微专题4　解三角形

微专题4解三角形真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinC＝2cosB，a2+b(1)求B；(2)若△ABC的面积为3＋3，求c.2．(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝2.(1)求A；(2)若a＝2，2bsinC＝csin2B，求△ABC的周长．3.(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．4．(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，D为BC中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tanB(2)若b2＋c2＝8，求b，c.命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等计算，同时与三角形中的中线、角平分线、高线有关的解三角形也是命题热点，难度中档或偏下．预测角度1三角形中边、角、面积问题预测1已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝6，b－c＝1，sinC＝74(1)求b的值及△ABC的面积；(2)求证：A＝2C.[听课笔记]当题目条件中出现边和角的等式时，一般有两种化简方法：(1)全部统一为角，将“边的齐次式”中的边直接化为对应角的正弦；(2)全部统一为边，利用正、余弦定理将角转化为边，最后用因式分解等代数技巧化简即可．[对点练1](2025·河北沧州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝455absin(1)求cosC的值；(2)若c＝5，△ABC的面积为5，求△ABC的周长．预测角度2三角形中的中线、角平分线、高线问题预测2在△ABC中，cosA＝35，tan(A－B)＝1(1)求B；(2)若∠BAC的平分线AD交BC于点D，△ABC的面积为15，求AD.[听课笔记]1．三角形中有关中线问题的结论如图，在△ABC中，设D是BC的中点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)向量形式：由AD＝12(AB+AC)可得AD2＝14(b2＋c2(2)角形式：∠ADB＋∠ADC＝π⇒cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，在△ADB中，cos∠ADB＝DA2在△ADC中，cos∠ADC＝DA2可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)．2．三角形中有关角平分线问题的结论如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)内角平分线定理：ABBD＝ACDC或ABAC(2)等面积法求角平分线长：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以12c·AD·sin∠BAC2+12b·ADsin∠BAC2＝12bcsin∠BAC，所以(b＋c)AD＝2bccos3．三角形中有关角平分线问题的结论(1)若h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝1a∶1b∶1c＝1sinA(2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．(3)过顶点作底边上的高线，利用解直角三角形知识求解．[对点练2](1)(2025·河南多校联考)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c－2acos2B＝2bcosAcosB.①求B；②设D为AC边的中点，若b＝2，BD＝32，求△ABC(2)(2025·江西上饶模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2bcos①求A；②若b＝3，BC边上的高为3217，求△请完成：专题强化练5微专题4解三角形真题重做1．答案：(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcosC，对比已知a2＋b2－c2＝2ab，可得cosC＝a2+b2-c22ab＝2ab2ab＝22从而sinC＝1-cos2C＝1-又因为sinC＝2cosB，所以cosB＝12，因为B∈(0，π)，所以B＝π答案：(2)由(1)可得B＝π3，cosC＝22，C∈(0，π)，从而C＝π4，A＝π－π而sinA＝sin5π12＝6+24，由正弦定理知asin从而a＝6+24·2c＝3+12c，b＝32·由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△ABC＝12absinC＝12·3+12c·62c·2由已知△ABC的面积为3＋3，可得3+38c2＝3＋3，所以c＝22．答案：(1)由sinA＋3cosA＝2，得2(12sinA＋32cosA)＝2，所以sinA+由A∈(0，π)，得A＋π3∈π3，4π3，所以A＋π3＝答案：(2)由A，B，C为三角形内角，得sinB≠0，sinC≠0.因为2bsinC＝csin2B，所以由正弦定理得2sinBsinC＝sinCsin2B，所以2sinB＝sin2B，即2sinB＝2sinBcosB，所以cosB＝22，所以B＝π因为a＝2，A＝π6，所以由正弦定理得b＝asinAsinB＝由A＝π6，B＝π4得C＝7π12，所以sinC＝sin7π12＝sinπ3所以由正弦定理得c＝asinCsinA＝所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋22+6+2＝2＋63．