微专题16　统计与成对数据的统计分析

微专题16统计与成对数据的统计分析真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如下表：亩产量[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)频数61218302410则下列结论中正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间2．(2023·新高考Ⅱ卷)(多选)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则()A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差3．(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．附：χ2＝nad-bcP(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：高考对统计的考查常以统计图表和数字特征为主，多以选择题、填空题考查，难度不高；对成对数据的统计分析的考查常将回归分析、独立性检验与概率结合考查，多以解答题考查，难度中等．预测角度1统计图表与数字特征预测1(多选)据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房(含点映、预售及海外票房)已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六、登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则()A．a＝0.019B．观众年龄的众数估计为35C．观众年龄的平均数估计为30.2D．观众年龄的第70百分位数估计为38[听课笔记]解题的关键是理解统计图表的含义，从中提取数字信息，平均数、众数、中位数描述数据的集中趋势，方差与标准差描述数据的波动大小，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．切记频率分布直方图中纵坐标不要误认为是频率．[对点练1](1)(2025·河北保定模拟)已知样本数据x1，x2，…，x15的平均数为6，方差为16；样本数据y1，y2，…，y10的平均数为11，方差为21，现将两组样本数据合并，则新的样本数据x1，x2，…，x15，y1，y2，…，y10的方差为()A．18B．24C．26D．28(2)(2025·辽宁辽阳模拟)(多选)为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛．甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分(满分10分)，得到如图所示的折线统计图，则()A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数B．甲得分的众数大于乙得分的众数C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数D．甲得分的方差大于乙得分的方差预测角度2回归分析预测2某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y(cm)与身高x(cm)之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：x159165170176180y6771737678(1)根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)；(3)从5名成年男性样本中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求E(X)．参考数据：＝62194,＝8.6,282≈16.8.参考公式：相关系数r＝，回归方程，a＝y-[听课笔记](1)样本点不一定在经验回归直线上，但点(x，y(2)求b时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆．(3)利用样本相关系数判断相关性强弱时，看|r|的大小，而不是r的大小．(4)区分样本相关系数r与决定系数R2.(5)通过经验回归方程求的都是估计值，而不是真实值．[对点练2](2025·河北秦皇岛模拟)近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加．下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中x为年份代号，y(单位：万辆)代表新增新能源汽车的数量．年份20202021202220232024年份代号x12345新增新能源汽车y/万辆1.21.82.53.23.8(1)计算样本相关系数r，判断是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系，当|r|∈[0.75，1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性．(2)求y关于x的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量．参考数据：43.6≈6.603.预测角度3独立性检验预测3某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表：单位：人性别绩效分数达标情况合计未达标达标男201030女52530合计253560(1)经计算，所调查的男员工绩效分数的平均数x1为26；女员工绩效分数的平均数x2为34，求这60人绩效分数的平均数(2)根据上表数据，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？(3)该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励．甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为15，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为15；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为25，求甲在前两个月所得奖金总额X(附：α0.10.010.001xα2.7066.63510.828参考公式：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋[听课笔记](1)χ2越大两分类变量无关的可能性越小，推断犯错误的概率越小，通过表格查得无关的可能性．(2)有99.5%的把握认为两个变量有关，就是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量有关，并不是指两个变量无关的可能性为0.005.[对点练3](2025·山东临沂模拟)“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力．为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示(单位：人)．非常喜欢感觉一般合计男性3t100女性t合计60(1)求t的值，根据小概率α＝0.01的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”．现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望E(X)．参考公式：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋α0.10.050.01…xα2.7063.8416.635…请完成：专题强化练24微专题16统计与成对数据的统计分析真题重做1．解析：根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36<50，所以亩产量的中位数不小于1050kg，故A错误；亩产量不低于1100kg的频数为24＋10＝34，所以亩产量低于1100kg的稻田占比为eq\f(100－34,100)＝66%，故B错误；稻田亩产量的极差最大为1200－900＝300，最小为1150－950＝200，故C正确；由频数分布表可得平均值为eq\f(1,100)×(6×925＋12×975＋18×1025＋30×1075＋24×1125＋10×1175)＝1067，故D错误．故选C.答案：C2．解析：取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为eq\r(\f(22,3))＝eq\f(\r(66),3)，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．故选BD.答案：BD3．答案：(1)由题意知超声波检查结果不正常的人数为200，患该疾病的人数为180，所以超声波检查结果不正常者患该疾病的概率的估计值p＝180200＝答案：(2)零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关．χ2＝eq\f(1000×（20×20－180×780）2,800×200×200×800)＝765.625>10.828＝x0.001，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即超声波检查结果与患该疾病有关．