26.3.1二次函数与一元二次方程的联系 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

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人教版（新教材）数学九年级上册教学课件第二十六章二次函数26.3.1二次函数与一元二次方程的联系2026年10月18日

人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字）一、填空题（每空2分，共30分）1.只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。2.$$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。3.$$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。4.化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。5.若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。6.数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。7.若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。二、选择题（每题3分，共24分）1.下列各组数中，互为相反数的是（）

A.$$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$B.$$-4$$和$$4$$C.$$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$D.$$4$$和$$4$$2.关于相反数的说法正确的是（）

A.正数和负数互为相反数B.任何一个数都有相反数

C.相反数是本身的数是正数D.0没有相反数

3.$$-(-3)$$的相反数是（）

A.$$3$$B.$$-3$$C.$$\dfrac{1}{3}$$D.$$-\dfrac{1}{3}$$4.若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（）

A.$$2$$B.$$-2$$C.$$\dfrac{1}{2}$$D.$$-\dfrac{1}{2}$$5.下列化简正确的是（）

A.$$-(+5)=5$$B.$$-(-7)=-7$$C.$$-(+0.8)=-0.8$$D.$$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$6.数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（）

A.0B.4C.8D.负数

7.一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（）

A.正数B.负数C.0D.非正数

8.已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（）

A.$$a-b=0$$B.$$a+b=0$$C.$$ab=1$$D.$$\dfrac{a}{b}=1$$三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分）1.符号不同的两个数互为相反数。（）2.0的相反数是0。（）3.负数的相反数一定是正数。（）4.$$-6$$是相反数。（）5.若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（）6.$$-(-10)$$化简后是10。（）7.互为相反数的两个数一定不相等。（）8.正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（）四、解答题（共30分）1.（8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数：

$$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$2.（10分）化简下列各数的符号：

（1）$$-(+9)$$（2）$$-(-12)$$（3）$$-(+3.6)$$（4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$（5）$$-[-(-8)]$$3.（12分）综合应用题：（1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值；

