微专题7　空间几何体的表面积和体积

微专题7空间几何体的表面积和体积真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是()A．18，814C．274，643D2．(2023·新高考Ⅱ卷)(多选)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则()A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．AC＝22D．△PAC的面积为33．(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体4．(2025·全国二卷)一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm.命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：空间几何体的面积和体积问题是近几年高考必考的，稳中有变，既有基础题，又有富含变化的探索性问题，注重考查空间想象能力．预测角度1空间几何体的表面积与侧面积预测1一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400毫升墨水．将墨水瓶倾斜，使其一条长边(10cm)置于水平地面，高边(15cm)所在直线与水平地面成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为()A．180B．220C．260D．300[听课笔记](1)将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决空间几何体表面积的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积．[对点练1](1)(2025·广东深圳模拟)底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为()A．85πB．95πC．35πD．16π(2)(2025·河北沧州模拟)在正四棱台A1B1C1D1-ABCD中，AB＝2A1B1＝22，侧棱和底面所成角为60°，则该正四棱台的侧面积为()A．32B．67C．82D．127预测角度2空间几何体的体积预测2如图，母线长为3的圆台形状的实木筒(壁厚忽略不计)两底面的半径分别为1，2，在该实木筒内放入一个等高的正三棱台物体，则该正三棱台物体的体积的最大值为________．[听课笔记][对点练2](1)(2025·河北唐山模拟)在三棱锥A-BCD中，AE＝EB，AF＝2FC，AG＝3GD，设三棱锥A-EFG的体积为V1，三棱锥A-BCD的体积为V2，则V1∶V2A．13B．C．16D．(2)(2025·河南新乡模拟)将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架(铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和)，则该正三棱柱的体积最大为()A．336B．C．3108D．预测角度3与球有关的接、切问题预测3已知一几何体上半部分为圆台PO，下半部分为圆锥SO，其中圆锥SO底面的半径为r，高为h.圆台PO的两底面的半径分别为r和217r，高为2h.该几何体内接于表面积为100π的球，则圆台PO的体积为(A．(10＋21)πB．2(10＋21)πC．4(10＋21)πD．6(10＋21)π[听课笔记]解决与球有关的接、切问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题，思路如下：(1)定球心：如果是外接球，球心到各个顶点的距离相等且为球的半径；如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径．(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程(组)，并求解．[对点练3](1)(2025·安徽合肥模拟)将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角A-BD-C的大小为120°，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为()A．4π3 BC．23π3 (2)(2025·山东菏泽模拟)一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为23和83，高为9，削成一个球，则所得球的体积最大值为________.请完成：专题强化练10微专题7空间几何体的表面积和体积真题重做1．解析：因为球的体积为36π，所以球的半径R＝3.方法一导数法设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(h－3)2，所以6h＝l2，2a2＝l2－h2，所以正四棱锥的体积V＝13Sh＝13×4a2×h＝23×(l2－l436)×l26＝19l4-l636，所以V′＝19(4l3－l56)＝19l3(24-l26)．当3≤l<26时，V′>0，当26<l≤33时，V′<0，所以当l＝26时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为643.又当l＝3时，V＝27方法二基本不等式法由方法一知V＝43a2h＝23(6h－h2)h＝13(12－2h)h×h≤13×[12-2h+h+h3]3＝643(当且仅当h＝4时取等号)，当h＝32时，得2a＝332，则Vmin＝134a2h＝13×3322×32＝274；当l＝33时，球心在正四棱锥的高线上，此时h＝32＋3＝92，2a＝332⇒2a＝332答案：C2．