微专题1　平面向量的基本运算

微专题1平面向量的基本运算真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．图①给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图②所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为 ()级数名称风速大小(单位：m/s)2轻风1.6～3.33微风3.4～5.44和风5.5～7.95劲风8.0～10.7①②A．轻风B．微风C．和风D．劲风2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝()A．12B．C．32D．3．(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝1，1，b＝1，-1，若a+λbA．λ＋μ＝1B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1D．λμ＝－14．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝()A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n5．(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥a-b，则|a|＝6．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足a-b＝3，a+b＝命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：平面向量的基本运算每年必考，主要考查平面向量的线性运算、数量积、夹角及模的运算，以选择题、填空题的形式出现，难度低档．预测角度1向量的线性运算预测1已知在梯形ABCD中，BC＝2AD，若M为CD边上靠近C的三等分点，且BM＝xAB＋yAD，则x＋y＝__________．[听课笔记](1)在△ABC中，已知AD＝12(AB+AC)等价于已知AD是(2)已知OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.[对点练1](2025·安徽滁州模拟)已知O为△ABC的重心，D为AB的中点，则OD＝()A．12AB-C．13AB+预测角度2数量积的运算预测2(1)已知向量b在向量a上的投影向量为－2a，若a＝3，则a·a+b＝(A．－9B．－3C．3D．9(2)键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形．已知六边形ABCHIJ与六边形CDEFGH为全等的正六边形，且AB＝4，点M为正六边形CDEFGH内的一点(包含边界)，则AB·AM的取值范围是________．[听课笔记](1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，再根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集等问题，再利用函数、不等式的有关知识来解决．[对点练2](2025·江苏南京模拟)在四边形ABCD中，AB∥DC，A＝90°，AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD中点，F是线段BE上的动点，则FB·FC的最小值为()A．－43B．－54C．－45预测角度3夹角与模预测3(1)已知非零向量a，b满足b＝2a，若a⊥a-b，则a与b的夹角为(A．π6B．π3C．2π3(2)已知平面向量a，b满足a＝1，〈b，a＋b〉＝π6，则a+b[听课笔记](1)向量模的问题，通过|a|2＝a2转化为实数问题；数形结合；坐标法．(2)向量夹角的问题，cos〈a，b〉＝a·[对点练3](1)(2025·河北保定模拟)已知向量a＝3，m，b＝1，-1，且a+b＝5A．4B．－2C．4或－2D．2(2)(2025·江西景德镇模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－1，则cos〈a－b，a〉＝________．请完成：专题强化练1微专题1平面向量的基本运算真题重做1．解析：设真风风速为v1，船行风风速为v2，视风风速为v，依题意得v＝(－3，－1)，v2＝(－1，－3)，且v＝v1＋v2，∴v1＝v－v2＝(－3，－1)－(－1，－3)＝(－2，2)．因此|v1|＝-22+22＝22<3.3答案：A2．解析：因为(b－2a)⊥b，所以b·b－2a·b＝0，即b2＝2a·b.又|a＋2b|＝2，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝a2＋2b2＋4b2＝1+6b2＝4，解得|b|2＝12，|b|＝2答案：B3．解析：因为a＝1，1，b＝1，-1，所以a＋λb＝1+λ，1-λ，a＋μb＝1+μ，1-μ.由a+λb⊥a+μb可得a+λb答案：D4．解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以BD＝2DA，即CD-CB＝2CA-CD，所以CB＝3CD－2CA＝3n－2m＝－2m＋3答案：B5．解析：a－b＝(1，1－2x)，因为a⊥a-b，则a·a-b＝0，则x＋1－2x＝0，解得x＝1.则a＝(1，1)，则|a答案：26．解析：方法一因为a+b＝2a-b，即a+b2＝2a-b2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为a-b＝3，即a-b2＝3，则a2－2a·方法二设c＝a－b，则c＝3，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由题意可得c+2b2＝2c+b2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即b答案：3命题预测预测1解析：如图所示，因为在梯形ABCD中，BC＝2AD，若M为CD边上靠近C的三等分点，所以CD＝CB＋BA+AD＝－2AD-AB+AD＝－AD－AB，CM＝13CD＝－13AD-13AB，所以BM＝BC+CM＝2AD-答案：4对点练1解析：由题意得OD＝13CD＝13CB+BD＝答案：B预测2解析：(1)bcos〈a，b〉·aa＝bcos〈a，b〉·a3＝－2a，∴bcos〈a，b〉＝－6，a·a+b＝a2＋a·b＝a2＋a·bcos〈a，b〉＝9＋3×-6(2)过点M作直线AB的垂线，垂足为M1，则AB·M1M＝0，AM＝AM1＋M1M，所以AB·AM＝AB·AM1.当点M与点H重合时，AB·AM取最小值(AB·AM)min＝4×4＝16，当点M与点E重合时，AB·AM取最大值(AB·AM)max＝4×12＝48，所以AB·AM的取值范围是[16，答案：(1)A(2)[16，48]对点练2解析：由题以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD中点，所以A0，0，B2，0，C1，2，D0，2，E0，1，而F是线段BE上的动点，从而可设AF＝λAB+1-λAE＝2λ，0+0，1-λ＝2λ，1-λ，λ∈0，1，所以点F的坐标是2λ，1-λ，所以FB＝2-2λ，-1+λ，FC＝1-2λ，1+λ，FB·FC＝2-2λ1-2λ+-1+λ1+λ＝4λ2－6λ＋答案：C预测3解析：(1)因为b＝2a，且a⊥a-b，所以a·a-b＝a2－a·b＝0，所以a·b＝a2，所以cos〈a，b〉＝a·bab＝a22aa＝12，又〈a，解析：(2)如图所示．圆O为单位圆，点A，B在单位圆上且A-12，-32，B12，-32.所以a＝BA＝(－1，0)，符合条件a＝1，在单位圆上再取一点C，令b＝CB，易知弦AB所对的圆心角∠AOB＝π3，