模型40 三角形内切圆 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

模型40三角形内切圆

模型展现

A

图示劾

BEC

条件O0是仆ABC的内切圆（点0为&ABC的内心,。0分别与边AB.BCAC相切于点D,E,F）

LZBOC=90°+1ZBAC,ZAOC=90°+^ZABC,ZAOB=90°+1ZACB

结论

2.SAABC=1(AB+BC+AC)OD

结论分析

结论1：Z-BOC=90°4-1/-BAC,LAOC=90°+|乙ABC,乙AOB=90°+1^ACB

证明:TABBCAC分别是GO的切线.点D.E,F为切点,，ZODA=ZOEB=ZOFC=90°,

:.乙BOC=360°-(90。一[448C)-(90°-^BAC^-(90°-\z.BAC]-(90。-

=1{/.ABC+Z,BAC+Z-BAC+LACB)=：(180。+LBAC)=90°+1Z-BAC.

同理可证彳导Z.AOC=90°+-Z.ABC,Z.AOB=90°+-Z.AOB=90°+-Z.ACB.

222

结论2:SABC=3G4B+BC+AC)-OD

自主证明：

模型解题三步法

例I如图,。O内切于△ABC,若"08=100。,则aNC的度数为,

例1题图

例2如图，在△ABC中，血C=90。,BC=S,AC=3“点D是^ABC的内心，则BD的长为—.ABC

例2题图

题以类解

1.如图,在4BC中，AB=12,BC=10,00为4BC的内切圆，且半径为V7,若ABC的面积为15夕，则AC

的长为（）

A.6B.8C.10D.12

BCDA

第111图VU4I国

2.如图，在ABC^OAB=BC,过点B作"目力。于点D,P是/8C内一点，连接CP交BD于点E,且

乙BPE=108°,连接AP,若点P恰好为48E内心，贝!]"EB的度数为()

436°B.48°6.60°D.72°

3.新考法新图形如图，在四边形ABCD中团8C,0O是四边形AB-CD的内切圆，若40=

3,BC=6,贝!JcoszOCB的值为.

第3总固

4.请阅读下列材料，并完成相应的任务：

我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，

可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设a,b,c为三角形三边，S为三角形的面积，

则S=电卜。？-(竺子耳],这是中国古代数学的瑰宝之一,而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了

求三角形面积的另一个公式，若设p=(周长的一半)，则S=Jp(p-a)(p-b)(p-c),海伦公式与秦九韶公式实质

上是同一公式.下列是秦九韶公式-海伦公式的变形过程：

"(MTS

222222

“1(/1产+,a+c-b\(1严―—a+c―-b)\

4.——・了〜

任务：

(1»各上述变形过程补充完整；

(2诺”。的三边长分别为5,12,13,求A8C的面积；

(3)请你证明下面这个公式：如图，4BC的内切圆。0的半径为r,三角形的三边长为a,b,c,记p=亨，为三

角形的面积,s求证：S=pr.

模型40三角形内切圆

模型展现

自主证明：

SABC=SAOB十S80c+SAOC

/g°D+泗。E+“C-OF,

・••OD=OE=OF,

•••SABC=^(AB+BC+AC)-OD.

模型解题三步法

例120°【解析】找模型：是否存在三角形：MBC,三角形是否存在内切圆：OO,是否存在内切圆圆心：

点O,抽离模型：如解图，用模型：根据"三角形内切圆”模型得，ZA0B=90°+vZA0B=100°,zC=2

例2g【解析】如解图，作AABC的内切圆。。连接DA,DE,DF,DH"NBAC=90。,8c=5MC=3,二48=

7BC2-AC2=4,根据"直角三角形内切圆”模型得，DE=^AB+AC-BC)=1,.四边形AEDH是正方形「AE=

DE=1,/.BE=3,/.BD='BE?+DE?=V10.

例2题解图

题以类解

1.B【解析】找模型：是否存在三角形：&ABC,三角形是否存在内切圆：OO,是否存在内切圆圆心：点O,

抽离模型：如解图，用模型：根据"三角形内切圆”模型得，SAABC=*48+8C+力。）/户SABC=15夕,48

=2,BC=10,r=巾，:.AC=8.1

2.C【解析】找模型：是否存在三角形：5BE,是否存在内心：点P,抽离模型：如解图，用模型：作SB

o

E的内切圆。P,根据“三角形内切圆”模型得,zBPE=90°+1zBAE;.zBPE=108°;/.zBAE=36;.AB=BC,BD

_LAC」/ABE=NCBE(等腰三角形三线合二”.BE=BE,AB=CB,."ABE/CBE(SAS)JNBCE=NBAE=36°,/NBPE=

108°,/.zCBP=36O;.-ZCBE=ZABE=2ZPBE,/.ZCBE=24V.ZPEB=ZBCE+ZCBE=60O.

第2题解图

3.1【解析】如解图，延长BA,CD相交于点H,记AD,BC,CD分别切。。于点G,E,F,连接EG,则EG过点。;

AD=3,BC=6,SADllBC/.AD是^BCH的中位线,：CH=2CD,BH=2AB,设。。的半径为r贝UEG=2r,易得四边形

ABEG为矩形,「.AB二EG=2r,AG二BEf，BH=4r,•.点E,F,G是切点,二DF=GD,CF二CE（双切线的性质）,•.CE=6-r,DG二

3-r/.CD=9-2r,CH=2CD=18-4r,根据"直角三角形内切圆”模型得，「二+BH-CH）=^[6+4r-（18

-4r)],解彳导r=2,..AH=4「.HD=5,.,.coszDCB=coszHDA=—=

HD5

H

4.⑴解:

原式

ka+c)2-b2b2-(a-c

J4~4

a+b+ca+c-ba+b-cb+c-a

2222

=4(p-a)(p-6)(p-c);

(2解