解析：在△PAB中，由余弦定理得AB＝23，如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝3.对于A，该圆锥的体积V＝13πr2h＝π，故A正确；对于B，该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝23π，故B错误；对于C，取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P­AC­O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝AO2-OH2＝2，所以AC＝22，故C正确；对于D，PH＝2OH＝2，S△PAC＝12×AC×PH＝答案：AC3．解析：由于棱长为1m的正方体的内切球的直径为1m，故A正确；由于棱长为1m的正方体中可放入棱长为2m的正四面体，且2>1.4，故B正确；因为正方体的棱长为1m，体对角线长为3m，3<1.8，所以高为1.8m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，故C错误；如图六边形EFGHIJ为正六边形，E，F，G，H，I，J为棱的中点，高为0.01m可忽略不计，看作直径为1.2m的平面圆，六边形EFGHIJ的边长为22m，∠GFH＝∠GHF＝30°，所以FH＝3FG＝3GH＝62m，故六边形EFGHIJ的内切圆直径为62m，而(62)2＝32>1.22＝1.44答案：ABD4．解析：分三种情况讨论．设铁球的半径为rcm.情况一：竖直排列(一个在上，一个在下)，则4r≤9，∴r≤2.25；情况二：水平排列(并排放置)，则4r≤8，∴r≤2；情况三：斜向排列，截面图如图所示，由图可知(8－2r)2＋(9－2r)2＝4r2，即4r2－68r＋145＝0，即(2r－5)(2r－29)＝0，解得r＝2.5或r＝14.5(舍去)．综上所述，铁球半径的最大值为2.5cm.答案：2.5命题预测预测1解析：如下图，若截面为等腰直角三角形，腰长为a，则12a2＝40010＝40，可得a＝45如下图，若截面为直角梯形，上底长为b，则12×(2b＋8)×8＝40010＝40，可得b＝所以此时墨水与墨水瓶接触部分的面积S＝2×40＋1×10＋9×10＋8×10＝260(cm)2.故选C.答案：C[对点练1]解析：(1)如图，设截面圆的圆心为C，截面圆的半径CD＝1，底面圆半径OB＝3，PC＝2，由于OB∥CD，所以PCPO＝CDOB⇒2PO＝13⇒PO＝6，所以PB＝PO2+OB2＝36+9＝35，PD＝5，所以原圆台的侧面积为π3解析：(2)如图，连接A1C1，AC，则A1C1＝2，AC＝4，过A1作A1E⊥AC于E，则AE＝AC-A1C12＝1，由正四棱台的性质可得A1E⊥平面ABCD，故∠A1AE即侧棱和底面所成角，所以∠A1AE＝60°，在Rt△A1AE中，可得A1A＝2，A1E＝3，过A1作A1F⊥AB于F，连接EF，因为AB⊂平面ABCD，所以A1E⊥AB，而A1F∩A1E＝A1，A1F，A1E⊂平面A1FE，故AB⊥平面A1FE，而EF⊂平面A1FE，故AB⊥EF，而∠EAF＝45°，则EF＝22，A1F＝142，所以该正四棱台的侧面积为答案：(1)A答案：(2)B预测2解析：当正三棱台的两底面正三角形为圆台的两底面圆的内接正三角形时，该正三棱台的体积取得最大值．因为圆台的母线长为3，两底面圆的半径分别为1与2，所以圆台的高h＝32-2-12设正三棱台两底面正三角形的边长分别为a，b(a<b)，由正弦定理可得asin60°＝2×1，bsin60[障碍速通]结合正弦定理速求正三角形的边长解得a＝3，b＝23，故该正三棱台物体的体积的最大值为V＝22334a2+34ab+34b2＝223×[34×(答案：7[对点练2]解析：(1)设G到平面ABC的距离为h1，D到平面ABC的距离为h2，由于AG＝3GD，故h1h2＝34；又AE＝EB，AF＝2FC，则AE＝12AB，AF＝23AC，故S△AEFS△ABC＝12AE·AFsin解析：(2)设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则6x＋3y＝3，即y＝1－2x，0<x<12.正三棱柱的体积V＝34x2y＝34x2(1－2x)＝34(x2－2x3)，V′＝34(2x－6x2)＝32x(1－3x).当x∈0，13时，V′>0，当x∈13，12时，V′<0，所以函数V＝34x2-2x答案：(1)B答案：(2)C预测3解析：设几何体外接球半径为R，则4πR2＝100π，∴R＝5.设外接球球心为M，MN＝MQ＝MS＝R＝5，OQ＝r，PN＝217r，PO＝2h，SO＝在Rt△PMN中，PN2＋PM2＝MN2，即(217r)2＋(PS－MS)2＝MN2，在Rt△MOQ中，OQ2＋OM2＝MQ2，即在Rt△MOQ中，r2+则5-h∴h=3，r=21，∴V＝13(21π＋9π＋321π)×6＝6(10＋21)答案：D[对点练3]解析：(1)翻折后所得图形如图所示，易知BD的中点O为球心，故该四面体的外接球体积V＝4π3R3＝4π3·(22)3＝642π3，又AO⊥BD，CO⊥BD，AO，CO⊂平面AOC，AO∩CO＝O，所以BD⊥平面AOC，二面角A­BD­C的大小为120°，S△AOC＝12·22·22sin120°＝23，VA­BCD＝VD­AOC＋VB­AOC＝13S△AOC|OB|＋13S△AOC|OD|＝1