（2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值；

（3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。

参考答案一、填空题1.符号；两侧；距离2.$$-5$$；$$8$$；$$0$$3.$$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$4.$$-6$$；$$9$$；$$0$$5.0；负数6.$$5$$；$$-5$$7.$$-3$$；$$7$$二、选择题1.B2.B3.B4.A5.C6.D7.A8.B三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.×8.√四、解答题1.相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。2.（1）$$-9$$（2）$$12$$（3）$$-3.6$$（4）$$\dfrac{4}{7}$$（5）$$-8$$3.（1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。#26.3.1二次函数与一元二次方程的联系专项练习##知识点梳理###核心关系二次函数$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c\(a≠0)}$，当$\boldsymbol{(\boldsymbol{(y=0)})}$时，得到一元二次方程：$$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$$方程的实数根，就是抛物线与**x轴交点的横坐标**。###判别式$\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$的三种情况1.$\boldsymbol{\Delta>0}$：方程有**两个不相等实数根**抛物线与$x$轴有**2个交点**$(x_1,0),(x_2,0)$2.$\boldsymbol{\Delta=0}$：方程有**两个相等实数根**抛物线与$x$轴**只有1个交点**（顶点在x轴上）3.$\boldsymbol{\Delta<0}$：方程**没有实数根**抛物线与$x$轴**无交点**>>补充：-抛物线与$x$轴交点坐标$((x,0))$；与$y$轴交点$((0,c))$-若抛物线与$x$轴交于$(x_1,0),(x_2,0)$，可写交点式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$>>易错提醒1.$\Delta$只判断和$x$轴交点，和$y$轴交点永远存在$((0,c))$；2.二次函数图象在$x$轴上方$\Leftrightarrow(y>0)$；图象在$x$轴下方$\Leftrightarrow(y<0)$；3.只有$a≠0$，才能转化为一元二次方程。##一、选择题（每题4分，共20分）1.抛物线$y=x^2-2x-3$与$x$轴的交点个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.抛物线$y=x^2-4x+4$与$x$轴交点坐标是（）A.$((2,0))$B.$(-2,0)$C.$((2,0)),(-2,0)$D.$((0,2))$3.抛物线$y=2x^2+3x+2$，则$\Delta$的值和交点个数为（）A.$\Delta>0$，2个交点B.$\Delta=0$，1个交点C.$\Delta<0$，无交点D.$\Delta<0$，2个交点4.二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与$x$轴交于$(1,0),(-3,0)$，则方程$ax^2+bx+c=0$两根为（）A.$x_1=1,x_2=3$B.$x_1=-1,x_2=3$C.$x_1=1,x_2=-3$D.$x_1=-1,x_2=-3$5.抛物线$y=x^2-5x+6$，当$(y>0)$时，$x$取值范围是（）A.$(x>2)$B.$(x<3)$C.$(x<2)$或$(x>3)$D.$2<(x<3)$##二、填空题（每题4分，共20分）6.抛物线$y=x^2-(\boldsymbol{9})$与$x$轴交点坐标为________。7.抛物线$y=x^2-6x+m$与$x$轴只有一个交点，则$(m=)$________。8.二次函数$y=x^2-3x-4$，方程$x^2-3x-4=0$的根是________。(\boldsymbol{9}).抛物线$y=-x^2+2x+3$，当$(\boldsymbol{(y=0)})$时，对应的一元二次方程是________________。9.若抛物线$y=x^2-2x+k$与$x$轴有两个交点，则$k$取值范围________。##三、解答题（共60分）11.（12分）判断抛物线$y=x^2-4x+3$与$x$轴交点个数。若有交点，求出交点坐标。12.（16分）已知二次函数$y=x^2-2x-8$。(1)求抛物线与$x$轴交点；(2)求方程$x^2-2x-8=0$的根；(3)当$x$取何值时，$(y>0)$。13.（16分）已知抛物线$y=x^2-2mx+m-2$。(1)求证：无论$m$取何值，抛物线总与$x$轴有两个交点；(2)若抛物线过点$((3,0))$，求$m$的值。14.（16分）已知二次函数$y=-x^2+3x+4$。(1)求抛物线与$x$轴交点；(2)当$x$取何值时，$(y>0)$；当$x$取何值时，$(y<0)$。---#参考答案与解析###选择题1.C解析：$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=16>0$，2个交点。2.A解析：$y=(x-2)^2$，顶点$((2,0))$，与x轴只有一个交点。3.C解析：$\Delta=3^2-4\times2\times2=(\boldsymbol{9})-16=-7<0$，无交点。4.C解析：交点横坐标就是方程的根。5.C解析：$y=(x-2)(x-3)$，开口向上，$(y>0)$在两根外侧。###填空题6.$\boldsymbol{((3,0)),(-3,0)}$7.$\boldsymbol{(\boldsymbol{9})}$，$\Delta=36-4(m=)0\Rightarrow(m=)(\boldsymbol{9})$8.$\boldsymbol{x_1=4,x_2=-1}$(\boldsymbol{9}).$\boldsymbol{-x^2+2x+3=0}$9.$\boldsymbol{(\boldsymbol{k<1})}$，$\Delta=4-4k>0\Rightarrow(\boldsymbol{k<1})$###解答题11.解：$\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=16-12=4>0$，有2个交点。解方程$x^2-4x+3=0$，$(x-1)(x-3)=0$$x_1=1,x_2=3$交点：$\boldsymbol{(1,0),((3,0))}$12.(1)令$(\boldsymbol{(y=0)})$，$x^2-2x-8=0$，$(x-4)(x+2)=0$交点：$\boldsymbol{(4,0),(-2,0)}$(2)方程根：$\boldsymbol{x_1=4,x_2=-2}$(3)开口向上；$\boldsymbol{x<-2}$或$\boldsymbol{(\boldsymbol{x>4})}$时，$(y>0)$。13.(1)证明：$$\begin{align*}\Delta&=(-2m)^2-4\times1\times(m-2)\&=4m^2-4m+8\&=4\left(m-\dfrac12\right)^2+7\end{align*}$$$\left(m-\dfrac12\right)^2\ge0$，所以$\Delta=4\left(m-\dfrac12\right)^2+7>0$恒成立，∴无论$m$取何值，抛物线总与$x$轴有两个交点。(2)将$((3,0))$代入：$$\begin{align*}0&=(\boldsymbol{9})-6m+m-2\5-5m&=0\\boldsymbol{(m=)1}\end{align*}$$14.(1)令$(\boldsymbol{(y=0)})$，$-x^2+3x+4=0\Rightarrowx^2-3x-4=0$$(x-4)(x+1)=0$，根$x_1=4,x_2=-1$交点$\boldsymbol{(4,0),(-1,0)}$(2)$a=-1<0$，开口向下$\boldsymbol{-1<x<4}$时，$(y>0)$；$\boldsymbol{x<-1}$或$\boldsymbol{(\boldsymbol{x>4})}$时，$(y<0)$。>>本节小结>$y=ax^2+bx+c$令$(\boldsymbol{(y=0)})$得到一元二次方程；判别式$\Delta$决定抛物线和$x$轴交点个数；>交点横坐标就是方程的根；结合开口方向，可直接判断$(y>0),(y<0)$对应的$x$范围。下一课：**26.3.2二次函数的实际应用**，继续写配套练习吗？也可以只要纯题目无答案版本。123

