微专题19　曲线的切线问题

微专题19曲线的切线问题真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________．2．(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝__________．3．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．4．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，__________．命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：曲线的切线问题是近几年高考的热点，形式多变，回归教材，符合新高考强调的素养导向．预测角度1曲线的切线预测1已知函数f(x)＝ax＋1x的图象的一条切线的方程为3ax－4y＋4a＝0，则a＝________[听课笔记]一般由斜率相等求出切点的横坐标，代入函数解析式求得切点的纵坐标，再将切点的坐标代入切线方程求解．[对点练1](1)(2025·广东湛江模拟)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝3x＋1C．y＝2xD．y＝3x(2)(2025·河北张家口模拟)已知曲线C：y＝(2a＋lnx)e－x在x＝1处的切线与y轴垂直，则实数a的值为________．预测角度2曲线的公切线预测2(2025·辽宁二模)若曲线f(x)＝x与曲线g(x)＝a＋lnx存在公切线，则a的取值范围是________．[听课笔记]对于两条曲线的公切线问题，设公切线l与曲线y＝f(x)相切于点(m，f(m))，与曲线y＝g(x)相切于点(n，f(n))，利用导数求出切线l在两切点处的方程，利用斜率相等且截距相等列方程求解．[对点练2](1)(2025·河北沧州模拟)若曲线y＝x3＋2x在点(1，3)处的切线也与曲线y＝x2＋x＋m相切，则m＝()A．4B．－2C．－4D．2(2)(2025·河南驻马店模拟)已知曲线y＝x3－x＋2的切线与曲线y＝ln(x＋1)－a也相切，若该切线过原点，则a＝________．请完成：专题强化练30微专题19曲线的切线问题真题重做1．解析：由y＝ex＋x＋a，得y′＝ex＋1.设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a相切时的切点为(x0，y0)，则y0=答案：42．解析：令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线斜率为f′(0)＝2，所以切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g′(x)＝1x+1.因为直线y＝2x＋1也是曲线y＝g(x)的切线，所以令1x+1＝2，解得x＝－12，则曲线y＝g(x)与直线y＝2x＋1的交点坐标为(－12，0)，所以0＝a－ln2，解得答案：ln23．解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝x0+1+aex0.因为y0＝x0+aex0，切线过原点，所以f′(x0)＝y0x0，即x0+1+a·ex0＝x0+aex0x0，整理得答案：(－∞，－4)∪4．解析：当x>0时，y＝lnx，y′＝1x.假设此时直线与曲线y＝lnx相切于点(x1，lnx1)(x1>0)，则此时切线方程为y-lnx1＝1x1(x－x1).若该切线经过原点，则lnx1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝xe.当x<0时，y＝ln(－x)，y′＝1x.假设此时直线与曲线y＝ln(－x)相切于点(x2，ln(－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln(－x2)＝1x2(x－x2)．若该切线经过原点，则ln(－x2)－1＝0答案：y＝xey＝－命题预测预测1解析：对函数f(x)＝ax＋1x求导得f′(x)＝a－1x2，直线3ax－4y＋4a＝0的斜率为3a4，由f′(x)＝a－1x2＝3a4，可得x2＝4a，显然a>0，解得x＝±2a.若切点横坐标为x＝2a，则f2a＝2a+a2＝5a2.则切点2a，5a2在直线3ax－4y＋4a＝0上，可得6a－10a＋4a＝4a－4a＝0，解得a＝1；若切点横坐标为x＝－2a，则f-2a＝－2a-a2＝－5a2，则切点-2a，答案：1[对点练1]解析：(1)由f(x)＝ex＋2x，得f′(x)＝ex＋2，则f(0)＝1，f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.故选B.解析：(2)对函数y＝f(x)＝(2a＋lnx)e－x求导得f′(x)＝e-xx－(2a＋lnx)e－x，因为曲线C：y＝(2a＋lnx)e－x在x＝1处的切线与y轴垂直，所以f′(1)＝e－1－2ae－1＝0，解得a＝答案：(1)B答案：(2)1预测2解析：由题意知f′(x)＝12x，g′(x)＝1x.设公切线分别与曲线f(x)，g(x)相切于点(x1，x1)，(x2，a+lnx2)，则f′(x1)＝12x1，g′(x2)＝1x2，所以公切线方程为y－x1＝12x1(x－x1)，y－a－lnx2＝1x2(x－x2)，即y＝x2x1+x12，y＝xx2－1＋a＋lnx2，所以1x2＝12x1，－1＋a＋lnx2＝x12，所以a＝x12＋1－lnx2＝x12＋1－ln(2x1)＝x12－lnx1＋1－ln2，令t＝x1，t>0，h(t)＝t2－lnt，所以h′(t)＝12-1t＝t-22t，由h′(t)<0，得0<t<2，由h′(t)>0，得t>2，所以h(t答案：[2－2ln2，＋∞)[对点练2]解析：(1)由y＝x3＋2x，得y′＝3x2＋2，所以y′|x＝1＝3＋2＝5，则曲线y＝x3＋2x在点(1，3)处的切线方程为y－3＝5(x－1)即y＝5x－2.联立y=5x-2，y=x2+x+m，整理得x2－4x＋m＋2＝0，因为切线与曲线y＝x2＋x＋m相切，所以Δ＝16－4(m＋2)＝0解析：(2)因为y＝x3－x＋2的导数为y′＝3x2－1，设切点为(x1，y1)，所以切线斜率为k＝3x12－1，因为曲线y＝x3－x＋2在点(x