答案：方法一(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－π4)＝sin(3π4－A展开并整理得2(sinA－cosA)＝22(cosA＋sinA)，得sinA＝3cosA又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0，所以sinA＝310答案：(2)由正弦定理得BCsinA＝ABsinC，得BC＝ABsinC×sinA由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，得52＝AC2＋(35)2－2AC·35cosπ4整理得AC2－310AC＋20＝0，解得AC＝10或AC＝210，由(1)得tanA＝3>3，所以π3<A<π2，又A＋B＝3π4，所以B即C<B，所以AB<AC，所以AC＝210.设AB边上的高为h，则12×AB×h＝12×AC×BCsin即5h＝210×35×22，解得h＝6，所以方法二(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，所以tanA＝3tanC＝3tanπ4＝3，又sinA>0，所以sinA＝332(2)由(1)知sinA＝31010，tanA＝3>0，所以所以cosA＝1010，所以sinB＝sin(3π4－A)＝22(cosA＋sinA)＝22×(10由正弦定理得ACsinB＝ABsinC，得AC＝AB·sinB故AB边上的高为AC×sinA＝210×34．答案：(1)方法一在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC＝π3，AD＝1则S△ADC＝12AD·DCsin∠ADC＝12×1×12a×32＝38a＝12S△ABC在△ABD中，∠ADB＝2π3，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB即c2＝4＋1－2×2×1×(－12)＝7，解得c＝7则cosB＝AB2+BD2-sinB＝1-cos2B＝1-57142＝2114方法二在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC＝π3，AD＝1则S△ADC＝12AD·DCsin∠ADC＝12×1×12a×32＝38a＝12S△ABC＝在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC，即b2＝4＋1－2×2×1×12＝3，解得b＝3有AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝π2，C＝π过A作AE⊥BC于E，于是CE＝ACcosC＝32，AE＝ACsinC＝32，BE＝所以tanB＝AEBE＝3答案：(2)方法一在△ABD与△ACD中，由余弦定理得c整理得12a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝23又S△ADC＝12×3×1×sin∠ADC＝32，解得sin∠而0<∠ADC<π，于是∠ADC＝π2，以b＝c＝AD2方法二在△ABC中，因为D为BC中点，则2AD＝AB+AC，又CB＝于是4AD2＋CB2＝(AB+AC)2＋(AB-AC)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a又S△ADC＝12×3×1×sin∠ADC解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，于是∠ADC＝π2所以b＝c＝AD2+命题预测预测1答案：(1)由sinC＝74，可得cosC＝±3又由c2＝a2＋b2－2abcosC，且a＝6，b－c＝1，所以c2＝36＋c+12±9c+1，整理得37＋2c±9c+1＝0显然46＋11c＝0不成立，所以37＋2c－9c+1＝0，可得c＝4，则b＝5，故S△ABC＝12absinC＝12×6×5×74答案：(2)由(1)知a＝6，b＝5，c＝4，可得cosC＝a2+b则cos2C＝2cos2C－1＝18又由cosA＝b2+c2-a22bc＝25+16-362×5因为A，C∈0，π，且A＋C<π，所以A＝2[对点练1]答案：(1)由余弦定理可知，a2＋b2－c2＝2abcosC.因为a2＋b2－c2＝455absinC，所以2abcosC＝455absinC，即cosC＝由sin2C＋cos2C＝1，且sinC>0，解得sinC＝53，则cosC＝2答案：(2)△ABC的面积S＝12absinC＝56ab＝5，则ab因为c＝5，所以由c2＝a2＋b2－2abcosC，可得25＝a2＋b2－4ab3＝(a＋b)2－10ab3＝(a＋b)2－20，则a＋b＝3故△ABC的周长为35＋5.预测2答案：(1)由cosA＝35，且0<A<π，则sinA＝1-cos2A＝45，故tanAtanB＝tan[A－(A－B)]＝tanA-tanA-B1+tanAtanA-B＝43-答案：(2)设∠BAC＝2θ，∠ADC＝α，如图所示，由cos∠BAC＝cos2θ＝1－2sin2θ＝35，且0<θ<π可得sinθ＝55，cosθ＝1-sin由sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝sin∠BACcos∠B＋cos∠BACsin∠B＝45×22+35×22＝7210，且sinα＝sin(θ＋B)＝sinθcosB在△ABD中，BDsinθ＝ADsinB，则BD＝AD在△ACD中，CDsinθ＝ADsinC，则CD＝AD所以BC＝BD＋CD＝121035AD，又△ABC中BC边上的高为ADsin则S△ABC＝12BC·(ADsinα)＝1835AD2＝15，所以AD＝[对点练2]答案：(1)①由正弦定理得sinC－2sinAcos2B＝2sinBcosAcosB，∴sinC＝2cosBsinAcosB+cosA∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝2cosBsinA+B＝2cosBsinπ-C＝2cosBsinC，∵0<C<π，∴sinC≠0，∴cosB＝12，又0<B<π，∴B＝π答案：②由余弦定理得cosB＝a2+c2-b22ac＝12，∴a∵BD2＝14BA+BC2＝1∴a2＋c2＋ac＝9，∴4＋2ac＝9，解得ac＝52∴△ABC的面积为12acsinB＝5答案：(2)①由b＝2bcos2π12-A2-asin所以bcosπ6-A＝as