专题强化练13空间几何体中的距离

专题强化练13空间几何体中的距离授课提示：对应专题强化练24页(分值：60分)一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.(2025·河南安阳模拟)如图，在三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，SC＝3，SB＝2，SA＝1，D为线段SC上靠近C的三等分点，点E为△ABC的重心，则点E到直线BD的距离为()A．36B．66C．33解析：根据题意，以S为坐标原点，SB，SC，SA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则S(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，A(0，0，1)，C(0，3，0)，又点E为△ABC的重心，所以E23，1，13，则EB＝(43，－1，－13)，DB＝(2，－2，0)，则|cos〈EB，DB〉|＝EB·DBEBDB＝83+2169+1+19×22＝1426×22＝752，则sin〈答案：B2．(2025·江西萍乡模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°，E为CD的中点，沿AE将△DAE翻折至△PAE的位置得到四棱锥P-ABCE，且PB＝2.若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为()A.32B．1510C．1515解析：在四边形ABCD中，连接BE，由题意可知△DAE是边长为1的等边三角形，则∠AED＝π3，∠BCE＝2π3，BC＝CE＝1，则∠CEB＝π6，可知∠AEB＝π2，即AE⊥EB，且BE＝AB2-AE2＝3，由PB＝2，PE＝1，BE＝3，则PE2＋BE2＝PB2，可知PE⊥EB.由AE∩PE＝E，AE，PE⊂平面PAE，可得EB⊥平面PAE，又因为EB⊂平面ABCE，所以平面PAE⊥平面ABCE.取AE中点O，AB中点H，连接PO，OH，则PO＝32，OH∥BE，可得OH⊥AE，因为△PAE为等边三角形，则PO⊥AE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO以O为原点，OA，OH，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，32)，E(－12，0，B(－12，3，0)，F(－C(－1，32，0)，可得PC＝(－1，32，－32)，PE＝(－12，0，－32)，PF＝(－14，32，－34)．设平面PCE的法向量n＝(x，y，z)，则n·PC=-x+32y-32z=0，n·PE=-12x-32z=0，令x＝3，则y＝1，z＝－1，可得n＝3，1，-1.由点F为线段PB的中点，知点F到平面PCE的距离是点B到平面PCE的距离的答案：B3.(2025·安徽滁州模拟)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3＋3.△FDC是等边三角形，△EAB是等腰直角三角形，AE⊥BE.将△EAB和△FDC分别沿虚线AB和CD翻折，且保持平面EAB∥平面FDC.当EF⊥平面ABCD时，平面EAB与平面FDC的距离为()A．1+32B．2+32C．3+解析：如图所示，取AB中点M，CD中点N，连接ME，MN，NF，EF，由△FDC是等边三角形，△EAB是等腰直角三角形，AE⊥BE，则ME⊥AB，NF⊥AB，MN⊥AB，又ME∩MN＝M，NF∩MN＝N，ME，MN，NF⊂平面MENF，所以AB⊥平面MENF，所以平面ABCD⊥平面MENF，平面EAB⊥平面MENF，平面FDC⊥平面MENF，又EF⊂平面MENF，且EF⊥平面ABCD，平面MENF∩平面ABCD＝MN，所以EF⊥MN，又平面EAB∥平面FDC，且平面EAB∩平面MENF＝ME，平面FDC∩平面MENF＝NF，所以ME∥NF，则作出平面MENF如图所示．设EF∩MN＝O，则△OME∽△ONF，所以OMON＝MENF，又ME＝12AB＝2，NF＝32AB＝23，则OMON＝33，由MN＝AD＝3＋3，所以OM＝3，ON＝3，∠EMO＝∠FNO＝30°.过点O作PQ⊥ME与ME，NF分别交于点P，Q，则PQ即为两平面间距离，PQ＝OP＋OQ＝12OM＋答案：C二、解答题(共45分)4．(15分)(2025·河北多校联考)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BP，AD＝AB＝2CD＝2.(1)证明：△PAD是等腰三角形．(2)若平面PAB⊥平面PBC，求点A到平面PBC的距离．答案：(1)证明：设O为AD的中点，连接OB，OP．因为AB＝AD＝2，AO＝DC＝1，∠BAO＝∠ADC＝90°，所以Rt△ADC≌Rt△BAO，所以∠DAC＝∠ABO，∠DAC＋∠BAC＝∠ABO＋∠BAC＝90°，即AC⊥BO，又AC⊥BP，BO，BP⊂平面POB，BO∩BP＝B，所以AC⊥平面POB，因为PO⊂平面POB，所以AC⊥PO.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，因为PO⊂平面PAD，所以AB⊥PO.因为AB，AC⊂平面ABCD，AB∩AC＝A，所以PO⊥平面ABCD.