一步计算。R表示外圆半径，r表示内圆半径。【设计意图】以教材第4题环形图形为载体，引导学生掌握“环形面积＝外圆面积－内圆面积”的计算方法，并借助乘法分配律得到简便算法，发展运算能力。（四）巩固练习，综合运用1.一个光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是6厘米。圆环的面积是多少平方厘米？学生独立完成：3.14×(6²－2²)＝3.14×32＝100.48（平方厘米）。2.一块圆形草坪，外圈半径是8米，中间有一个半径是5米的圆形喷水池，其余部分是草坪。草坪的面积是多少平方米？学生独立完成并交流：草坪面积＝3.14×(8²－5²)＝3.14×39＝122.46（平方米）。【设计意图】通过两道环形面积实际问题，由教材基础题到生活变式题，让学生在应用中巩固环形面积的计算方法。（五）课堂小结师：通过这节课的学习，你有哪些收获？生：我学会了比较不同方案面积的大小，知道了半径扩大几倍，面积就扩大它的平方倍。生：我学会了求环形面积，用外圆面积减去内圆面积。生：我还会用简便方法计算环形面积。师：大家收获真不少。无论求圆的面积、比较面积，还是求环形面积，都要先理清条件，找到半径或半径的平方，再灵活选择算法，希望同学们把方法用到生活中去。【设计意图】引导学生对本课时所学知识梳理归纳，形成“找条件—理关系—选算法”的完整思路。【板书设计】方案一：3.14×(4÷2)²×2＝25.12（m²）方案二：3.14×(8÷2)²＝50.24（m²）→