专题强化练5解三角形

专题强化练5解三角形授课提示：对应专题强化练8页(分值：60分)解答题(共60分)1．(15分)(2025·山东临沂模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3acosC＋csinA－3b＝0.(1)求A；(2)若c＝3，asinB＝23，求a.答案：(1)由正弦定理边化角可得3sinAcosC＋sinCsinA－3sinB＝0，即3sinAcosC＋sinCsinA＝3sinB＝3sinA+C＝3sinAcosC＋3cosAsinC，所以sinCsinA＝3cosAsinC，因为sinC>0，所以tanA＝3，又A∈0，π，解得A＝答案：(2)若c＝3，asinB＝23，则由正弦定理得asinB＝2RsinAsinB＝bsinA＝32b＝23，这里R是△ABC外接圆的半径，解得b＝由余弦定理可得a＝b＝42+32．(15分)(2025·河南安阳模拟)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+C2＝cos(π－B)(1)求B；(2)若sinC＝53sinA，点B到直线AC的距离为3，求△ABC答案：(1)在△ABC中，sinA+C2＝sinπ-B2＝cosB2，cos(π－B)＝－则cosB＋cosB2＝2cos2B2＋cosB2－1＝0，而0<B2<π2解得cosB2＝12，则B2＝π3，所以答案：(2)由正弦定理得ca＝sinCsinA＝53，不妨设c＝5m(m>0)，则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝9m2＋25m2＋2×3m×5m×12＝49m2，解得b＝7m由S△ABC＝12acsinB＝12×b×3，得12×3m×5m×32＝12×7m×3所以a＋b＋c＝3m＋7m＋5m＝15m＝14，即△ABC的周长为14.3．(15分)(2025·河北秦皇岛模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3bcsinC＝sinB+(1)求B；(2)若△ABC的面积为32，b＝2，求AC答案：(1)已知3bcsinC＝sin(B＋π2根据诱导公式可得sinB+π2＝cosB，则原式变为3bcsinC＝由正弦定理可得3sinBsinC×sinC＝cosB＋1，化简得3sinB＝将等式变形为3sinB－cosB＝1，根据辅助角公式可得2(32sinB－12cosB)＝1，即2sin(B－π6)＝1，所以sinB-因为0<B<π，所以－π6<B－π6<5π6，则B－π6＝π6答案：(2)已知△ABC的面积为32，B＝π3，根据三角形面积公式S△ABC＝12ac可得12acsinπ3＝32，即12ac×32＝由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，已知b＝2，B＝π3可得22＝a2＋c2－2×2×cosπ3，即4＝a2＋c2－2，解得a2＋c2＝设AC中点为D，则BD＝12(两边平方可得BD2＝14(BA2＋BC2＋2BA·可得BD2＝14(c2＋a2＋2accosB)＝14(6＋2×2×cosπ3)＝14×(6＋所以|BD|＝2，即AC边上的中线长为2.4．(15分)(2025·江西新余模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ab+c＝cos(1)证明：A＝2B.(2)若∠BAC的平分线AD交BC于D，AD＝1，cosB＝45，求1答案：(1)证明：由ab+c＝cos得sinAsinB所以sinAcosB－sinAcosC＝cosAsinB＋cosAsinC，所以sinAcosB－cosAsinB＝sinAcosC＋cosAsinC，即sin(A－B)＝sin(A＋C)，由A＋B＋C＝π得sin(A－B)＝sinB，由B∈(0，π)，A∈(0，π)可得A－B∈(－π，π)，所以A－B＝B或A－B＋B＝π(舍去)，所以A＝2B.答案：(2)由cosB＝45，B∈(0，π)，可得sinB＝3所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB＝2425因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD(*)，由(1)可知A＝2B，又AD平分∠BAC，故∠BAD＝∠CAD＝∠