会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。初步掌握利用函数图象求一元二次方程近似根的方法；通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的抽象概括能力。

回顾对称轴顶点坐标开口方向

增减性

最值

思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-8x+16；（3）y=x2-x+1.探索新知由此，你能说说相应的一元二次方程的根的情况吗？先画出函数图象：（1）y=x2+x-2；

（2）y=x2-8x+16；

（3）y=x2-x+1.无公共点公共点的函数值为

.00=x2-x+1.0=x2+x-20=x2-8x+16x1=-2，x2=1.二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？x1=x2=4.对应一元二次方程的根是多少？有两个不等的实根有两个相等的实根方程无实数根由上述问题，你可以得到什么结论呢？方程角度一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标形函数观点二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值数一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象，可得如下结论：(1)如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根.(2)二次函数у=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.归纳：1.返回一元二次方程x2＋2x－8＝0的根是_______________，所以抛物线y＝x2＋2x－8与x轴的公共点坐标是__________________．x1＝2，x2＝－4(2，0)，(－4，0)返回2.已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为(

)A．x1＝－2，x2＝3B．x1＝－1，x2＝3C．x1＝－3，x2＝3D．x1＝1，x2＝3B返回3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，利用图象解答下列各题：(1)方程ax2＋bx＋c＝0的根是___________________；(2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根是________________；(3)方程ax2＋bx＋c＝5的根是________________；(4)方程ax2＋bx＋c＝－4的根是__________；x1＝－1，x2＝3x1＝0，x2＝2x1＝4，x2＝－2x1＝x2＝1返回(5)方程ax2＋bx＋c＝－6的根的情况怎样？解：方程无实数根．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0例1

如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为h=20t-5t2.小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？Ohth=20t-5t2解：当h=20时，则20=20t-5t2.解方程，得t1=t2=2.当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.202即

t2-4t+4=0.你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=15，则15=20t-5t2.解得t1=1，t2=3.当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？1513练习关于例1，回答下列问题：【教材P48练习】（2）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=20.5，则20.5=20t-5t2.即t2-4t+4.1=0.∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根.即小球的飞行高度不能达到20.5m.你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗？20.5（3）小球从飞出到落地，需要多长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=0，则0=20t-5t2.解得t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.所以小球从飞出到落地要4s.二次函数与一元二次方程的关系：y=ax2+bx+c一元二次方程y取定值且a≠0已知二次函数中因变量的值，求自变量的值求相应的一元二次方程的根例：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）．反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值．返回4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个公共点，则对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(

)A．没有实数根

B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根

D．无法确定B抛物线y＝x2－2x＋1与x轴的交点有(

)A．0个

B．1个

C．2个

D．3个返回5.B若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是________．返回6.返回7.【新趋势跨学科综合】一个小球从地面竖直向上抛，其运动关系式：h＝vt－gt2(不计空气阻力)，其中h(m)是物体距离地面的高度，v(m/s)是初速度，g是重力加速度(g取10m/s2)，t(s)是抛出后所