命题预测预测1解析：由题意知(0.010＋a＋0.022＋0.025＋0.020＋0.005)×10＝1，解得a＝0.018，故A错误；观众年龄的众数估计是30+402＝35，故B正确；估计这10000名观众年龄的平均数为5×0.1＋15×0.18＋25×0.22＋35×0.25＋45×0.2＋55×0.05＝29.2，故C错误；前3组的频率之和为(0.010＋0.018＋0.022)×10＝0.50，前4组的频率之和为0.50＋0.025×10＝0.75，故第70百分位数位于第4组，设其为t，则(t－30)×0.025＋0.50＝0.70，解得t＝38，即第70百分位数为38，故D正确．故选答案：BD[对点练1]解析：(1)由题可得x1＋x2＋…＋x15＝6×15＝90，y1＋y2＋…＋y10＝11×10＝110，所以eq\f(1,25)(x1＋x2＋…＋x15＋y1＋y2＋…＋y10)＝eq\f(1,25)×(90＋110)＝8，利用分层抽样的方差公式可得新的样本数据的方差为eq\f(15,25)×[16＋(6－8)2]＋eq\f(10,25)×[21＋(11－8)2]＝24.故选B.解析：(2)甲、乙的得分从小到大排列如下，甲：7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3，乙：8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1，甲得分的中位数为8.9，乙得分的中位数为8.6，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确；甲得分的众数为8.9，乙得分的众数为8.6，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确；甲得分的平均数为eq\f(7＋8.3＋8.9＋8.9＋9.2＋9.3,6)＝8.6，乙得分的平均数为eq\f(8.1＋8.5＋8.6＋8.6＋8.7＋9.1,6)＝8.6，所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错误；由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确．故选BCD.答案：(1)B答案：(2)BCD预测2答案：(1)由表中的数据和附注中的参考数据得eq\i\su(i＝1,5,x)i＝850，eq\o(x,\s\up6(－))＝170，eq\i\su(i＝1,5,y)i＝365，eq\o(y,\s\up6(－))＝73，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝112＋52＋02＋62＋102＝282，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝8.6，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\i\su(i＝1,5,x)iyi－eq\o(x,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,5,y)i＝62194－170×365＝144，所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,5,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,5,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(144,16.8×8.6)≈0.997.因为y与x的相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．答案：(2)由eq\o(y,\s\up6(－))＝73及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,5,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(144,282)＝eq\f(24,47)≈0.51，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝73－eq\f(24,47)×170≈－13.81，所以y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－13.81＋0.51x.答案：(3)X的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，P(X＝2)＝eq\f(2,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(1,10)，P(X＝5)＝eq\f(2,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(1,5)，P(X＝6)＝eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(1,10)，P(X＝7)＝eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(1,10)，P(X＝9)＝eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(1,10)，P(X＝11)＝eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(1,10)，所以X的分布列为X234567911Peq\f(1,5)eq\f(1,10)eq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,10)eq\f(1,10)eq\f(1,10)eq\f(1,10)所以E(X)＝2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(1,10)＋5×eq\f(1,5)＋6×eq\f(1,10)＋7×eq\f(1,10)＋9×eq\f(1,10)＋11×eq\f(1,10)＝eq\f(27,5).[对点练2]答案：(1)由题意可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(1.2＋1.8＋2.5＋3.2＋3.8)＝2.5，＝eq\f(1.2＋3.6＋7.5＋12.8＋19－5×3×2.5,\r(55－5×32)×\r(1.69＋0.49＋1.69＋0.49))＝eq\f(6.6,\r(10)×\r(4.36))≈eq\f(6.6,6.603)≈0.9995，因为0.9995>0.75，故可以用线性回归模型拟合y与x的关系．答案：(2)由题意可得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(6.6,10)＝0.66，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝2.5－0.66×3＝0.52，则eq\o(y,\s\up6(^))＝0.66x＋0.52，当x＝7时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.66×7＋0.52＝5.14，所以估计该市2026年新增新能源汽车5.14万辆．预测3答案：(1)由题意可知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(30\o(x,\s\up6(－))1＋30\o(x,\s\up6(－))2,60)＝eq\f(26＋34,2)＝30.答案：(2)零假设为H0：绩效分数达标情况与性别无关．χ2＝eq\f(60×（20×25－5×10）2,30×30×25×35)≈15.429>10.828＝x0.001，根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为绩效分数达标情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.答案：(3)由题意知X可能的取值为0，1，2，则P(X＝0)＝(1－eq\f(1,5))×(1－eq\f(1,5))＝eq\f(16,25)，P(X＝1)＝eq\f(1,5)×(1－eq\f(2,5))＋(1－eq\f(1,5))×eq\f(1,5)＝eq\f(7,25)，P(X＝2)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,25)，所以甲在前两个月所得奖金总额X的分布列为X012Peq\f(16,25)eq\f(7,25)eq\f(2,25)数学期望E(X)＝0×eq\f(16,25)＋1×eq\f(7,25)＋2×eq\f(2,25)＝eq\f(11,25)＝0.44.[对点练3]答案：(1)由题意可知，3t＋(60－t)＝100，解得t＝20，2×2列联表如下：非常喜欢感觉一般合计男性6040100女性8020100合计14060200χ2＝eq\f(200×（60×20－80×40）2,140×60×100×100)＝eq\f(200×20002,140×60×100×100)≈9.524>6.635.根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.答案：(2)设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则X＝m＋n，且X的所有可能取值为1，2，3，4，P(X＝1)＝P(m＝0，n＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)))＝eq\f(2,30)＝eq\f(1,15)，P(X＝2)＝P(m＝1，n＝1)＋P(m＝0，n＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1)),Ceq\o\al(\s\u