因为AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.在△PAD中，PO⊥AD，O为AD的中点，所以PA＝PD，即△PAD是等腰三角形．答案：(2)建立如图所示以O为原点，OA为x轴，过O与AB平行方向为y轴，OP为z轴的空间直角坐标系．设OP＝a(a>0)，则P(0，0，a)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(－1，1，0)，CB＝(2，1，0)，PB＝(1，2，－a)，AB＝(0，2，0)．设平面PAB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则n取x1＝a，则n＝(a，0，1)．设平面PBC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则m取x2＝－a，则m＝(－a，2a，3)．因为平面PAB⊥平面PBC，所以m·n＝－a2＋3＝0，解得a＝3(a＝－3舍去)，所以P(0，0，3)，AP＝1-02+0-0BP＝1-02+2-02所以AP＝2＝AB，BP＝22，所以BP2＝AB2＋AP2，所以AB⊥AP，所以△ABP是等腰直角三角形．取BP的中点E，连接AE，则AE⊥BP.又因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝BP，所以AE⊥平面PBC，所以AE的长为点A到平面PBC的距离．因为AE＝PB2＝2，所以点A到平面PBC的距离为25．(15分)(2025·湖北八校协作体模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥PB，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝3.(1)证明：AD∥平面PBC；(2)平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为255，求答案：(1)证明：由PA⊥底面ABCD，因此PA⊥AD，因为AD⊥PB，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PBA；底面ABCD中，AC＝2，BC＝1，AB＝3，因此AC2＝BC2＋AB2，得到AB⊥BC，由PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，因此PA⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PBA.因此BC∥AD，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.答案：(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设AD＝t，因此点的坐标为A(0，0，0)，C(3，1，0)，P(0，0，2)，D(0，t，0)，易得平面PAB的法向量为n1＝(0，1，0)．PC＝(3，1，－2)，PD＝(0，t，－2)，设平面PCD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·令y2＝2，得n2＝(23t-13，2，因此|cos〈n1·n2〉|＝n1·n2n1n2＝255，化简得7t2－8t＋因此AD的长为1或176．(15分)(2025·广东湛江模拟)如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点，且SB∥平面PAC.(1)求证：AC⊥SD.(2)求直线SB到平面PAC的距离．(3)请判断在平面PAC上是否存在一点E，使得△ESB是以SB为底边，2π3为顶角的等腰三角形．若存在，请求出点E答案：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由SA＝SC得SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD.又SO∩BD＝O，SO，BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD.又因为SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD.答案：(2)连接PO，因为SB∥平面PAC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面PAC＝PO，所以SB∥PO.在△SBD中，O为BD的中点，所以点P为SD的中点．易知直线SO，AC，BD两两垂直，如图，以O为原点，OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．因为正方形ABCD的边长为2，所以A(0，－2，0)，C(0，2，0)，B(2，0，0)，P(－22，0，62)，S(0，0，6)．AC＝(0，22，0)，AP＝(－22，2，62)，设平面PAC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则可得m所以22y=0，-2令x＝32，可得m＝(32，0，6)．因为SB∥平面PAC，所以直线SB到平面PAC的距离等